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7.1.1数系的扩充和复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念【学习目标】(1)了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数系的扩充过程(2)理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念(3)掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件题型 1 复数的概念【问题探究 1】(1)方程x210 在实数范围内有解吗？若有一个新数 i 满足 i21，试想方程x210 有解吗？(2)添加 i 之后，我们知道 i21，i 与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候，会产生怎样的新数？例 1已知复数(xy)(2x)i 的实部和虚部分别为 3 和 4，则实数x和y的值分别是()A2，4 B2，5C2，4 D2，5学霸笔记：若 zabi，只有当 a，bR R 时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.跟踪训练 1设 i 是虚数单位，若复数z32a(23a)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a()A5 B5C3 D3题型 2 复数的分类【问题探究 2】(1)复数zabi 在什么情况下表示实数？(2)如何利用集合关系表示实数集 R R 和复数集 C?C?例 2实数x分别取什么值时，复数zx2-x 6x+3(x22x15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？学霸笔记：(1)利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式 zabi(a，bR R)特别注意z为纯虚数，则b0，且a0.(2)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解跟踪训练 2实数m取什么值时，复数zm1(m1)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数题型 3 复数相等的应用【问题探究 3】我们知道集合相等，向量相等，都必须满足一定的条件结合向量相等的条件，你能说出复数相等的充要条件是什么吗？例 3设z1m22(m2m2)i，z23m(m25m4)i，若z1z2，求实数m的值一题多变本例条件改为“z1m21(m2m2)i，z24m2(m25m4)i，且z1z2”，求实数m的值学霸笔记：复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法基本思路是：(1)等式两边整理为 abi(a，bR R)的形式；(2)由复数相等可以得到由两个实数等式所组成的方程组；(3)解方程组跟踪训练 3复数z1(2m7)(m22)i，z2(m28)(4m3)i，mR R，若z1z2，求m.随堂练习1 已知复数za2(2b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数a，b的值分别是()A2，1 B2，5C2，5 D2，12给出下列三个命题：(1)若zC C，则z20；(2)2i1 的虚部是 2i；(3)2i 的实部是 0.其中正确命题的个数为()A0 个 B1 个 C2 个 D3 个3如果zm(m1)(m21)i 为纯虚数，则实数m的值为()A1 B0C1 D1 或 14已知x2y22xyi2i，则实数x_，y_课堂小结1.数系的扩充与复数的概念2复数的分类3复数相等的充要条件71.1数系的扩充和复数的概念71.1数系的扩充和复数的概念问题探究 1提示：(1)没有解；有解xi.(2)若 i 与实数b相乘再与实数a相加，可得到形式为abi 的新数例1解析：x，yR R，复数(xy)(2x)i的实部和虚部分别为3和4，因此x+y=3，2 x=4，解得x2，y5，所以实数x和y的值分别是2，5.故选 D.答案：D跟踪训练 1解析：复数z32a(23a)i 的实部与虚部互为相反数，32a(23a)，解得a5.故选 A.答案：A问题探究 2提示：(1)b0.(2)R RC C.例 2解析：(1)当x满足x2-2x 15=0，x+3 0即x5 时，z是实数(2)当x满足x2-2x 15 0，x+3 0即x3 且x5 时，z是虚数(3)当x满足x2-x 6x+3=0，x2-2x 15 0，x+3 0，即x2 或x3 时，z是纯虚数跟踪训练 2解析：(1)当m10，即m1 时，复数z是实数(2)当m10，即m1 时，复数z是虚数(3)当m+1=0，m-1 0，即m1 时，复数z是纯虚数问题探究 3提示：abi 与cdi 相等当且仅当ac且bd(a，b，c，dR R)例 3解析：由复数相等的条件可知m2+2=3m，m2+m-2=m2 5m+4，解得m1.一题多变解析：z1z2，z1R R，z2R R，m2+m-2=0，m2 5m+4=0，解得：m1；当m1 时，z12，z26，满足z1z2，m1.跟踪训练 3解析：因为mR R，z1z2，所以(2m7)(m22)i(m28)(4m3)i.由复数相等的充要条件得2m+7=m2 8，m2 2=4m+3，解得m5.随堂练习1解析：令a2=2，2+b=3，得a2，b5.故选 C.