1、常州市20242025学年第一学期高三期末质量调研数学2025年1月注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则“，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D.
2、 既不充分也不必要条件3. 已知复数，则（ ）A. 2B. 0C. 2iD. 4. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ）A. B. 1C. 2D. 45. 若函数在处取得极小值，则实数（ ）A. B. 2C. 2或0D. 06. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 37. 已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全
3、部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 在四棱柱中，为底面的中心，则（ ）A B. C D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）A. 若在上的值域为，则的取值范围是B. 若在上恰有一条对称轴，则的取值范围是C. 若在上单调递增，则的取值范围是D. 若在上有且只有两个不同的零点，则的取值范围是11. 某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元则下列说法正确的有（ ）表1 甲每股收益的分布列收益元02概率0.10.30.6表2 乙每股收益的分布列收益元012概
4、率0.30.30.4A. 甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望B 相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小）C. 此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元D. 此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知幂函数满足以下两个条件：是奇函数，在上单调递减请写出符合要求的的一个解析式_13. 已知的展开式中项的系数为30，则_14. 中，点满足，则_四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在直三棱柱中，分别为，的中点，且，（1）求证：；（2）求二面角的正弦
5、值16. 某校，两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得0分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得1分，没有答对的班级得分设每轮比赛中班答对的概率为，班答对的概率为，两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响（1）经过1轮比赛，设班的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求经过3轮比赛班累计得分高于班累计得分的概率17. 已知数列满足（1）设，求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，求的值18. 平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点重合（1）求，的方程；（2）点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，线
6、段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由19. 已知函数（1）若在区间上单调，求实数的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点（i）求实数的取值范围；（ii）若恒成立，求证：常州市20242025学年第一学期高三期末质量调研数学2025年1月一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. B2. A3. B4. C5. D6. C7. D8. A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
7、分9. AD10. ACD11. BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. （答案不唯一）13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（1）因为为直棱柱，所以平面，又因为平面，所以，因为，为中点，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量，则，取，又平面的法向量，记二面角为，则，则，即二面角的正弦值为16.（1）随机变量的可能取值为，01；（2）经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的情况有：A班3轮每一轮得分都高于B班；A班有2轮得分高于B班，A班有1
8、轮得分高于B班，另两场都是0分，所以所求概率17.（1）由，当时，则，又满足上式，所以（2）由（1），知，则，故，所以，且，若为偶数，则；若为奇数，则；故，解得或18.（1）因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以椭圆的焦点在轴上，又因为椭圆离心率为，所以，解得，所以椭圆，右焦点为1,0，所以，所以抛物线；（2）由题可设，当时，由得，所以点处切线的斜率为，设Ax1,y1，Bx2,y2，则，因为，在椭圆上，所以，两式作差得，即，所以直线的方程为，令，解得，所以，所以点在定直线上运动.19.（1）由题设，当时fx0，所以在上单调递减，在上单调递增，而在区间上单调，所以；（2）（），且x0,+，令且x0,+，则，若，hx0，即hx在定义域上递增，所以函数至多有1个零点，不符；当时，时hx0，时hx0，hx在上单调递增，在上单调递减，则，得，又，另且，则，所以在上单调递增，则，所以，即在和各存在一个零点，满足题设，所以；（）记两个零点为，结合恒成立，则为的两个零点，则，且，要证，即证，即证令，即证，令，则，所以，得证；要证，即证 令，则，则，所以，得证综上，.11
