1、 绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试数学模拟测试 本试卷共 23 题，共 150 分，考试时间 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1 答题前， 考生先将自己的姓名、 考生号、 考场号和座位号填写清楚， 将条形码准确粘贴在条形码区域内 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清 楚. 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效. 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑
2、5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1设复数z满足 3 1 i z i （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知全集U R，集合 |lg(1)Ax yx， 1 |Bx y x ，则 UA B （ ） A(1,) B(0,1) C(0,) D1,) 3已知 3 sin2 4 ，则 1 tan ta
3、n （ ） A 8 3 B 4 3 C 8 3 D 4 3 4中国古典乐器一般按“八音”分类“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法， 最先见于周礼春官大师，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（po）、竹”八音，其中“金、石、 木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器现从“八音”中任取不同的“两 音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A 3 14 B 11 14 C 1 14 D 2 7 5已知不同直线l、m与不同平面a，且l，m，则下列说法中正确的是（ ） A若a，则lm B若a，则lm C若l，则a D若a，则m 6 在ABC中， 角A、B、C所对的边分别
4、为a、b、c， 若c o sc o s 4 c aB bA， 则 22 2 2 ab c （ ） A 3 2 B 1 2 C 1 4 D 1 8 7已知 3 log 0.3a ， 4.1 2b ， 1 3 8 27 c ，则（ ） Acba Bcab Cbca Dacb 8 已知边长为 4 的菱形ABCD，60DAB，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点， 若ANNM， 则AM AN（ ） A16 B14 C12 D8 9已知 yf x是定义在R上的奇函数，且当0x 时， 2 ( )3f xx x 若0x ，则( ) 0f x 的解 集是（ ） A 2, 1 B(, 2 1,0 C(, 2
5、1,0) D(, 2)( 1,0 10将函数( )cosf xx的图象先向右平移 5 6 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1 (0) 倍，纵坐标不变，得到函数( )g x的图象若函数( )g x在 3 , 22 上没有零点，则的取值范 围是（ ） A 22 8 0, 93 9 B 2 0, 9 C(0,1 D 28 0,1 99 11在三棱锥PABC中，ABBP，ACPC，ABAC，2 2PBPC，点P到底面ABC的 距离为2，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（ ） A3 B 3 2 C12 D24 12已知抛物线 2 :4(0)C ypx p的焦点为F，过焦点的直线与抛物线
6、分别交于A、B两点，与y轴的 正半轴交于点S，与准线l交于点T，且| 2|FAAS，则 | | FB TS （ ） A 2 5 B2 C 7 2 D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上 13若变量, x y满足约束条件 2 0 30 0 xy xy xy ，则32zxy的最大值为_ 14甲、乙两人同时参加公务员考试甲笔试、面试通过的概率分别为 4 5 和 3 4 ；乙笔试、面试通过的概率 分别为 2 3 和 1 2 ，若笔试、面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被
7、录取 的概率是_ 15 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为(3,0)F ，A、B为双曲线上关于原点对称的两点， AF的中点为H，BF的中点为K，HK的中点为G，若| 2|HKOG，且直线AB的斜率为 2 4 ，则 |AB _，双曲线的离心率为_ 16 已知函数 ln ( ) ln xx eaxex f x xax ， 若在定义域内恒有 0f x ， 则实数a的取值范围是_ 三、解答题：共三、解答题：共70分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第1721题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须
8、作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共一）必考题：共60分分 17已知等差数列 n a的公差2d ，且 1 a， 2 a， 4 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 2 n a n b ，求数列 nn ab的前n项和 n S 18在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为正方形，ACBDO， 1 AO 平面ABCD （1）证明 1 AO平面 11 BCD （2）若 1 ABAA，求二面角 111 DABA的正弦值 19金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生新生接待其实也是和社会沟通的一个平台校
9、团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计 数据如下： 愿意 不愿意 男生 60 20 女生 40 40 （1）根据上表说明，能否有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关 （2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人若从 这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求()E X 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.001 0 k 3.841 6.
