全国通用版2019版高考数学一轮复习第十四单元椭圆双曲线抛物线高考达标检测三十八双曲线命题3角度--用定义求方程研性质（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（三十八） 双曲线命题 3 角度 用定义、求方程、研性质 一、选择题 1若双曲线 C1： x22y28 1 与 C2：x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线相同，且双曲线 C2的焦距为 4 5，则 b ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析：选 B 由题意得， ba 2?b 2a， C2的焦距 2c 4 5?c a2 b2 2 5?b 4. 2椭圆 x2m2y2n2 1(mn0)与双曲线x2a2y2b2 1(a0， b0)的公共焦点为 F1， F2，若 P 是两曲线的一个交点，则 |PF1| PF2|的值是 ( ) A m a B

2、m2 a2 C.m a2 D. m a 解析：选 B 由题意，不妨设 P 在双曲线的右支上， 则 |PF1| |PF2| 2m， |PF1| |PF2| 2a， |PF1| m a， |PF2| m a， |PF1| PF2| m2 a2. 3在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1： 2x2 y2 1，过 C1的左顶点引 C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积为 ( ) A. 24 B. 22 C. 28 D. 216 解析：选 C 双曲线 C1： 2x2 y2 1，即 x212 y2 1， 所以左顶点 A? ? 22 ， 0 ， 渐近线方程 y

3、2x， 过点 A 与渐近线 y 2x 平行的直线方程为 y 2? ?x 22 ，即 y 2x 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解方程组 ? y 2x，y 2x 1，得? x 24 ，y 12，所以该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积 S 12|OA| y| 12 22 1228 . 4已知双曲线 E： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2， |F1F2| 6， P 是E 右支上一点， PF1与 y 轴交于点 A， PAF2的内切圆在边 AF2上的切点为 Q，若 |AQ| 3，则 E 的离心率为 ( ) A 2 3 B. 5 C. 3 D.

4、 2 解析：选 C 如图，设 PAF2的内切圆在边 PF2上的切点为 M，在 AP上的切点为 N， 则 |PM| |PN|， |AQ| |AN| 3， |QF2| |MF2|， 由双曲线的对称性可得， |AF1| |AF2| |AQ| |QF2| 3 |QF2|， 由双曲线的定义可得， |PF1| |PF2| |PA| |AF1| |PM| |MF2| 3 |QF2| |AN| |NP| |PM| |MF2| 2 3 2a， 解得 a 3，又 |F1F2| 6，则 c 3， 故离心率 e ca 3. 5已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线

5、的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率 为 ( ) A. 52 B. 5 C. 2 D 2 解析：选 C 将 x c 代入双曲线方程可得 |y| b2a， 因为以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线=【 ;精品教育资源文库 】 = 的实轴垂直，所以圆的半径为 b2a， 又双曲线的渐近线方程为 bx ay 0， 所以 bcb2 a2 b2a，化简可得 a b， 则双曲线的离心离为 2. 6 (2018 东北四校联考 )已知点 F1， F2 为双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的

6、左、右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足 |PF2| |F1F2|， F1F2P 120 ，则双曲线的离心率为 ( ) A. 3 12 B. 5 12 C. 3 D. 5 解析：选 A 如图，在 PF1F2中， |PF2| |F1F2| 2c， 又 F1F2P 120 ，由余弦定理可得 |PF1|2 |F1F2|2 |PF2|22|F1F2| PF2|cos 120 12c2，所以 |PF1| 2 3c. 由双曲线的定义可得 2a |PF1| |PF2| 2 3c 2c 2( 3 1)c. 故双曲线的离心率 e 2c2a 2c3 c 3 12 . 7已知双曲线 x2a2y2b2 1(

7、a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， O 为 坐标原点， A 为右顶点， P 为双曲线左支上一点，若 |PF2|2|PF1| |OA|存在最小值为 12a，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为 ( ) A.15 B.12 C.2 65 D. 35 解析：选 A 设 |PF1| |OA| m，则 |PF2|2|PF1| |OA|a m 2m m9a2m 6a12 a， 当且 仅当 m 3a 时取等号， |PF1| 4a， 4a c a， 5a c， 25a2 a2 b2， ba2 6， 设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为 ， 则 0 tan 2 6， cos 15，

8、 =【 ;精品教育资源文库 】 = 双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为 15. 8已知双曲线 C： x2a2y2b2 1 的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C的某一条渐近线 交于两点 P， Q，若 PAQ 60 且 OQ 5 OP ，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A 2 B. 213 C. 72 D 3 解析：选 B 如图，因为 PAQ 60 ， |AP| |AQ|， 所以 QAP 为等边三角形 设 |AQ| 2R，因为 OQ 5 OP ， 所以 |PQ| 2R， |OP| 12R. 又渐近线方程为 y bax， A(a,0), 取 PQ 的中点

