1、 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试数学模拟测试 本试卷共 22 题，共 150 分，考试时间 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整， 笔迹清楚， 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答 题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.
2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题一、单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1.已知集合24,AxxxZ ，2 ,Bx xk kZ，则AB （ ） A.0,2,4 B.2,0,2,4 C.2,2,4 D.2,4 2.设复数2zai，若zz，则实数a（ ） A.0 B.2 C.1 D.2 3.设命题:p存在aR， 3 3aa，则p为（ ） A.存在aR， 3 3aa B.不存在aR， 3 3aa
3、C.对任意aR， 3 3aa D.对任意aR， 3 3aa 4. 22 2 coscos 105 （ ） A. 1 2 B.2 C.1 D. 3 2 5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到.任画一条线段， 然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变 成了 4 条小线段构成的折线，称为“一次构造” ，用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到 16 条 更小的线段构成的折线，称为“二次构造” ，如此进行“n次构造” ，就可以得到一条科赫曲线.若要在 构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，
4、 则至少需要通过构造的次数是 （取lg30.4771， lg20.3010） A.16 B.17 C.24 D.25 6.已知直线10axy 将圆 22 :124Cxy平分， 则圆C中以点, 33 aa 为中点的弦的弦长为 （ ） A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 7.关于函数 sinf xxx， ,x ，有下列三个结论： f x为偶函数； f x有 3 个零点； 43 ff ，其中所有正确结论的编号是（ ） A. B. C. D. 8.已知抛物线 2 :20C xpy p的焦点为F，C的准线与对称轴交于点H，直线3 2 p yx与C交 于A，B两点，若 4 3 3 AH ，则AF （
5、） A.3 B. 8 3 C.2 D.4 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 3 分分，有选错的得有选错的得 0 分分. 9.下图统计了截止到 2019 年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这 5 次统计，下列 说法错误的是（ ） A.私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2018 年 B.公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是 25.7 万台 C.公共类电动汽车充电
6、桩保有量的平均数为 23.12 万台 D.从 2017 年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 10.若 10 210 01210 21xaa xa xa x，xR，则（ ） A. 0 1a B. 0 0a C. 10 01210 3aaaa D. 01210 3aaaa 11.在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 4 的正方形， 1 3AA ，则（ ） A.异面直线 1 AB与 11 B D所成角的余弦值为 2 2 5 B.异面直线 1 AB与 11 B D所成角的余弦值为 3 5 C. 1 AB平面 11 B DC D 点 1 B到平面 11 ABD的
7、距离为12 5 12，已知 2,0 ( ) 1 2,0 ln 2 x x fx x x ，存在实数m满足 1 212 f m ff m ，则（ ） A. 0f m B. f m可能大于 0 C., 1m D. 2 , 10,m e 三三、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13.曲线 1 x f xe x 在1x 处的切线斜率为 . 14.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若 1 2 AFABnAD，则 n . 15.已知圆锥SC的底面半径、 高， 体积分别为 2
8、， 3，V， 圆柱OM的底面半径、 高， 体积分别为 1，h，V， 则h ，圆锥SC的外接球的表面积为 .（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16.已知双曲线 22 2 :10 4 xy Cb b 的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线 PB的斜率之积为 1，则双曲线C的焦距为 . 四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17.在 34 ba 33 3ab， 22 4ab这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再判断 n c是否是递 增数列，请说明理由. 已知 n