10、635 10.828 20已知函数 2 ( )(ln )2f xa xxxx （1）当2ae （e为自然对数的底数）时，求函数( )f x的极值； （2）( )fx为( )yf x的导函数，当0a ， 12 0xx时，求证： 1212 1122 22 xxxx f xfxf xfx 21 如图， 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右顶点分别为 1 A， 2 A， 上、 下顶点分别为 1 B， 2 B， 且 1( 0 , 1 ) B， 112 AB B为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C在y轴右侧的部分交于M、N两点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）求四边形 21
11、 B MNB面积的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共10分分请考生在第请考生在第22、23两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分 22选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 22cos , 2sin x y （为参数），直线l经过点( 1, 3 3)M 且倾斜角为 （1）求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程； （2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，满足A为MB的中点，求tan 23选修4-5：不等式选讲 设函数( ) |1|2 | 1f xxx
12、a （1）当1a 时，解不等式( ) 6f x ； （2）设 1 2 a ，且当21a x 时，不等式( ) 26f xx 有解，求实数a的取值范围 2020年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案数学模拟测试参考答案 1A 本题考复数的运算及几何意义由 2 2(2)(1)13 112 iiii z ii ，得复数z在复平面内对应点的 坐标为 1 3 , 2 2 ，所以z在复平面内的对应点位于第一象限 2 D 本题考查集合的运算， 因为10x， 所以1r ， 所以(,1)A ， 所以1,) UA 因为0x ， 所以(0,)B ，所以1,) UA B 3
13、A 本题考查三角恒等变换 3 sin2 4 ， 3 sincos 8 ， 则 1sincos18 tan tancossinsincos3 4B 本题考查中国传统文化与古典概型，设事件A为“从八音中任取两音，含有打击乐器”， 所以 211 444 2 8 11 ( ) 14 CC C P A C 5C 本题考查在空间中的线面关系若a，l，m可能为异面关系，故选项A不正确； 若，l，m可能为平行、相交或异面关系，故选项B不正确； 由面面垂直的判定定理，若l，l，则，故选项C正确； 若，n，由面面垂直的性质定理知，当mn时，m，故选项D不正确 6 D 本 题 考 查 解 三 角 形 coscos
14、4 c aBbA， 由 余 弦 定 理 得 222222 224 acbbcac ab acbc ，化简得 2 22 4 c ab， 22 2 1 28 ab c 7 C 本题考查指数、对数、 幂的大小比较 因为 2 log 3(1,2)a ， 4.1 2(0,1)b ， 1 3 83 272 c ， 且 22 3 log 2 2log 3 2 ，所以bca 8 B 本题考查平面向量的数量积 取AM的中点为O， 连接ON， 因为ANNM， 所以ONAM 因 为60DAB，所以120ADM，所以 2 2 1 ()41622428 2 AMDMDA ，则 11 ()2814 22 AM ANAMA
15、OONAM AOAM ONAM 9 B 本题考查函数的性质与不等式 因为( )yf x是定义在R上的奇函数， 所以(0)0f 因为当0x 时， 2 ( )3f xx x ，所以当0x时， 2 ( )()3f xfxx x ，由 0 2 30 x x x ，解得2x或 10x综上可得( ) 0f x 的解集是(, 2 1,0 10 A 本题考查三角函数的图象与性质 由题意知 5 ( )cos(0) 6 g xx ， 其大致图象如图所示， 因为函数( )g x在 3 , 22 上没有零点，所以 3 222 T ，所以1 当 3 23 时，得 2 0 9 ；当 32 43 32 时，得 28 39
16、剟其他情况无解或解不在范围内综合 得的取值范围是 22 8 0, 93 9 11 C 本 题 考 查 多 面 体 的 外 接 球 问 题 由 已 知ABBP，ACPC，ABAC， 得 到 90BACPBAPCA， 所以该球的直径为AP 过P作PH 平面ABC， 交平面ABC于H， 连接AH交BC于G， 取AP的中点O， 连接OG，HB，HC 因为PBPC， 所以HBHC，ABAC， 所以G为BC的中点，所以OG 平面ABC，可得OGPH，且 1 1 2 OGPH设ABx，因为 2 2PB ， 所 以 2 11 8 22 AOPAx 因 为 12 22 AGBCx， 所 以 在OAG中 ， 22
