1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 函数与方程 1 (2018 河北省定州中学月考改编 )函数 f(x) ex 3x 的零点个数是 _ 解析 由已知得 f( x) ex 30， 所以 f(x)在 R 上单调递增 ， 又 f( 1) e 1 30， 所以 f(x)的零点个数是 1. 答案 1 2 根据表格中的数据 ， 可以判定方程 ex x 2 0 的一个根所在的区间为 _ x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x 2 1 2 3 4 5 解析 据题 意令 f(x) ex x 2， 由于 f(1) e1 1 2 2.72 30， 故函数在区间 (1
2、， 2)内存在零点 ， 即方程在相应区间内有根 答案 (1， 2) 3 用二分法求方程 x2 2 的正实根的近似解 (精确度为 0.001)时 ， 如果我们选取初始区间 1.4， 1.5， 则要达到精度要求至少需要计算的次数是 _ 解析 设至少需要计算 n 次 ， 由题意知 1.5 1.42n 100， 由 26 64， 27128 知 n 7. 答案 7 4 已知函数 f(x)?2x 1， x 1，1 log2x， x1， 则函数 f(x)的零点为 _ 解析 当 x1 时 ， 由 f(x) 2x 1 0， 解得 x 0；当 x1 时 ， 由 f(x) 1 log2x 0，解得 x 12， 又
3、因为 x1， 所以此时方程无解综上函数 f(x)的零点只有 0. 答案 0 5 函数 f(x)?2x 1 （ x0 ） ，f（ x 1）（ x 0） ， 若方程 f(x) x a 有且只有两个不相等的实数根 ， 则实数 a 的取值 范围为 _ 解析 函数 f(x)?2x 1（ x0 ） ，f（ x 1）（ x 0） 的图象如图所示 ， 作出直线 l： y a x， 向左平移直线 l， 观察可得函数 y f(x)的图象与直线 l： y x a 的图象有两个交点 ， 即方程 f(x) x a 有且只有两个不相等的实数根 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即有 a 1. 答案 ( ， 1) 6
4、若函数 f(x)?2x a， x 0，ln x， x0 有两个不同的零点 ， 则实数 a 的取值范围是 _ 解析 当 x0 时 ， 由 f(x) ln x 0， 得 x 1.因为函数 f(x)有两个不同的零点 ， 则当 x0 时 ， 函数 f(x) 2x a 有一个零点 ， 令 f(x) 0 得 a 2x， 因为 01 时 ， g(x)有 2 个零点 ， 所以 a 的最小值为 1. 答案 1 9 已知 f(x)?x 3， x 1， x2 2x 3， x 1， 则函数 g(x) f(x) ex的零点个数为 _ 解析 函数 g(x) f(x) ex 的零点个数即为函数 y f(x)与 y ex的图
5、象的交点个数 作出函数图象可知有 2 个交点 ， 即函数 g(x) f(x) ex有 2 个零点 答案 2 10 (2018 江苏省重点中学领航高考冲刺卷 (五 )已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 4的偶函数 ， 又函数 f(x)?|ln x|（ 00， 则应有 f(2)0. 若关于 x 的方程 f(f(x) 0 有且仅有一个实数解 ，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：若 a 0， 当 x0 时 ， f(x) 0， 故 f(f(x) f(0) 0 有无数解 ， 不符合题意 ，故 a0. 显然当 x0 时 ， a 2x 0， 故 f(x) 0 的根为 1， 从而 f(f(x) 0 有唯一
6、根 ， 即为 f(x) 1 有唯一根 ， 而 x0 时 ， f(x) 1 有唯一根 12， 故 a2 x 1 在 ( ， 0上无根当a2 x 1 在 ( ， 0上有根时 ， 可得 a 12x 1， 故由 a2 x 1 在 ( ， 0上无根可知 a 1， x2 1， x1 x2. 则 x1 x2 2m， x1 x2 3m 4， 故只需? 4m2 4（ 3m 4） 0，（ x1 1）（ x2 1） 0，（ x1 1）（ x2 1） 0?m2 3m 40， 2m 20，3m 4（ 2m） 10?m4，m 5.故 m 的取值范围是 m| 50 时 ， 求证：函数 f(x)在 (0， ) 内有且仅有一个
7、零点； (3)若函数 f(x)有四个 不同的零点 ， 求 a 的取值范围 解： (1)当 x0 时 ， 由 f(x) 0， 得 xx 2 2x2 0， 即 x(2x2 4x 1) 0， 解得 x 0或 x 2 62 (舍负值 )； 当 x0 且 x0 时 ， 由 f(x) 0， 得 xx 2 ax2 0， 即 ax2 2ax 1 0. 记 g(x) ax2 2ax 1， 则函数 g(x)的图象是开口向上的抛物线 又 g(0) 10， 由 (2)知 ， 当 a0 时 ， 函数 f(x)在区间 (0， ) 内有且仅有一个零点； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a0 时 ， g(x) ax2 2ax 11， 综上所述 ， a 的 取值范围是 (1， )