9、a是公差为 1 的等差数列， n b是正项等比数列， 11 1ab， ， * nnn ca bnN. 判断 n c是否是递增数列，并说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 2 1 3sincos 2 sin 2 AAA . （1）求角A的大小； （2）若ABC的面积为 3 4 a周长为3a，求a的值. 19.如图，在四棱锥MABCD中，ABAD，2ABAMAD，2 2MBMD. （1）证明：AM 平面ABCD. （2）若E是BM的中点，CD AB，2CDAB，求平面ECD与平面ABM所成锐二面角的余弦值. 20.已
10、知直线l与椭圆 22 :1 62 xy C交于不同的两点A，B. （1）若线段AB的中点为 1 1, 2 求直线l的方程. （2）若l的斜率为k，且l过椭圆C的左焦点F，AB的垂直平分线与x轴交于点N.求证： FN AB 为定值. 21.已知函数 lnf xaxx，其中a为常数. （1）讨论函数 yf x的单调性； （2）当ae（e为自然对数的底数） ，1,x时，若方程 1 1 bx f x x 有两个不等实数根，求实 数b的取值范围. 22.小芳，小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若挪出的点数之和为 4 的倍数，则由原投 掷人继续投掷；若挪出的点数之和不是 4 的倍数，则由对方
11、接着投掷. （1）规定第 1 次从小明开始. （）求前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率； （）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与期望. （2）若第 1 次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率 n P. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案数学模拟测试参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1.B 本题考查集合的交集运算.由题可知2,0,2,4AB . 2.A 本题考查复数的概念.因为zz，所以22aiai，解得0a. 3.C 本题考查含量词命题的否定.存在改为任意， “”改为“” ，从而得到答案为 C
12、 项. 4.C 本题考查三角恒等变换 2222 2 coscoscoscos 10510210 22 cossin1 1010 . 5.D 本题考查对数的运算与估算.记初始线段长度为a， “一次构造”后的折线的长度为 4 3 a ， “二次构造” 后的折线的长度为 2 4 , 3 a “n次构造”后的折线的长度为 4 3 n a ，则要使得到的折线的长度达到原来 的 1000 倍，应满足 4 1000 3 n aa ， 4 1000 3 n ，两边同时取对数得 4 lglg10003 3 n，得 (2lg2lg3)3n， 3 2lg2lg3 n 代入数据得 3 24.02 0.60200.47
13、71 n ，故至少需要通过构造的次 数为 25. 【失分陷阱】考生不能由复杂的背景抽象出数学模型列出不等式，考生的数学运算素养不够，导致计算错 误，最后一步得出结论时，四舍五入导致错误.解答本题时错误的原因主要是抽象概括能力不够与数学运算 素养不扎实. 【满分秘籍】正确地由实际问题抽象出数学模型，平时训练扎实的数学运算素养. 6.C 本题考查直线与圆的位置关系.圆C的圆心坐标为1, 2，将其代入直线10axy 中，得3a ， 则以点1, 1为中点的弦的弦长为 22 2 212 3. 7.D 本题考查函数的性质. sinsinfxxxxxf x，正确；令 0f x ，得0x或 sin0x，解得0
14、x或x ，正确；因为 2233 42483236 ff ，所 以正确. 8.C 本题考查抛物线的性质.连接AF，如图，过A作准线的垂线，垂足为M，易知点0, 2 p F ， 0, 2 p H .易知直线3 2 p yx过点H，则tan3AHM ， 3 AHM ，则 3 2 AM AH ， 2AM ，由抛物线的定义可得2AFAM. 二、多项选择题二、多项选择题 9.ABC 本题考查统计图表与用样本估计总体.私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2016 年， 这5次 统 计 的 公 共 类 电 动 汽 车 充 电 桩 保 有 量 的 中 位 数 是21.4万 台 ， 因 为 4 . 91
15、 4 . 12 1 . 43 04 4 . 7 2 3 . 0 2 5 ，故 A，B，C 项错误，D 项正确. 10.AC 本题考查二项式定理.取0x，可得 0 1a ，取1x ，可得 10 01210 3aaaa. 11.ACD 本题考查异面直线所成的角、线面平行的判断、点到平面的距离.易知 11 CD B即为异面直线 1 AB 与 11 B D所成的角.取 11 B D的中点M，连接CM， 因为 11 5CDBC，所以 11 CMB D，因为 11 4 2BD ， 所以 1 11 1 2 2 cos 5 D M B CD CD. 因为 11 ABCD，所以 1 AB平面 11 B DC.
