1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 函数与方程 1 (2018 河北省定州中学月考改编 )函数 f(x) ex 3x 的零点个数是 _ 解析 由已知得 f( x) ex 30, 所以 f(x)在 R 上单调递增 , 又 f( 1) e 1 30, 所以 f(x)的零点个数是 1. 答案 1 2 根据表格中的数据 , 可以判定方程 ex x 2 0 的一个根所在的区间为 _ x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x 2 1 2 3 4 5 解析 据题 意令 f(x) ex x 2, 由于 f(1) e1 1 2 2.72 30, 故函数在区间 (1
2、, 2)内存在零点 , 即方程在相应区间内有根 答案 (1, 2) 3 用二分法求方程 x2 2 的正实根的近似解 (精确度为 0.001)时 , 如果我们选取初始区间 1.4, 1.5, 则要达到精度要求至少需要计算的次数是 _ 解析 设至少需要计算 n 次 , 由题意知 1.5 1.42n 100, 由 26 64, 27128 知 n 7. 答案 7 4 已知函数 f(x)?2x 1, x 1,1 log2x, x1, 则函数 f(x)的零点为 _ 解析 当 x1 时 , 由 f(x) 2x 1 0, 解得 x 0;当 x1 时 , 由 f(x) 1 log2x 0,解得 x 12, 又
3、因为 x1, 所以此时方程无解综上函数 f(x)的零点只有 0. 答案 0 5 函数 f(x)?2x 1 ( x0 ) ,f( x 1)( x 0) , 若方程 f(x) x a 有且只有两个不相等的实数根 , 则实数 a 的取值 范围为 _ 解析 函数 f(x)?2x 1( x0 ) ,f( x 1)( x 0) 的图象如图所示 , 作出直线 l: y a x, 向左平移直线 l, 观察可得函数 y f(x)的图象与直线 l: y x a 的图象有两个交点 , 即方程 f(x) x a 有且只有两个不相等的实数根 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 即有 a 1. 答案 ( , 1) 6
4、若函数 f(x)?2x a, x 0,ln x, x0 有两个不同的零点 , 则实数 a 的取值范围是 _ 解析 当 x0 时 , 由 f(x) ln x 0, 得 x 1.因为函数 f(x)有两个不同的零点 , 则当 x0 时 , 函数 f(x) 2x a 有一个零点 , 令 f(x) 0 得 a 2x, 因为 01 时 , g(x)有 2 个零点 , 所以 a 的最小值为 1. 答案 1 9 已知 f(x)?x 3, x 1, x2 2x 3, x 1, 则函数 g(x) f(x) ex的零点个数为 _ 解析 函数 g(x) f(x) ex 的零点个数即为函数 y f(x)与 y ex的图
5、象的交点个数 作出函数图象可知有 2 个交点 , 即函数 g(x) f(x) ex有 2 个零点 答案 2 10 (2018 江苏省重点中学领航高考冲刺卷 (五 )已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 4的偶函数 , 又函数 f(x)?|ln x|( 00, 则应有 f(2)0. 若关于 x 的方程 f(f(x) 0 有且仅有一个实数解 ,则实数 a 的取值范围是 _ 解析:若 a 0, 当 x0 时 , f(x) 0, 故 f(f(x) f(0) 0 有无数解 , 不符合题意 ,故 a0. 显然当 x0 时 , a 2x 0, 故 f(x) 0 的根为 1, 从而 f(f(x) 0 有唯一
6、根 , 即为 f(x) 1 有唯一根 , 而 x0 时 , f(x) 1 有唯一根 12, 故 a2 x 1 在 ( , 0上无根当a2 x 1 在 ( , 0上有根时 , 可得 a 12x 1, 故由 a2 x 1 在 ( , 0上无根可知 a 1, x2 1, x1 x2. 则 x1 x2 2m, x1 x2 3m 4, 故只需? 4m2 4( 3m 4) 0,( x1 1)( x2 1) 0,( x1 1)( x2 1) 0?m2 3m 40, 2m 20,3m 4( 2m) 10?m4,m 5.故 m 的取值范围是 m| 50 时 , 求证:函数 f(x)在 (0, ) 内有且仅有一个
7、零点; (3)若函数 f(x)有四个 不同的零点 , 求 a 的取值范围 解: (1)当 x0 时 , 由 f(x) 0, 得 xx 2 2x2 0, 即 x(2x2 4x 1) 0, 解得 x 0或 x 2 62 (舍负值 ); 当 x0 且 x0 时 , 由 f(x) 0, 得 xx 2 ax2 0, 即 ax2 2ax 1 0. 记 g(x) ax2 2ax 1, 则函数 g(x)的图象是开口向上的抛物线 又 g(0) 10, 由 (2)知 , 当 a0 时 , 函数 f(x)在区间 (0, ) 内有且仅有一个零点; =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a0 时 , g(x) ax2 2ax 11, 综上所述 , a 的 取值范围是 (1, )