答案：C2解析：(1)错误，例如zi，则z21；(2)错误，因为 2i1 虚部是 2；(3)正确，因为 2i02i.故选 B.答案：B3解析：由题意知m(m+1)=0，m2 1 0，m0.故选 B.答案：B4解析：x2y22xyi2i，x2 y2=0，2xy=2解得x=1，y=1或x=-1，y=-1.答案：117.1.2复数的几何意义7.1.2复数的几何意义【学习目标】(1)理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系(2)掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念(3)掌握用向量的模来表示复数的模的方法题型 1 复数与复平面内点的关系【问题探究 1】根据复数相等的定义，任何一个复数zabi 都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定；反之也对，由此你能想到复数的几何表示方法吗？例 1已知复数z(m27m10)(m25m6)i，i 为虚数单位，mR R.(1)若在复平面上表示复数z的点位于第二象限，求m的取值范围；(2)若在复平面上表示复数z的点位于直线 2xy140 上，求m的值题后师说利用复数与点的对应解题的一般步骤跟踪训练 1已知复数z(m2)(m1)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是()A(2，1)B(，2)(-1，+)C(1，)D(，2)题型 2 复数与复平面内向量的关系【问题探究 2】平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？例 2在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是 23i，32i，23i，求点D对应的复数学霸笔记：(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数 反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化跟踪训练 2已知复平面内的点A，B分别对应的复数为z12i 和z212i，则向量BA对应的复数为()A1i B1iC33i D33i题型 3 复数的模【问题探究 3】我们知道向量的长度叫向量的模，zabi(a，bR R)与向量OZ一一对应，那么|z|如何表示？例 3已知复数z13i，z212+32i.(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设zC C，满足条件|z2|z|z1|的点Z的轨迹是什么图形？题后师说解决与复数的模有关问题的策略跟踪训练 3已知复数z满足 2|z|22，则在复平面中z对应的点所构成的图形的面积为_题型 4 共轭复数例 4已知复数z满足z34i，则共轭复数z在复平面内对应的点在()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限学霸笔记：与共轭复数有关问题的解决方法(1)若复数 z 的代数形式已知，根据共轭复数的定义表示出z，再进行复数的四则运算；(2)若复数 z 的代数形式未知，设 zabi(a，bR R)，则zabi，代入所给等式或方程，利用复数相等的充要条件，转化为解方程(组)问题跟踪训练 4已知a，bR R，若a4i 与 3bi 互为共轭复数，则|abi|()A8 B7 C6 D5随堂练习1复数z12i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为12i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量OB对应的复数为()A2i B2iC12i D12i3已知aR R，若有|ai|5(i 为虚数单位)，则a()A1 B2 C2 D14复数zx2(3x)i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是_课堂小结1.复数与复平面内的点、向量之间的一一对应关系2复数的模及其几何意义3共轭复数71.2复数的几何意义71.2复数的几何意义问题探究 1提示：所以复数集可以与平面直角坐标系中的点集建立一一对应关系，因此可以用点表示复数例 1解析：(1)复数z的点位于第二象限则m2-5m+6 0，m2-7m+10 0，解得 3m5.(2)表示复数z的点位于直线 2xy140 上，则 2(m27m10)(m25m6)140，解得m0 或m9.跟踪训练 1解析：因为复数z(m2)(m1)i 在复平面内对应的点在第三象限，所以m+2 0，m+1 0，解得m|z2|；(2)由|z2|z|z1|，得 1|z|2，根据复数模的几何意义可知|z|表示复数z对应的点到原点的距离，所以|z|1 表示|z|1 所表示的圆及外部所有点组成的集合，|z|2 表示|z|2 所表示的圆及内部所有点组成的集合，所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心，以 1 和 2 为半径的圆之间的部分(包括两边界)跟踪训练 3解析：根据题意可知复数z满足 2|z|22，则由复数模的几何意义知z对应的点所构成的图形为半径为 2 和 22的两个同心圆所围成的圆环，则其面积为(22)2224.答案：4例 4解析：由z34i 得z34i，其在复平面内对应的点为(3，4)，在第四象限，故选 A.答案：A跟踪训练 4解析：a4i 与 3bi 互为共轭复数，a3，b4，则有|abi|34i|32+425.故选 D.