1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（三十八） 双曲线命题 3 角度 用定义、求方程、研性质 一、选择题 1若双曲线 C1： x22y28 1 与 C2：x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线相同，且双曲线 C2的焦距为 4 5，则 b ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析：选 B 由题意得， ba 2?b 2a， C2的焦距 2c 4 5?c a2 b2 2 5?b 4. 2椭圆 x2m2y2n2 1(mn0)与双曲线x2a2y2b2 1(a0， b0)的公共焦点为 F1， F2，若 P 是两曲线的一个交点，则 |PF1| PF2|的值是 ( ) A m a B
2、m2 a2 C.m a2 D. m a 解析：选 B 由题意，不妨设 P 在双曲线的右支上， 则 |PF1| |PF2| 2m， |PF1| |PF2| 2a， |PF1| m a， |PF2| m a， |PF1| PF2| m2 a2. 3在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1： 2x2 y2 1，过 C1的左顶点引 C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积为 ( ) A. 24 B. 22 C. 28 D. 216 解析：选 C 双曲线 C1： 2x2 y2 1，即 x212 y2 1， 所以左顶点 A? ? 22 ， 0 ， 渐近线方程 y
3、2x， 过点 A 与渐近线 y 2x 平行的直线方程为 y 2? ?x 22 ，即 y 2x 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解方程组 ? y 2x，y 2x 1，得? x 24 ，y 12，所以该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积 S 12|OA| y| 12 22 1228 . 4已知双曲线 E： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2， |F1F2| 6， P 是E 右支上一点， PF1与 y 轴交于点 A， PAF2的内切圆在边 AF2上的切点为 Q，若 |AQ| 3，则 E 的离心率为 ( ) A 2 3 B. 5 C. 3 D.
4、 2 解析：选 C 如图，设 PAF2的内切圆在边 PF2上的切点为 M，在 AP上的切点为 N， 则 |PM| |PN|， |AQ| |AN| 3， |QF2| |MF2|， 由双曲线的对称性可得， |AF1| |AF2| |AQ| |QF2| 3 |QF2|， 由双曲线的定义可得， |PF1| |PF2| |PA| |AF1| |PM| |MF2| 3 |QF2| |AN| |NP| |PM| |MF2| 2 3 2a， 解得 a 3，又 |F1F2| 6，则 c 3， 故离心率 e ca 3. 5已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线
5、的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率 为 ( ) A. 52 B. 5 C. 2 D 2 解析：选 C 将 x c 代入双曲线方程可得 |y| b2a， 因为以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线=【 ;精品教育资源文库 】 = 的实轴垂直，所以圆的半径为 b2a， 又双曲线的渐近线方程为 bx ay 0， 所以 bcb2 a2 b2a，化简可得 a b， 则双曲线的离心离为 2. 6 (2018 东北四校联考 )已知点 F1， F2 为双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的
6、左、右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足 |PF2| |F1F2|， F1F2P 120 ，则双曲线的离心率为 ( ) A. 3 12 B. 5 12 C. 3 D. 5 解析：选 A 如图，在 PF1F2中， |PF2| |F1F2| 2c， 又 F1F2P 120 ，由余弦定理可得 |PF1|2 |F1F2|2 |PF2|22|F1F2| PF2|cos 120 12c2，所以 |PF1| 2 3c. 由双曲线的定义可得 2a |PF1| |PF2| 2 3c 2c 2( 3 1)c. 故双曲线的离心率 e 2c2a 2c3 c 3 12 . 7已知双曲线 x2a2y2b2 1(
7、a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， O 为 坐标原点， A 为右顶点， P 为双曲线左支上一点，若 |PF2|2|PF1| |OA|存在最小值为 12a，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为 ( ) A.15 B.12 C.2 65 D. 35 解析：选 A 设 |PF1| |OA| m，则 |PF2|2|PF1| |OA|a m 2m m9a2m 6a12 a， 当且 仅当 m 3a 时取等号， |PF1| 4a， 4a c a， 5a c， 25a2 a2 b2， ba2 6， 设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为 ， 则 0 tan 2 6， cos 15，
8、 =【 ;精品教育资源文库 】 = 双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为 15. 8已知双曲线 C： x2a2y2b2 1 的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C的某一条渐近线 交于两点 P， Q，若 PAQ 60 且 OQ 5 OP ，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A 2 B. 213 C. 72 D 3 解析：选 B 如图，因为 PAQ 60 ， |AP| |AQ|， 所以 QAP 为等边三角形 设 |AQ| 2R，因为 OQ 5 OP ， 所以 |PQ| 2R， |OP| 12R. 又渐近线方程为 y bax， A(a,0), 取 PQ 的中点