17、2 A GO GO A， 2 2 2 21 18 22 xx ，解得2x ，所以三棱锥PABC的外接球的半径为 222 11 (2 2)4(2 2)3 22 AOx， 所 以 三 棱 锥PABC外 接 球 的 表 面 积 为 2 412SR 【解题思路】关于多面体与球的问题，首先要作出球的直径或半径，此题因为ABBP，ACPC， ABAC，所以该球的直径为AP在PAB中，可以算出AP的一个表达式，在OAG中，可以算 出OA的一个表达式，从而列出等式求出半径，进而求出球的表面积另解：将三棱锥PABC放入正方 体中，可迅速得出外接球的直径即正方体的对角线. 12 B 本题考查抛物线的定义与平面几何
18、知识 过点A作准线的垂线， 垂足为M，AM与y轴交于点N， 因为| 2|FAAS，所以 |1 |3 SA SF ， 所以 1 | 33 ANOF p ，所以 4 | 3 AMp， 根据抛物线的定义知 4 | | 3 AFAMp，因为 12 | 23 ASAFp， 所以|2SFp，所以|2TSp根据抛物线的性质 112 |2AFBFp ，得 311 4|pBFp ，解得 |4BFp，所以 |4 2 |2 FBp TSp 13 3 2 本题考查简单的线性规划先作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立 20 30 xy xy ， 解得 1 3 , 2 2 B ，当目标函数过点B时取最大值，所以
19、max 133 32 222 z 148 15 本题考查独立事件的概率 甲被录取的概率为 1 433 545 P ， 乙被录取的概率为 2 211 323 P ， 该次考试只有一人被录取的概率是 1221 32218 11 535315 PPPPP 152 3 6 2 本题考查双曲线由题意可设 00 ,A x y， 00 ,Bxy，因为左焦点为(3,0)F ，所 以 双 曲 线 的 半 焦 距3c 因 为|2 |H KO G， 所 以OHOK， 由 00 3 , 22 xy H ， 00 3 , 22 xy K ，0OH OK， 所以 22 00 3xy， 可得| 2 3AB 又因为直线AB的
20、斜率为 2 4 ， 所以 0 0 2 4 y x ，结合解得 2 0 8 3 x ， 2 0 1 3 y ，因为点A在双曲线上，所以 22 00 22 1 xy ab ，所以 22 81 1 33ab ，结合 22 3ab，解得2,1ab，所以双曲线的离心率 36 22 c e a 【温馨提示】2019年全国卷出现了两空题，2020年全国、卷都有一定概率出现两空题，故此题 设置两空. 16 1 ,e e 本题考查函数与导数 ln ( )0 ln xx eaxex f x xax ， 由 指 数 函 数 x ye和 对 数 函 数lnyx的 图 象 可 知ln (0) x ex x， 所 以(
21、)0f x 可 转 化 为 (ln )0 x eaxxax，即 x eax且lnxax，也就是yax的图象夹在函数 x ye与lnyx的图 象之间，即yax的图象在两条切线之间，所以需要求两条切线的方程，过原点与两条曲线相切的直线斜 率 设lnyx上 的 切 点 为 00 ,lnxx， 所 以 切 线 的 斜 率 为 0 0 1 x x y x ， 切 线 的 方 程 为 00 0 1 lnyxxx x ，又因为切线经过原点，故 00 0 1 0ln0xx x ，解得 0 xe，所以过原点与 lnyx相切的直线斜率为 1 e ，同理过原点与 x ye相切的直线斜率为e，所以 1 ae e 当
22、1 a e 时， 1 ln0xx e ，因为 1 ln0xx e ，所以 1 a e 也适合，综上可得 1 ,ae e 【易错分析】本题为函数与导数综合的小题，对学生的数形结合、转化与化归思想的要求较高易错点一： 把函数直接展开，去求函数的最大值，导致运算繁杂，无法算出准确结果易错点二：没有注意分母中含 有参数，导致漏解. 17解：本题考查数列的通项公式与前n项和 （1）根据题意，得 2 142 a aa，即 2 111 3a adad，即 2 111 62a aa， 解得 1 2a ，所以 1 (1)22(1)2 n aandnn （2）由（1）得 2 111 224 n an n n b
23、，所以数列 n b是首项为 1 4 ，公比为 1 4 的等比数列，所以 223 2 31 3 1 (22 )1111 24 ( 444 n nnn nn Saaaabbbb 2 11 3 43 n nn 18解，本题考查线面平行与二面角 （1）连接 11 AC，设 11111 BDACQ，连接 1 OC，图略因为在四棱柱 1111 ABCDABC D中，O， 1 O分 别为AC， 11 AC的中点， 所以 11 OCAO， 11 OCAO， 所以四边形 11 AOCO为平行四边形， 所以 11 AOOC， 因为 1 AO 平面 11 BCD， 1 OC 平面 11 BCD，所以 1 AO平面
24、11 BCD （2）以O为原点，OB，OC， 1 OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz 设1OA，因为 1 ABAA，所以 1 1OA ，所以(0, 1,0)A， 1(0,0,1) A， 1(1,1,1) B， 1( 1,1,1) D ， 所以 1 (1,2,1)AB ， 11 ( 2,0,0)BD ， 11 (1,1,0)AB ，设 1111 ,nx y z为平面 11 AB D的法向量， 2222 ,nxy z为平面 11 A AB的法向量，因为 11 111 0 0 nAB nB D ，所以 111 1 20 20 xyz x ，令 1 1y ，所以 1 (0,1