答案：D随堂练习1解析：z12i 对应点Z(1，2)，位于第三象限故选 C.答案：C2解析：由题意可知，点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(1，2)，故向量OB对应的复数为12i.故选 D.答案：D3解析：因为aR R，所以|ai|a2+(1)25，即a215，解得a2，故选 C.答案：C4解析：复数z在复平面内对应的点在第四象限，x-2 0，3-x 0，解得x3.答案：(3，)7.2.1复数加、减运算及其几何意义7.2.1复数加、减运算及其几何意义【学习目标】(1)掌握复数代数形式的加、减运算法则(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(3)能够利用复数代数形式的加、减运算的几何意义解决有关问题题型 1 复数的加、减运算【问题探究 1】(1)多项式的加、减实质就是合并同类项，类比两个多项式的加、减，你能猜想出两个复数如何相加、减吗？(2)复数的加法满足交换律和结合律吗？例 1计算：(1)(13+12i)(2i)(43-32i)；(2)已知z123i，z212i，求z1z2，z1z2.学霸笔记：复数的代数式的加、减运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算 在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部 这种运算类似于初中的合并同类项跟踪训练 1(1)复数(12i)(34i)(53i)对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，则实数a的值为_题型 2 复数加、减运算的几何意义【问题探究 2】我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？例 2如图所示，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为 0、32i、24i，试求(1)AO所表示的复数，BC所表示的复数；(2)对角线CA所表示的复数；(3)对角线OB所表示的复数及OB的长度学霸笔记：(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能跟踪训练 2在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数 1，2i，12i.(1)求AB，AC，BC对应的复数；(2)判断ABC的形状题型 3 复数加、减运算的几何意义的应用例 3如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1 B12C2 D5学霸笔记：|z1z2|表示复平面内 z1，z2对应的两点间的距离利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解跟踪训练 3ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心随堂练习1已知z56i34i，则复数z为()A420i B210iC820i D220i2已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为1i 和43i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A5B5C25 D104已知复数z1a23i，z22aa2i，若z1z2是纯虚数，则实数a_课堂小结1.复数代数形式的加、减运算2复数加、减法的几何意义3复数加、减运算的几何意义的应用72.1复数加、减运算及其几何意义72.1复数加、减运算及其几何意义问题探究 1提示：(1)两个复数相加(减)就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)即(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a，b，c，dR R)(2)满足例 1解析：(1)(13+12i)(2i)(43-32i)(13243)(12132)i1i；(2)z123i，z212i，z1z223i(12i)15i，z1z223i(12i)3i.跟踪训练1解析：(1)复数(12i)(34i)(53i)(135)(243)i9i，其对应的点为(9，1)，在第一象限故选 A.(2)由已知可得z1z2(a2a2)(a23a2)i，因为z1z2是纯虚数，则a2+a 2=0，a2-3a+2 0，解得a2.答案：(1)A(2)2问题探究 2提示：设OZ1(a，b)，OZ2(c，d)，则OZ1OZ2(a，b)(c，d)(ac，bd)几何意义是以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线例 2解析：(1)AOOA，AO所表示的复数为32i.BCAO，BC所表示的复数为32i.(2)CAOA OC.CA所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)对角线OBOA+OC，它所对应的复数z(32i)(24i)16i，|OB|12+6237.跟踪训练 2解析：(1)A，B，C三点分别对应复数 1，2i，12i.所以OA，OB，OC对应的复数分别为 1，2i，12i(O为坐标原点)，所以OA(1，0)，OB(2，1)，OC(1，2)所以ABOB OA(1，1)，ACOC OA(2，2)，BCOC OB(3，1)即AB对应的复数为 1i，AC对应的复数为22i，BC对应的复数为3i.