1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 25 讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例 解密考纲 本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义,往往借助于数量积求模长、夹角、面积等,多以选择题、填空题的形式考查,题目难度中等偏难 一、选择题 1已知向量 a (x 1,2), b (2,1),则 a b 的充要条件是 ( D ) A x 12 B x 1 C x 5 D x 0 解析 由向量垂直的充要条件,得 2(x 1) 2 0,解得 x 0. 2已知非零向量 a, b, |a| |b| |a b|,则 cos a, a b ( C ) A 12 B 12 C 32 D 32 解析 设 |
2、a| |b| |a b| 1,则 (a b)2 a2 2ab b2 1, ab 12, a (a b) a2 ab 1 12 32. |a b| a2 b2 2ab 1 1 1 3, cos a, a b321 332 . 3已知向量 |OA | 2, |OB | 4, OA OB 4,则以 OA , OB 为邻边的平行四边形的面积为( A ) A 4 3 B 2 3 C 4 D 2 解析 因为 cos AOB OA OB|OA |OB | 424 12,所以 sin AOB 32 ,所以所求的平行四边形的面积为 |OA | OB |sin AOB 4 3.故选 A 4已知平面向量 a, b
3、满足 a (a b) 3,且 |a| 2, |b| 1,则向量 a 与 b 夹角的正弦值为 ( D ) A 12 B 32 C 12 D 32 解析 a (a b) a2 ab 22 21cos a, b 4 2cos a, b 3, cos=【 ;精品教育资源文库 】 = a, b 12,又 a, b 0, , sin a, b 1 cos2 a, b 32 .故选 D 5若 ABC 的三个内角 A, B, C 度数成等差数列,且 (AB AC ) BC 0,则 ABC 一定是 ( C ) A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形 解析 因为 (AB AC ) BC
4、0,所以 (AB AC )( AC AB ) 0,所以 AC 2 AB 2 0,即 |AC | |AB |,又 A, B, C 度数成等差数列,故 2B A C,又 A B C ,所以 2B B,所以 B 3 ,故 ABC 是等边三角形 6 (2017 浙江卷 )如图,已知平面四边形 ABCD, AB BC, AB BC AD 2, CD 3, AC与 BD 交于点 O,记 I1 OA OB , I2 OB OC , I3 OC OD ,则 ( C ) A I1 I2 I3 B I1 I3 I2 C I3 I1 I2 D I2 I1 I3 解析 如图所示,四边形 ABCE 是正方形, F 为正
5、方形的对角线的交点,易知 AOI3,作 AG BD 于 G,又 AB AD, OBOC OD ,即 I1I3, I3I1I2.故选 C 二、填空题 7 (2017 全国卷 )已知向量 a ( 2,3), b (3, m),且 a b,则 m _2_. 解析 因为 a b,所以 ab 23 3m 0,解得 m 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8已知 A, B, C 为圆 O 上的三点,若 AO 12(AB AC ),则 AB 与 AC 的夹角为 _90 _. 解析 由 AO 12(AB AC ),可得 O为 BC的中点,故 BC为圆 O的直径,所以 AB 与 AC 的夹角为 90. 9
6、(2017 北京卷 )已知点 P 在圆 x2 y2 1 上,点 A 的坐标为 ( 2,0), O 为原点,则 AO AP 的最大值为 _6_. 解析 由题意知 AO (2,0),令 P(x, y), 1 x1 ,则 AO AP (2,0)( x 2, y)2x 46 ,故 AO AP 的最大值为 6. 三、解答题 10已知 |a| 4, |b| 8, a 与 b 的夹角是 120. (1)求 |a b|和 |4a 2b|; (2)当 k 为何值时, a 2b 与 ka b 垂直 解析 由已知得 ab 48 ? ? 12 16. (1) |a b|2 a2 2ab b2 16 2 ( 16) 6
7、4 48, |a b| 4 3. |4a 2b|2 16a2 16ab 4b2 16 16 16 ( 16) 4 64 768, |4a 2b| 16 3. (2)( a 2b) (ka b), (a 2b)( ka b) 0, ka2 (2k 1)ab 2b2 0, 即 16k 16(2k 1) 264 0, k 7. 故 k 7 时, a 2b 与 ka b 垂直 11如图, O 是 ABC 内一点, AOB 150 , AOC 120 ,向量 OA , OB , OC 的模分别为 2, 3, 4. (1)求 |OA OB OC |; (2)若 OC mOA nOB ,求实数 m, n 的
8、值 解析 (1)由已知条件易知 OA OB |OA | OB |cos AOB =【 ;精品教育资源文库 】 = 3, OA OC |OA | OC |cos AOC 4, OB OC 0, |OA OB OC |2 OA 2 OB 2 OC 2 2(OA OB OA OC OB OC ) 9, |OA OB OC | 3. (2)由 OC mOA nOB ,可得 OA OC mOA 2 nOA OB ,且 OB OC mOB OA nOB 2, ? 4m 3n 4, 3m 3n 0, m n 4. 12已知向量 AB (6,1), BC (x, y), CD ( 2, 3) (1)若 BC
9、DA ,求 x 与 y 之 间的关系式; (2)在 (1)的条件下,若 AC BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积 解析 (1) AD AB BC CD (x 4, y 2), DA AD ( x 4,2 y)又 BC DA ,且 BC (x, y), x(2 y) y( x 4) 0,即 x 2y 0. (2)由于 AC AB BC (x 6, y 1), BD BC CD (x 2, y 3),又 AC BD , AC BD 0,即 (x 6)(x 2) (y 1)(y 3) 0. 联立 ,化简得 y2 2y 3 0,解得 y 3 或 y 1. 故当 y 3 时, x 6,此时 AC (0,4), BD ( 8,0), S 四边形 ABCD 12|AC | BD | 16; 当 y 1 时, x 2,此时 AC (8,0), BD (0, 4), S 四边形 ABCD 12|AC | BD | 16.
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