9、 M，则 |AM| |ab|a2 b2， 由勾股定理可得 (2R)2 R2 ? ?|ab|a2 b2 2， 所以 (ab)2 3R2(a2 b2) 在 OQA 中 ， ? ?52R 2 2R 2 a22 52R2 R 12， 所以 214R2 a2. 联立 并结合 c2 a2 b2， 可得 c2 74b2 74(c2 a2)， 即 3c2 7a2， 所以 e ca 73 213 . 二、填空题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 9 (2017 江苏高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x23 y2 1 的右准线与它的 两条渐近线分别交于点 P， Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F
10、1PF2Q 的面积是 _ 解析：由题意得，双曲线的右准线 x 32与两条渐近线 y 33 x 的交点坐标为?32， 32 . 不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2， 则 F1( 2,0)， F2(2,0)， 故四边形 F1PF2Q 的面积是 12|F1F2| PQ| 124 3 2 3. 答案： 2 3 10 (2017 山东高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2 2py(p0)交于 A， B 两点若 |AF| |BF| 4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 _ 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y
11、2)，由抛物线的定义可知 |AF| y1 p2， |BF| y2 p2， |OF| p2， 由 |AF| |BF| y1 p2 y2 p2 y1 y2 p 4|OF| 2p，得 y1 y2 p. 联立? x2a2y2b2 1，x2 2py消去 x，得 a2y2 2pb2y a2b2 0， 所以 y1 y2 2pb2a2 ，所以2pb2a2 p，即b2a212，故ba22 ， 所以双曲线的渐近线方程为 y 22 x. 答案： y 22 x 11已知 F1， F2 为双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左、右焦点，过 F2 作双曲线渐近线的垂线，垂足为 P，若 |PF1|2 |PF2
12、|2 c2，则双曲线的离心率 e _. 解析：设双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的 一条渐近线方程为 ybax， F2(c,0)到渐近线的=【 ;精品教育资源文库 】 = 距离为 d |PF2| bca2 b2 b， cos POF2 c2 b2c ac， 在 POF1中， |PF1|2 |PO|2 |OF1|2 2|PO| OF1|cos POF1 a2 c2 2ac ? ? ac 3a2 c2， 则 |PF1|2 |PF2|2 3a2 c2 b2 4a2 c2， e ca 2. 答案： 2 12过双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线
13、与双曲线交于 A， B两点，与双曲线的渐近线交于 C， D 两点，若 |AB| 35|CD|，则双曲线的离心率 e 的取值范围为 _ 解析：设双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点为 (c,0)， 将 x c 代入双曲线 x2a2y2b2 1，得 y b2a， 令 A? ?c， b2a ， B?c， b2a ， |AB| 2b2a .将 x c 代入 y bax，得 y bca ， 令 C? ?c， bca ， D? ?c， bca ， |CD| 2bca . |AB| 35|CD|， 2b2a 352bca ，即 b35c， 则 b2 c2 a2 925c2， 即 1625
14、c2 a2， e2 c2a22516，即 e54. 答案： ? ?54， 三、解答题 13已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为 3，点 ( 3， 0)是双曲线的一个顶点 (1)求双曲线的方程； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)经过双曲线右焦点 F2作倾斜角为 30 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 A， B，求 |AB|. 解： (1) 双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为 3，点 ( 3， 0)是双曲线的一个顶点， ? ca 3，a 3，解得 c 3， b 6， 双曲线的方程为 x23y26 1. (2)双曲线 x23y26 1
15、的右焦点为 F2(3,0)， 经过双曲线右焦点 F2且倾斜角为 30 的直线的方程为 y 33 (x 3) 联立? x23 y26 1，y 33 x ，得 5x2 6x 27 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 65， x1x2 275. 所以 |AB| 1 13 ? ? 65 2 4 ? ? 275 16 35 . 14已知椭圆 C1的方程为 x24 y2 1，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点， O 为坐标原点 (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l： y kx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA OB 2，求k 的取值范围 解： (1)设双曲线 C2的方程为 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)， 则 a2 4 1 3， c2 4，再由 a2 b2 c2，得 b2 1， 故双曲线 C2的方程为 x23 y2 1. (2)将 y kx 2代入 x23 y2 1， 得 (1 3k2)x2 6 2kx 9 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由直线 l 与双曲线 C2交