(2)因为|AB|1+12，|AC|(2)2+228，|BC|(3)2+110，因为|AB|2|AC|210|BC|2，且|AB|AC|，所以ABC是以角A为直角的直角三角形例 3解析：设复数z，i，i，1i 在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2，|Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以Z点在线段Z1Z2上移动，|ZZ3|min|Z1Z3|1，所以|zi1|min1.故选 A.答案：A跟踪训练 3解析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到ABC的顶点A，B，C的距离相等，P为ABC的外心故选 A.答案：A随堂练习1解析：z34i(56i)(35)(46)i210i.故选 B.答案：B2解析：zz2z1(12i)(2i)13i.故z对应的点为(1，3)，位于第三象限故选 C.答案：C3解析：依题意，AC对应的复数为(43i)(1i)34i，因此AC的长度为|34i|5.故选 B.答案：B4解析：由条件知z1z2a22a3(a21)i，又z1z2是纯虚数，所以a2 2a-3=0，a2 1 0解得a3.答案：37.2.2复数乘、除运算7.2.2复数乘、除运算【学习目标】(1)掌握复数代数形式的乘法和除法运算(2)理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(3)会利用复数代数形式的乘法和除法及运算律解决相关问题题型 1 复数的乘法运算【问题探究 1】类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？例 1计算下列各题(1)(1i)(1i)(2i)2；(2)(2i)(15i)(34i)2i.学霸笔记：(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便例如平方差公式、完全平方公式等跟踪训练 1(1)若z(3i)(2i)，则z()A5i B7iC5i D7i(2)设 i 为虚数单位，若复数(1i)(1ai)是实数，则实数a的值为()A1B0 C1D2题型 2 复数的除法运算【问题探究 2】类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？例 2计算：(1)2 i1+2i；(2)1+i1 i62+3i3-2i.题后师说两个复数代数形式除法运算的一般步骤跟踪训练 2(1)若复数z满足z(1i)43i，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(多选)已知复数z13 i3 i，则下列结论正确的是()Az的虚部是 1Bz在复平面内对应点落在第二象限Cz(1i)53iDzz17题型 3 在复数范围内解方程例 3在复数范围内解方程：x24x60.题后师说在复数范围内，实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的求解方法跟踪训练 3已知z2i 是关于x的方程x2pxq0 的一个根，求实数p、q的值及方程的另一个根随堂练习1(2i)(1i)()A3i B12iC3i D32若复数zi4 3i，则z()A325+425i B325-425iC325-425i D325+425i3设z132i，z21mi(其中 i 为虚数单位)，若z1z2为纯虚数，则实数m()A23B23C32 D324已知32i 是关于x的方程 2x2pxq0 的一个根，则实数p_，实数q_课堂小结1.复数的乘法运算2复数的除法运算3在复数范围内解方程72.2复数乘、除运算72.2复数乘、除运算问题探究 1提示：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR R)是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.例 1解析：(1)(1i)(1i)(2i)21i24i24i54i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(311i)(34i)2i912i33i44i22i5323i.跟踪训练 1解析：(1)因为z(3i)(2i)7i，所以z7i.故选 B.(2)(1i)(1ai)1aiiai21a(a1)i，它是实数，则a10，a1.故选 C.答案：(1)B(2)C问题探究 2提示：通常先把(abi)(cdi)写成a+bic+di的形式，再把分子和分母都乘以(cdi)，化简后得结果，即a+bic+di(a+bi)(c di)(c+di)(c di)(ac+bd)+(bc ad)ic2+d2ac+bdc2+d2bc adc2+d2i(cdi0)例 2解析：(1)2 i1+2i(2 i)(1 2i)(1+2i)(1 2i)2 4i i+2i25i.(2)方法一原式(1+i)226(2+3i)(3+2i)(3)2+(2)2i66+2i+3i 651i.方法二原式(1+i)2262+3ii(-3i-2)i6(2+3i)i2+3i1i.跟踪训练 2解析：(1)因为z(1i)43i，所以z4 3i1+i(4 3i)(1 i)(1+i)(1 i)4 4i 3i+3i2212-72i，所以复数z在复平面内所对应的点为(12，72)，位于第四象限故选 D.