16、因为 1111 11 BA BDB A B D VV ，所以 2 1111 4 543 3232 h ，所以 12 5 h . 12.AD 本题考查函数与方程的综合.由 2121ff mf m，可得 1 2 2 f m ff m. 若 0f m ，则 1 ln22 2 f m f m ， 1 ln22 2 x xx，方程无解，故 0f m . 当0m时，由 1 20 2 m f m ，解得1m； 当0m时，由 ln20f mm，解得 2 0me. 综上所述，当 2 , 10,m e 时， 0f m ，满足 1 212 f m ff m . 三三、填空题填空题 13.1e 本题考查导数的几何意义
17、. 2 1 x e x fx ， 11fe .由导数的几何意义知曲线 1 x fxe x 在1x 处的切线斜率为1e. 14. 3 4 本题考查平面向量的基本定理.连接AE， 11113 22224 AFADAEADABADABAD ，则 3 4 n . 15.4， 169 9 本题考查圆锥， 圆柱的体积以及圆锥的外接球问题.依题有 22 1 231 3 Vh，4h. 设圆锥SC的外接球的半径为R，则有 2 22 32RR，解得 13 6 R ，则圆锥SC的外接球的表面积为 2 13169 4 69 . 16.4 2 本题考查双曲线的性质1 PAPB kk.设点 00 ,P x y， 2 00
18、0 2 000 1 224 yyy xxx . 点P在双曲线C上， 22 00 2 1 4 xy b ， 22 0 2 0 44 yb x ， 2 1 4 b ，2b，双曲线C的焦距为 2 2 44 2b. 四四、解答题解答题 17.解：本题考查数列. 因为 n a是公差为 1，首项为 1 的等差数列，所以11 n ann . 设 n b的公比为q， 若选，由 34 ba，得 34 4ba，2q ， 1 2n n b ， 1 2n n cn ， 1 1 2 1 1 221 n n n n cnn cnn ，则 1nn cc ，所以 n c是递增数列. 若选，由 33 33ab，得 3 1b ，
19、1q ，1 n b ， n cn， 则 1 1 nn cncn ，所以 n c是递增数列. 若选，由 22 42ab，得 2 1 2 b ， 1 2 q ， 1 1 2 n n b ， 1 2 n n n c ， 1 1 22 1 1 21 n n n n cnn cnn ，则 1nn cc .所以 n c不是递增数列. 18.解：本题考查解三角形. （1）因为 2 1 3sincos 2 sin 2 AAA ，所以sin 21 6 A ， 因为0,A，所以 11 2, 666 A ，所以2 62 A ， 3 A . （2）因为sin 133 244 ABC ASbcbca，所以abc. 又
20、因 为 2 22222 2c o s3 3 abcb cbcb cbcb c ，3a b ca ， 所 以2bca ， 22 43aaa，解得1a 或0a（舍） ，故1a . 19.解：本题考查线面垂直的证明与二面角. （1）因为 22 28ABAMBM，所以ABAM，同理可得ADAM. 因为ADABA，所以AM 平面ABCD. （2）因为ABAD，所以AD、AM、AB两两垂直，以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为2ABAMAD，所以0,0,0A，2,0,0D，0,2,0M，0,0,2B， ， 因为E是BM的中点，所以0,1,1E， 因为CD AB，2CDAB，所以2,0,1
21、C. 所以2,1,0CE ，0,0,1DC ， 设平面ECD的一个法向量为 111 ,mx y z， 由 111 111 ,0,0,10 ,2,1,00 m DCx y z m CEx y z ，得 1 11 0 20 z xy ， 取 1 1x ，得1,2,0m . 易知平面ABM的一个法向量为2,0,0nAD， 设平面ECD与平面ABM所成锐二面角的平面角为， 所以 22 1,2,02,0,05 cos 5 122 m n mn ， 所以平面ECD与平面ABM所成锐二面角的余弦值为 5 5 . 20.解：本题考查直线与椭圆的位置关系. （1）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则
22、 22 11 22 22 1 62 1 62 xy xy ，两式相减得 2222 1212 0 62 xxyy ， 则 12 12 1212 22 22 66 16 AB xxyy k xxyy ，故直线l的方程为 12 1 23 yx ， 即4670xy. （2）由题知点2,0F ，故可设直线l的方程为2yk x. 当直线l的斜率0k 时，2 6AB ，2FN ，此时 6 6 FN AB . 直线l的斜率k不为 0 时，联立 22 1 62 2 xy yk x ，可得 2222 1 3121260kxk xk， 设点 11 ,A x y， 22 ,B x y，由韦达定理知 2 12 2 12
