1、【学而思高中数学讲义】 1椭圆的定义：平面内与两个定点 12 FF，的距离之和等于常数（大于 12 |FF） 的点的轨迹（或集合）叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距 2椭圆的标准方程： 22 22 1(0) xy ab ab ，焦点是 1( 0)Fc ， 2( 0)F c，且 222 cab 22 22 1(0) yx ab ab ，焦点是 1(0 )Fc， 2(0 )Fc，且 222 cab 3椭圆的几何性质（用标准方程 22 22 1(0) xy ab ab 研究） ： 范围：axa ，byb ； 对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中
2、 心又叫做椭圆的中心； 椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的 1212 AABB， ， ，； 长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴， 如图中线段的 12 A A；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段 12 B B 椭圆的离心率： c e a ，焦距与长轴长之比，01e，e越趋近于1，椭 圆越扁； 反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆 4直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0f xy ，的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说， 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来 板块三.直线与抛物
3、线 【学而思高中数学讲义】 说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位 置关系的判定条件可归纳为： 设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0f xy ，由 0 ()0 AxByC f xy ， 消去y（或消去x）得： 2 0axbxc 若0a ， 2 4bac ，0 相交；0 相离；0 相切 若0a ，得到一个一次方程：C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行； C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行 因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的 必要条件，但不是充分条件 5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的
4、方程联立，求出两交点的坐 标，然后运用两点间的距离公式来求； 另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分 别为 1122 () ()xyxy，则弦长公式为 2 2 1212 1 |11ABkxxyy k 两根差公式： 如果 12 xx，满足一元二次方程： 2 0axbxc， 则 2 2 2 121212 4 ()44 bcbac xxxxx x aaaa （0 ） 6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有： 从方程的观点出发， 利用根与系数的关系来进行讨论， 这是用代数方法来解 决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在 适当时利用图形的平面几何性质
5、 以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题 典例分析 【例 1】已知抛物线C的方程为 2 1 2 xy，过点(0,1)A和点( , 3)B t的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t的取值范围是（） A(,1)(1,) B 22 , 22 C(,2 2)(2 2 ,) D(,2)( 2 ,) 【例 2】点P在直线:1l yx上，若存在过P的直线交抛物线 2 yx于A，B两点，且 PAAB，则称点P为“A点”，那么下列结论中正确的是（） 【学而思高中数学讲义】 A直线l上的所有点都是“A点” B直线l上仅有有限个点是“A点” C直线l上的所有点都不是“A点” D直线l上有无
6、穷多个点（但不是所有的点）是“A点” 【例 3】如图抛物线 1 C： 2 2ypx和圆 2 C： 2 2 2 24 pp xy ，其中0p ，直线l经过 1 C的 焦 点 ， 依 次 交 1 C， 2 C于, ,A B C D四 点 ， 则AB CD 的 值 为 （） A 2 4 p B 2 3 p C 2 2 p D 2 p 【例 4】斜率为2的直线与圆锥曲线交于 1122 ()()A xyB xy，两点，若弦长2 5AB ， 则 12 yy_ 【例 5】抛物线 2 1yxmx与直线0 xy有两个不同的交点，则实数m的范围是 _ 【例 6】若直线2ykx与抛物线 2 8yx交于A、B两点，若
7、线段AB的中点的横坐标 是2，则AB _ 【例 7】已知抛物线 2 4yx的一条弦AB， 11 A xy， 22 B xy，AB所在的直线与y 轴交于点02，则 12 11 yy 【学而思高中数学讲义】 【例 8】过点(2 4)，作直线与抛物线 2 8yx只有一个公共点，这样的直线有_条 【例 9】对于抛物线C： 2 4yx，我们称满足 2 00 4yx的点 00 ()M xy，在抛物线的内部， 若点 00 ()M xy，在抛物线的内部，则直线l： 00 2()y yxx与抛物线C的位置关 系是_ 【例 10】设抛物线 2 8yx的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公 共点，则直线
8、l的斜率的取值范围是_ 【例 11】若曲线 2 | 1yx与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件 是 【例 12】过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A B， 两点，若线段AB的长为8，则p _ 【例 13】已知抛物线 2 2xpy（p为常数，0p ）上不同两点A、B的横坐标恰好 是关于x的方程 2 640 xxq（q为常数）的两个根，则直线AB的方程为 _ 【例 14】抛物线 2 12yx截直线21yx所得弦长 12 A A的中点坐标为_， 弦长 12 A A为_ 【例 15】已 知 抛 物 线 2 2(0)ypx p， 过 定 点(0)M p，