(2)由题意得z13 i3 i(13 i)(3+i)(3 i)(3+i)39+13i 3i+1104i，对于 A：z的虚部是 1，故 A 正确；对于 B：z4i，在复平面内对应点为(4，1)落在第四象限，故 B 错误；对于 C：z(1i)(4i)(1i)44ii153i，故 C 正确；对于 D：zz(4i)(4i)42i217，故 D 错误故选 AC.答案：(1)D(2)AC例 3解析：方法一因为x24x60，所以(x2)22，因为(2i)2(2i)22，所以x22i 或x22i，即x22i 或x22i，所以方程x24x60 的根为x22i.方法二由x24x60 知424680，所以方程x24x60 无实数根在复数范围内，设方程x24x60 的根为xabi(a，bR R 且b0)，则(abi)24(abi)60，所以a22abib24a4bi60，整理得(a2b24a6)(2ab4b)i0，所以a2 b2+4a+6=0，2ab+4b=0，又因为b0，所以a2 b2+4a+6=0，2a+4=0，解得a2，b2.所以x22i，即方程x24x60 的根为x22i.跟踪训练 3解析：因为z2i 是方程x2pxq0 的一个根，所以(2i)2p(2i)q0，即 3q2p(p4)i0，所以3+q+2p=0，p+4=0，解得p=-4，q=5，所以方程为x24x50，因为x1x24，所以方程的另一个根是x2i.随堂练习1解析：由题意可得：(2i)(1i)2ii23i.故选 A.答案：A2解析：由zi4-3ii(4+3i)25325+425i，得z325425i.故选 C.答案：C3解析：z1z2(32i)(1mi)33mi2i2m32m(3m2)i，因为z1z2为纯虚数，所以有3-2m=0，3m+2 0m32，故选 D.答案：D4解析：32i 是方程 2x2pxq0 的一个根，2(32i)2p(32i)q0，即(103pq)(2p24)i0.10-3p+q=0，2p-24=0，解得p=12，q=26.答案：1226章末复习课 7章末复习课 7知识网络形成体系考点聚焦分类突破考点一复数的概念1复数的概念主要包括复数的代数形式、复数的分类、复数相等、共轭复数及复数的模等知识点，其中，复数的分类及复数相等是热点2通过对复数的概念的考查，提升学生的数学抽象、数学运算素养例 1(1)设(12i)ab2i，其中a，b为实数，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1(2)已知 i 为虚数单位若复数za2a62i 为纯虚数，则实数a_跟踪训练 1(1)复数z(1i)i 的虚部是()A1 BiC1 Di(2)(多选)若复数z3i，则下列说法正确的是()Az在复平面内对应的点位于第四象限B|z|4Cz2423iDz的共轭复数z3i考点二复数的几何意义1复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题2通过对复数几何意义的考查，提升学生的直观想象、数学运算素养例 2(1)复数2 i1 3i在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)复平面内A、B、C三点所对应的复数为2i，1i，2i，若ABCD为平行四边形，则|BD|()A13 B13C17 D17跟踪训练 2(1)在复平面内，复数(14i)(23i)对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)在复平面内，若复数z(m24m)(m2)i 所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是()A(0，3)B(，2)C(2，4)D(3，4)考点三复数的四则运算1复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主2通过对复数的四则运算的考查，提升学生的数学运算素养例 3已知复数z113i，z222i，i 为虚数单位(1)求z1z2及|z1z2|；(2)若zz1z2，求z的共轭复数跟踪训练 3(1)设复数z12-32i，则z2z()A1 B0C1 D2(2)若 i(1z)1，则zz()A2 B1C1 D2章末复习课章末复习课例 1解析：(1)因为a，bR R，(ab)2ai2i，所以ab0，2a2，解得：a1，b1.故选 A.(2)因为复数za2a62i 为纯虚数，则a2a60，解得a2 或3.答案：(1)A(2)2 或3跟踪训练 1解析：(1)z(1i)i1i，其虚部为 1.故选 C.(2)由z3i，z在复平面内对应的点为(3，1)，位于第四象限，故 A 正确；|z|(3)2+(-1)22，故 B 错误；z2(3i)2323ii2223i，故 C 错误；z的共轭复数z3i，故 D 正确故选 AD.答案：(1)C(2)AD例 2解析：(1)2 i1 3i(2 i)(1+3i)105+5i101+i2，所以该复数对应的点为(12，12)，该点在第一象限，故选 A.(2)A，B，C三点对应的复数分别是2i，1i，2i，则复平面内A，B，C三点对应点的坐标为A(2，1)，B(1，1)，C(0，2)，设复平面内点D坐标为D(x，y)，则AB(3，2)，DC(x，2y)，又ABCD是复平面内的平行四边形，则ABDC，则x=3，2-y=2，解之得x=-3，y=0，则D(3，0)，则BD(4，1)，|BD|(4)2+117.故选 D.答案：(1)A(2)D跟踪训练 2解析：(1)(14i)(23i)23i8i12i2145i，其对应的点(14，5)位于第四象限故选 D.(2)复数z(m24m)(m2)i 所对应的点在第二象限，m2 4m 0，解得 2m4.故选 C.答案：(1)D(2)C例 3解析：(1)z113i，z222i，z222i，z1z2(13i)(22i)1i，|z1z2|13i22i|3i|32+1210.