1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 25 讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例 解密考纲 本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难 一、选择题 1已知向量 a (x 1,2)， b (2,1)，则 a b 的充要条件是 ( D ) A x 12 B x 1 C x 5 D x 0 解析 由向量垂直的充要条件，得 2(x 1) 2 0，解得 x 0. 2已知非零向量 a， b， |a| |b| |a b|，则 cos a， a b ( C ) A 12 B 12 C 32 D 32 解析 设 |
2、a| |b| |a b| 1，则 (a b)2 a2 2ab b2 1， ab 12， a (a b) a2 ab 1 12 32. |a b| a2 b2 2ab 1 1 1 3， cos a， a b321 332 . 3已知向量 |OA | 2， |OB | 4， OA OB 4，则以 OA ， OB 为邻边的平行四边形的面积为( A ) A 4 3 B 2 3 C 4 D 2 解析 因为 cos AOB OA OB|OA |OB | 424 12，所以 sin AOB 32 ，所以所求的平行四边形的面积为 |OA | OB |sin AOB 4 3.故选 A 4已知平面向量 a， b
3、满足 a (a b) 3，且 |a| 2， |b| 1，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为 ( D ) A 12 B 32 C 12 D 32 解析 a (a b) a2 ab 22 21cos a， b 4 2cos a， b 3， cos=【 ;精品教育资源文库 】 = a， b 12，又 a， b 0， ， sin a， b 1 cos2 a， b 32 .故选 D 5若 ABC 的三个内角 A， B， C 度数成等差数列，且 (AB AC ) BC 0，则 ABC 一定是 ( C ) A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形 解析 因为 (AB AC ) BC
4、0，所以 (AB AC )( AC AB ) 0，所以 AC 2 AB 2 0，即 |AC | |AB |，又 A， B， C 度数成等差数列，故 2B A C，又 A B C ，所以 2B B，所以 B 3 ，故 ABC 是等边三角形 6 (2017 浙江卷 )如图，已知平面四边形 ABCD， AB BC， AB BC AD 2， CD 3， AC与 BD 交于点 O，记 I1 OA OB ， I2 OB OC ， I3 OC OD ，则 ( C ) A I1 I2 I3 B I1 I3 I2 C I3 I1 I2 D I2 I1 I3 解析 如图所示，四边形 ABCE 是正方形， F 为正
5、方形的对角线的交点，易知 AOI3，作 AG BD 于 G，又 AB AD， OBOC OD ，即 I1I3， I3I1I2.故选 C 二、填空题 7 (2017 全国卷 )已知向量 a ( 2,3)， b (3， m)，且 a b，则 m _2_. 解析 因为 a b，所以 ab 23 3m 0，解得 m 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 AO 12(AB AC )，则 AB 与 AC 的夹角为 _90 _. 解析 由 AO 12(AB AC )，可得 O为 BC的中点，故 BC为圆 O的直径，所以 AB 与 AC 的夹角为 90. 9
6、(2017 北京卷 )已知点 P 在圆 x2 y2 1 上，点 A 的坐标为 ( 2,0)， O 为原点，则 AO AP 的最大值为 _6_. 解析 由题意知 AO (2,0)，令 P(x， y)， 1 x1 ，则 AO AP (2,0)( x 2， y)2x 46 ，故 AO AP 的最大值为 6. 三、解答题 10已知 |a| 4， |b| 8， a 与 b 的夹角是 120. (1)求 |a b|和 |4a 2b|； (2)当 k 为何值时， a 2b 与 ka b 垂直 解析 由已知得 ab 48 ? ? 12 16. (1) |a b|2 a2 2ab b2 16 2 ( 16) 6
7、4 48， |a b| 4 3. |4a 2b|2 16a2 16ab 4b2 16 16 16 ( 16) 4 64 768， |4a 2b| 16 3. (2)( a 2b) (ka b)， (a 2b)( ka b) 0， ka2 (2k 1)ab 2b2 0， 即 16k 16(2k 1) 264 0， k 7. 故 k 7 时， a 2b 与 ka b 垂直 11如图， O 是 ABC 内一点， AOB 150 ， AOC 120 ，向量 OA ， OB ， OC 的模分别为 2， 3， 4. (1)求 |OA OB OC |； (2)若 OC mOA nOB ，求实数 m， n 的
8、值 解析 (1)由已知条件易知 OA OB |OA | OB |cos AOB =【 ;精品教育资源文库 】 = 3， OA OC |OA | OC |cos AOC 4， OB OC 0， |OA OB OC |2 OA 2 OB 2 OC 2 2(OA OB OA OC OB OC ) 9， |OA OB OC | 3. (2)由 OC mOA nOB ，可得 OA OC mOA 2 nOA OB ，且 OB OC mOB OA nOB 2， ? 4m 3n 4， 3m 3n 0， m n 4. 12已知向量 AB (6,1)， BC (x， y)， CD ( 2， 3) (1)若 BC
9、DA ，求 x 与 y 之 间的关系式； (2)在 (1)的条件下，若 AC BD ，求 x， y 的值及四边形 ABCD 的面积 解析 (1) AD AB BC CD (x 4， y 2)， DA AD ( x 4,2 y)又 BC DA ，且 BC (x， y)， x(2 y) y( x 4) 0，即 x 2y 0. (2)由于 AC AB BC (x 6， y 1)， BD BC CD (x 2， y 3)，又 AC BD ， AC BD 0，即 (x 6)(x 2) (y 1)(y 3) 0. 联立 ，化简得 y2 2y 3 0，解得 y 3 或 y 1. 故当 y 3 时， x 6，此时 AC (0,4)， BD ( 8,0)， S 四边形 ABCD 12|AC | BD | 16； 当 y 1 时， x 2，此时 AC (8,0)， BD (0， 4)， S 四边形 ABCD 12|AC | BD | 16.