25、, 2)n ，因为 21 211 0 0 nAB nAB ，所以 222 22 20 0 xyz xy ，令 2 1x ，所以 2 (1, 1,1)n 设二面角 111 DABA的平面角为，易知为锐角，所以 12 12 | 3|15 cos 553 n n n n 19解：本题考查独立性检验和分布列、期望 （1） 2 K的观测值 2 160(60404020)32 10.6676.635 80 80 100603 k ， 有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关 （2）根据分层抽样方法得，男生有 3 106 5 人，女生有 2 104 5 人， 所以选取的10人中，男生有6人，女生有4
26、人 X的可能取值有0，1，2，3 20 6 3 10 4 201 (0) 1206 C C P X C ， 21 64 3 10 601 (1) 1202 C C P X C ， 2 4 1 6 0 1 3 363 (2) 12010 C C P X C ， 03 34 3 10 41 (3) 12030 C C P X C X的分布列是 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 11316 ()0123 6210305 E X 20解：本题考查函数的极值与证明不等式 （1）因为 1(1)(2) ( )122 xxa fxax xx ，所以当2ae 时， 2(1)() ( )
27、 xxe fx x 因 为当01x时，( )0fx； 当1xe时，( )0fx； 当xe时，( )0fx 故函数( )yf x在(0,1) 和(), e 上单调递增，在(1, ) e上单调递减，所以当1x 时，函数有极大值(1)21fe ，当xe时， 函数有极小值 2 ( )f ee （2） 由 1212 1122 22 xxxx f xfxf xfx ， 可得 12 1212 2 xx f xf xfxx ， 即 22 111122221212 12 2 (ln)2ln22 a a xxxxa xxxxxxaxx xx ， 化 简 可 得 12 1 212 2 ln a xxx a xxx
28、，因为0a ，所以 12 1 212 2 ln xxx xxx ，即 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x xx x x x ，设 1 2 1 x t x ，构 造函数 2(1) ( )ln 1 t h tt t ， 2 2 (1) ( )0 (1) t h t t t ，则( )(1)0h th，则有 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x xx x x x ，从而有 1112 1223 22 xxxx f xfxf xfx 【解题技巧】本题为导数的综合，当证明结果较复杂时我们一般可以利用分析法对其进行化简，找出要证 明问题的本质对于双变量问题，可以利用构造函数法，把双变量转化为单
29、变量，再利用导数去探讨它的 相关性质 21解：本题考查椭圆中的面积问题 （1）因为 1(0,1) B，所以1b ，因为 112 AB B为等边三角形，所以3ab，所以3a 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 3 x y 设四边形 21 B MNB的面积为S 当直线MN的斜率不存在时，得 6 1, 3 M ， 6 1, 3 N ，所以 12 66 211 233 S 当直线MN的斜率存在时， 设直线MN的斜率为k， 则直线MN的方程为(1)yk x， 设 11 ,M x y， 22 ,N xy联立 2 2 1 3 (1) x y yk x ，化简得 2222 316330kxk xk，所以 2 1
30、2 2 6 31 k xx k ， 2 12 2 33 31 k x x k ， 2 1212 2 2 3|21 31 kk yyk xx k 因为 12 0,0xx，所以| 1k ，面积 12 22 1212 22 1133|21 11 223131 NOBOMNMDB kkk SSSSxxyy kk 2 22 1 32 3 11 33 k kk 令 2 1 2t k ， 则 2 33 ,( 2, 3) 1 t St t ， 令3mt ， 则 2 33 ,( 23,2 3) 4 2 34 2 3 m Sm mm m m ，因为( )S m在定义域内单调递减，所以 36 1 23 S 综上，四
31、边形 21 B MNB面积取值范围是 36 ,1 23 22解：本题考查在极坐标与参数方程 （1） 由已知， 曲线C的普通方程为 32 (2)4xy， 即 22 4xyx， 因为cosx， 222 xy， 可得 2 4 cosp，化简为4cosp所以曲线C的极坐标方程为4cos 直线l的参数方程： 1cos , 3 3sin xt yt （t为参数，0） （2）设,A B对应的参数分别为 A t， B t， 将直线l的参数方程代入C并整理，得 2 6 ( 3sincos )320tt， 所以6( 3sincos ) AB tt，32 BA tt 又A为MB的中点，所以2 BA tt， 因此2(
32、 3sincos )4sin 6 A t ，8sin 6 B t ， 所以 2 32sin32 6 AB tt ，即 2 sin1 6 因为0，所以 7 666 ， 从而 62 ，即 3 ，tan3 3 23解：本题考查绝对值不等式的解法 （1）因为1a ，( ) 6f x ，所以|1|2| 5xx， 因为 21,2 |1|2|3, 12 12 ,1 xx xxx x x 当 2 215 x x ，解得23x；由 12 3 5 x 剟 ，解得12x 剟， 由 1 125 x x ，解得21x ，所以原不等式的解集为 2,3 （2）因为21ax ，( )26f xx，所以12126xxax ，所以3ax ，因为不等 式( )26f xx有解，所以31a ，即2a ，所以实数a的取值范围是 1 2, 2