(2)由zz1z21+3i2+2i(1+3i)(2-2i)(2+2i)(2-2i)2-2i+6i-6i24-4i28+4i4+4112i，所以z112i.跟踪训练 3解析：(1)z1232i，则z2z(1232i)2(1232i)143432i12+32i1.故选 A.(2)由题设有 1z1iii2i，故z1i，故zz(1i)(1i)2，故选 D.答案：(1)A(2)D9.1.1简单随机抽样9.1.1简单随机抽样【学习目标】(1)了解简单随机抽样的含义(2)掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法(3)了解样本均值与总体均值的关系，会计算样本均值题型 1 全面调查与抽样调查【问题探究 1】为了解我校高一学生的体重指数，对全校 1 000 名高一学生进行调查分析，测量其身高和体重，计算其体重指数(1)像这样，对每一名学生都进行调查的方法称为什么？(2)全校 1 000 名高一学生和每一名学生分别称为什么？(3)如果从全校 1 000 名高一学生中抽取 200 名进行身高和体重测量登记，计算其体重指数，并以此估计全校高一学生的体重指数，这种调查方法称为什么？(4)在(3)中抽取的 200 名高一学生称为什么？数字 200 又是什么？例 1一名交警在高速公路上随机观测 6 辆车的行驶速度，然后做了一份报告，调查结果如下：车序号123456速度/(km/h)666571546958(1)交警采取的是_调查方式(2)为了强调调查目的，这次调查的样本是_，个体是_学霸笔记：一般地，如果调查对象比较少，容易调查，则适合普查；如果调查对象较多或者具有破坏性，则适合抽样调查跟踪训练 1(多选)下列调查方式不合适的是()A.为了了解某型号炮弹的杀伤力，采用普查的方式B.为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式C.为了了解人们保护水资源的意识，采用抽查的方式D.对“神舟十号”零部件的检查，采用抽查的方式题型 2 简单随机抽样【问题探究 2】假设口袋中有红球和白球共 1 000 个，除颜色外，小球的大小、质地完全相同你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？例 2下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取 50 个个体作为样本；(2)质量监督部门从 180 种儿童玩具中选出 18 种玩具进行质量检验，在抽样过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；(3)国家跳水队挑出最优秀的 10 名跳水队员，备战 2024 年法国巴黎奥运会；(4)一彩民选号，从装有 36 个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出 7 个号签学霸笔记：判断一个抽样方法是否属于简单随机抽样，只需要对简单随机抽样的 4 个特征(有限性、逐一性、不放回性、等可能性)进行验证，若全部满足，则该抽样方法为简单随机抽样，若有其中一条不满足，则不是简单随机抽样跟踪训练 2下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是()A某学校有学生 1 320 人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为 300 的样本B为了准备省政协会议，某政协委员计划从 1 135 个村庄中抽取 50 个进行收入调查C从全班 30 名学生中，任意选取 5 名进行家访D为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的 5 000 人中抽取 200 人进行统计题型 3 简单随机抽样的方法【问题探究 3】3 月 15 日是国际消费者权益日，有人举报某个体经商户出售的某品牌的节能灯是假的，工商局的质检员对该个体经商户出售的某品牌的节能灯进行检测(1)上述检测用什么方法比较好？(2)在上述的事例中，质检人员在对某个体经商户所销售的节能灯进行抽检和对生产厂家所生产的节能灯进行抽检采取的方式一样吗？例 3某卫生单位为了支援抗震救灾，要在 50 名志愿者中选取 10 人组成医疗小组去参加救治工作，请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案题后师说1利用抽签法抽取样本的步骤2利用随机数法抽取样本的步骤(1)编号：将每个个体编号，各号数的位数相同(2)选起始号码：任取某行、某组的某数为起始号码(3)确定读数方向：一般从左到右读取跟踪训练 3(1)下列抽样试验中，适合用抽签法的是()A从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验B从某厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验C从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验D从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验(2)国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取 5 名学生进行调查若某班有 50 名学生，将每一名学生从 01 到 50 编号，从下面所给的随机数表的第 2行第 4 列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为()随机数表如下：015432876595428753467953258657413369832445977386524435786241A13 B24C33 D36题型 4 用样本平均数估计总体平均数【问题探究 4】在某地居民家庭年均收入调查中，小芳和小丽分别独立进行了简单随机抽样调查，小芳调查的样本平均数为 4 万，样本量为 200；小丽调查的样本平均数为 3.6万，样本量为 500，你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计？