9、 M，则 |AM| |ab|a2 b2， 由勾股定理可得 (2R)2 R2 ? ?|ab|a2 b2 2， 所以 (ab)2 3R2(a2 b2) 在 OQA 中 ， ? ?52R 2 2R 2 a22 52R2 R 12， 所以 214R2 a2. 联立 并结合 c2 a2 b2， 可得 c2 74b2 74(c2 a2)， 即 3c2 7a2， 所以 e ca 73 213 . 二、填空题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 9 (2017 江苏高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x23 y2 1 的右准线与它的 两条渐近线分别交于点 P， Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F

10、1PF2Q 的面积是 _ 解析：由题意得，双曲线的右准线 x 32与两条渐近线 y 33 x 的交点坐标为?32， 32 . 不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2， 则 F1( 2,0)， F2(2,0)， 故四边形 F1PF2Q 的面积是 12|F1F2| PQ| 124 3 2 3. 答案： 2 3 10 (2017 山东高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2 2py(p0)交于 A， B 两点若 |AF| |BF| 4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 _ 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y

11、2)，由抛物线的定义可知 |AF| y1 p2， |BF| y2 p2， |OF| p2， 由 |AF| |BF| y1 p2 y2 p2 y1 y2 p 4|OF| 2p，得 y1 y2 p. 联立? x2a2y2b2 1，x2 2py消去 x，得 a2y2 2pb2y a2b2 0， 所以 y1 y2 2pb2a2 ，所以2pb2a2 p，即b2a212，故ba22 ， 所以双曲线的渐近线方程为 y 22 x. 答案： y 22 x 11已知 F1， F2 为双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左、右焦点，过 F2 作双曲线渐近线的垂线，垂足为 P，若 |PF1|2 |PF2

12、|2 c2，则双曲线的离心率 e _. 解析：设双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的 一条渐近线方程为 ybax， F2(c,0)到渐近线的=【 ;精品教育资源文库 】 = 距离为 d |PF2| bca2 b2 b， cos POF2 c2 b2c ac， 在 POF1中， |PF1|2 |PO|2 |OF1|2 2|PO| OF1|cos POF1 a2 c2 2ac ? ? ac 3a2 c2， 则 |PF1|2 |PF2|2 3a2 c2 b2 4a2 c2， e ca 2. 答案： 2 12过双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线

13、与双曲线交于 A， B两点，与双曲线的渐近线交于 C， D 两点，若 |AB| 35|CD|，则双曲线的离心率 e 的取值范围为 _ 解析：设双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点为 (c,0)， 将 x c 代入双曲线 x2a2y2b2 1，得 y b2a， 令 A? ?c， b2a ， B?c， b2a ， |AB| 2b2a .将 x c 代入 y bax，得 y bca ， 令 C? ?c， bca ， D? ?c， bca ， |CD| 2bca . |AB| 35|CD|， 2b2a 352bca ，即 b35c， 则 b2 c2 a2 925c2， 即 1625

14、c2 a2， e2 c2a22516，即 e54. 答案： ? ?54， 三、解答题 13已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为 3，点 ( 3， 0)是双曲线的一个顶点 (1)求双曲线的方程； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)经过双曲线右焦点 F2作倾斜角为 30 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 A， B，求 |AB|. 解： (1) 双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为 3，点 ( 3， 0)是双曲线的一个顶点， ? ca 3，a 3，解得 c 3， b 6， 双曲线的方程为 x23y26 1. (2)双曲线 x23y26 1

15、的右焦点为 F2(3,0)， 经过双曲线右焦点 F2且倾斜角为 30 的直线的方程为 y 33 (x 3) 联立? x23 y26 1，y 33 x ，得 5x2 6x 27 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 65， x1x2 275. 所以 |AB| 1 13 ? ? 65 2 4 ? ? 275 16 35 . 14已知椭圆 C1的方程为 x24 y2 1，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点， O 为坐标原点 (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l： y kx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA OB 2，求k 的取值范围 解： (1)设双曲线 C2的方程为 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)， 则 a2 4 1 3， c2 4，再由 a2 b2 c2，得 b2 1， 故双曲线 C2的方程为 x23 y2 1. (2)将 y kx 2代入 x23 y2 1， 得 (1 3k2)x2 6 2kx 9 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由直线 l 与双曲线 C2交