9、作 一 弦PQ， 则 22 11 MPMQ _ 【例 16】已知抛物线 2 2(0)ypx p过点A (14)， 求抛物线的焦点坐标与准线方程； 直线m：2yx与抛物线交于两点MN， 求线段MN的中点坐标及MN的 值 【学而思高中数学讲义】 【例 17】设抛物线 2 4yx被直线2yxk截得的弦长为3 5，求k值 以中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9 时，求P点坐标 【例 18】已知点Q到定点(, 0)p（0p ）与它到定直线xp 的距离相等， 求动点Q的轨迹方程； 设过点( 30)Ap，的直线与Q的轨迹交于E、F两点，设(30)Ap，当直线 A E与A F的斜率都
10、存在时，求证直线A E、A F的斜率之和为0 【例 19】在平面直角坐标系xOy中，过抛物线 2 2(0)xpy p的焦点F作直线与抛 物线相交于A B，两点若点N是点F关于坐标原点O的对称点，求ANB面积 的最小值 【例 20】过抛物线 2 2(0)ypx p的对称轴上的定点(0)(0)M mm ，作直线AB与抛 物线相交于A、B两点，若点N为定直线l：xm 上的任意一点，试证明： 三条直线AN、MN、BN的斜率成等差数列 【例 21】已知抛物线 2 2(0)ypx p 过动点(0)M a，且斜率为1的直线l与该抛物线 交于不同的两点A、B若2ABp，求a的取值范围 【例 22】已知曲线C为
11、顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向右的抛物线，又点 (2 1)M，到抛物线C的准线的距离为 9 4 ， 求抛物线C的方程； 证明：过点M的任意一条直线 i l与抛物线恒有公共点； 若中的直线(i1 2 3 4) i l ， ， ，分别与抛物线C交于上下两点 1 B， 1 A， 2 B， 2 A， 3 B， 3 A， 4 B， 4 A，又点 1 A， 2 A， 3 A， 4 A的纵坐标依次成公差不为0的等差数 列，试分析 14 14 AMA M MBMB 与 32 23 A MA M MBMB 的大小关系 【例 23】已知抛物线 2 yx和圆 22 (7)5xy，过点(0)P a，作直线l交抛物
12、线于 A、B，交圆于CD，（自下而上依次为BD CA， ， ，） ，且ACBD，求实数a 的取值范围 【学而思高中数学讲义】 【例 24】已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点(10)F，的距离减去它到y轴距 离的差是 1 求曲线C的方程； 是否存在正数m， 对于过点(0)M m，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线， 都有0FA FB ?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由 【例 25】已知( 3 0)H ， 点P在y轴上， 点Q在x轴的正半轴上， 点M在直线PQ上， 且满足 3 0 2 HP PMPMMQ ， 当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C； 过点( 1 0)T ，作直线
13、l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点 0 (0)E x ，使得ABE是等边三角形，求 0 x的值 【例 26】已知 12 ,F F分别是椭圆 22 1 43 xy 的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶 点，以 2 F为焦点的抛物线，自点 1 F引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点， 点P关于x轴的对称点记为M设 11 FPFQ 求曲线C的方程； 证明： 22 F MF Q ； 若2 3，求|PQ的取值范围 【例 27】已知抛物线 2 4yx，点(1, 0)M关于y轴的对称点为N，直线l过点M交 抛物线于,A B两点 证明：直线,NA NB的斜率互为相反数； 求ANB面积的最小值； 当点
14、M的坐标为(, 0)(0mm ，且1)m 根据推测并回答下列问题（不必 说明理由） ： 直线,NA NB的斜率是否互为相反数？ ANB面积的最小值是多少？ 【例 28】过抛物线 2 2(0)ypx p的对称轴上一点00A aa ，的直线与抛物线相 交于M、N两点，自M、N向直线: l xa 作垂线，垂足分别为 1 M、 1 N 当 2 p a 时，求证： 1 AM 1 AN； 【学而思高中数学讲义】 记 1 AMM、 11 AM N、 1 ANN的面积分别为 1 S、 2 S、 3 S，是否存在，使得 对任意的0a ，都有 2 213 SS S成立若存在，求出的值；若不存在，说明 理由 【例
15、29】已知曲线C是到点 13 28 P ，和到直线 5 8 y 距离相等的点的轨迹l是过 点1 0Q ，的直线，M是C上 （不在l上） 的动点；A、B在l上，MAl，MBx 轴（如图） 求曲线C的方程； 求出直线l的方程，使得 2 QB QA 为常数 【例 30】已知抛物线C： 2 4yx，点(0)M m，在x轴的正半轴上，过M的直线l与 C相交A、B两点，O为坐标原点 若1m ，l的斜率为 1，求以AB为直径的圆的方程； 若存在直线l使得|AM，|OM，|MB成等比数列，求实数m的取值范围 【例 31】已知抛物线 2 4Cyx的焦点为F，过点( 10)K ，的直线l与C相交于A、 B两点，点
16、A关于x轴的对称点为D 证明：点F在直线BD上； 设 8 9 FA FB ，求BDK的内切圆M的方程 【例 32】已知抛物线 2 2yx及定点(1 1)( 1 0)AB ， ，M是抛物线上的点，设直线 AMBM，与抛物线的另一交点分别为 12 MM， 求证：当点M在抛物线上变动时（只要 12 MM，存在且 1 M与 2 M是不同两点） ， 直线 12 M M恒过一定点，并求出定点的坐标 【学而思高中数学讲义】 【例 33】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线 2 4yx相交于不同的，AB两 点 如果直线l过抛物线的焦点，求OA OB 的值； 如果4OA OB 证明直线l必过一定点，并求出该
17、定点 【例 34】在平面直角坐标系xoy中，设点(1 0)，F，直线:1l x ，点P在直线l上移 动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl 求动点Q的轨迹的方程； 记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD， 设AB、CD的中点分别为M，N 求证：直线MN必过定点(3 0)，R 【例 35】已知：O为坐标原点，点F、T、M、 1 P满足(1 0)OF ，( 1)OTt ， FMMT ， 1 PMFT ， 1 PTOF 当t变化时，求点 1 P的轨迹方程； 若 2 P是轨迹上不同与 1 P的另一点，且存在非零实数，使得 12 FPFP ， 求证： 12 11 1 FPFP