例 4某工厂人员及工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒月工资10 0005 0004 0003 0002 000人数165201(1)求该工厂所有人员的平均工资(2)工资的平均数能反映该厂的工资水平吗？为什么？学霸笔记：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体均值；(2)总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性；(3)一般情况，样本容量越大，估计值越准确跟踪训练 4在某次测量中，甲工厂生产的某产品的A样本数据如下：43，50，45，55，60.若乙工厂生产的该产品的B样本数据恰好是由A样本数据中的每个数都增加 5 后得到的，则B样本的均值为_据此，可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为_随堂练习1以下问题不适合用全面调查的是()A调查某班学生每周课前预习的时间B调查某中学在职教师的身体健康状况C调查全国中小学生课外阅读情况D调查某校篮球队员的身高2在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性()A与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D与第几次抽样无关，每次都是等可能地抽取，但各次抽取的可能性不一定3 某学校数学组要从 11 名数学老师中推选 3 名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了 11 个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是()A制签 B搅拌均匀C逐一抽取 D抽取后不放回4从一个篮球训练营中抽取 10 名学员进行投篮比赛，每人投 10 次，统计出该 10 名学员投篮投中的次数，4 个投中 5 次，3 个投中 6 次，2 个投中 7 次，1 个投中 8 次试估计该训练营投篮投中的比例为_课堂小结1.全面调查和抽样调查2简单随机抽样及其方法(抽签法、随机数法)3用样本平均数估计总体平均数91.1简单随机抽样91.1简单随机抽样问题探究 1提示：(1)全面调查，又称普查(2)总体，个体(3)抽样调查(4)样本，样本量例 1解析：(1)交警采取的是抽样调查，调查对象的指标是车的行驶速度(2)这次调查的样本是 6 辆车的行驶速度，个体是每一辆车的行驶速度答案：(1)抽样(2)6 辆车的行驶速度每一辆车的行驶速度跟踪训练 1解析：了解炮弹的杀伤力，采用普查方式就全销毁了，只能采用抽查方式；了解全国学生睡眠状况，采用普查方式费时费力，也是不必要的，应采用抽查方式；了解人们保护水资源的意识，采用普查方式费时费力，也是不必要的，应采用抽查方式；对于航天器零部件的检查，必须做到万无一失，应当采用普查的方式故选 ABD.答案：ABD问题探究 2提示：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球的比例，也可以采用不放回地摸球去估计红球的比例例 2解析：(1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的(2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取(3)不是简单随机抽样，因为这 10 名跳水队员是挑选出来的(最优秀的)，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能性”的要求(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样跟踪训练 2解析：对于 A，不同年级的学生身体发育情况差别较大，适合用分层抽样，A 不是；对于 B，总体容量较大，并且各村庄人口、地域、发展等方面的差异，不宜用简单随机抽样，B 不是；对于 C，总体容量较小，个体之间无明显差异，适宜用简单随机抽样；对于 D，总体容量较大，不同年龄的人癌症的发病情况不同，不宜用简单随机抽样，D 不是故选 C.答案：C问题探究 3提示：(1)由于个体经商户购进的节能灯数量不会很多，可以采取抽签法抽取产品进行检测(2)不一样，个体经商户销售的节能灯数量较少，可用抽签法(抓阄法)，而生产厂家生产的节能灯太多，可用计算机按生产批号进行抽取例 3解析：抽签法：第一步，将 50 名志愿者编号，号码为 01，02，03，50.第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀第四步，从盒子中依次不放回地取出 10 个号签，并记录上面的编号第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员随机数法：(1)将 50 名志愿者编号，号码为 01，02，03，50.(2)准备 10 个