23、 1 3 k xx k ， 2 12 2 126 1 3 k x x k ， 则 2 2 22 2 22 1212 222 2 6 1 12126 1414 1 31 21 2 k kk ABkxxx xk bbb . 设AB的中点为 00 ,M x y，则 2 12 0 6 21 3 xxk x k ，又 00 2 2 2 1 3 k yk x k ， 故直线MN的方程为 2 22 216 1 31 3 kk yx kkk ，令0y ，得 2 2 4 1 3 N k x k ， 则 2 2 22 21 4 2 1 31 3 k k FN kk ，所以 6 6 FN AB . 综上所述， FN
24、 AB 为定值. 21.解：本题考查函数的单调性以及利用导数研究函数的零点. （1）函数 f x的定义域为0,， 1 aax fx xx ， 当0a时， 0fx， f x在0,上单调递减； 当0a时，由 0fx，得0xa，由 0fx，得xa， 则 f x在0,a上单调递增， f x在, a 上单调递减. （2）当ae时， lnf xexx，则由 1 1 bx f x x ，可得 ln ln xe exb x x. 则方程 1 1 bx f x x 有两个不等实数根等价于函数 ln 1ln e xyex x x x 的图象与直线yb有 两个不同交点， 设 l n1 n l e h xex x x
25、 x x，则 2 22 1 1 lnlneeexeex h x x x xx x ， 令 2 xexeelnxx ， 2 2 2 eexex xex xx ， 由 2 20exex ，可知 0x，所以 x在0,上为减函数， 由 0e，得当0xe时， 0x，当xe时， 0x， 即当1xe时， 0h x，当xe时， 0h x， 则函数 h x在1,e上单调递增，在, e 上单调递减， 所以函数 h x在xe处取得极大值 1h e ，又 11h， 333 2 3 341h eeeee e ，所以当ae，1,x时， 方程 1 1 bx f x x 有两个不等实数根，可得1,1b . 【解后反思】导数背
26、景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明.由函数零点个数求 参数范围常用方法有分离参数，借助函数的单调性考虑函数的图象与极值求解，或讨论函数的单调性，结 合函数的极值和区间端点处的函数的正负求解.含参数的不等式的有解问题，可转化为恒成立问题来处理， 后者以导数为工具讨论函数的单调性从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立. 22.解：本题考查随机变量的分布列与数列综合. （1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为 4 的倍数的概率为 91 364 . （）因为第 1 次从小明开始，所以前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率， 13133331339 4444444
27、4464 P . （）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为X，依题意，X可取 0，1，2，3， 所以 1111 0 44464 P X ， 33113311321 1 44444444464 P X ， 39 2 64 P X ， 3113 3 44464 P X . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 64 21 64 39 64 3 64 所以 12139327 0123 6464646416 E X . （2）若第 1 次从小芳开始，则第n次由小芳投掷骰子有两种情况： 第1n次由小芳投掷，第n次继续由小芳投掷，其概率为 1 1 1 2 4 nn PPn ； 第1n次由小明投掷，第n次由小芳投掷， 其概率 2 11 133 112 444 nnn PPPn . 因为两种情形是互斥，所以 12 111 13313 2 44424 nnnnnn PPPPPPn ， 所以 1 111 2 222 nn PPn .因为 1 1P ，所以 1 2 n P 是以 1 2 为首项， 1 2 为公比的等比数列， 所以 1 111 222 n n P ，即 11 22 n n P .
