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一元二次方程根与系数的关系复习课课件.ppt

1、九年级数学(人教版)上册 21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 acxxabxxxxacbxax?2121212,)0(0则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx?2121212,0则:,的两根为若方程推论1 推论2 0,2121221?xxxxxxxx)(方程是为根的一元二次以两个数说出下列各方程的 两根之和与两根之积: (1) x2 - 2x - 1=0 (3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4 (2) 2x2 - 3x + =0 21x1+x2=2 x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x

2、2= x1x2=0 x1x2= - 234134在使用韦达定理时,应注意: 、不是一般式的要先化成一般式; 、在使用X1+X2= 时,注意“ ”不要漏写。 (3) 前提是方程有实数根即0 几种常见的求代数式的值几种常见的求代数式的值 ?21113xx、2121xxxx ?)2)(2.(621xx4)(22121?xxxx1221. 5xxxx?212221xxxx ?21212212)(xxxxxx?21. 7xx221)(xx ?212214)(xxxx?22211xx?、2212212xxxx?、221)(4xx ?、引申:1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ? 0) (1)若两根互为相

3、反数, (2)若两根互为倒数, (3)若一根为0, (4)若一根为1, (5)若一根为?1, (6)若a、c异号, 补充规律: 则b?0; 则a?c; 则c?0 ; 则a?b?c?0 ; 则a?b?c?0; 方程一定有两个实数根. 例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解法一: 设方程的另一个根为x1. 由韦达定理,得 x1 2= k+1 x1 2= 3k 解这方程组,得 x1 =3 k =2 答:方程的另一个根是3 , k的值是2。 作用1:已知方程一根,求另一根及未知数。 例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一

4、个根及k的值。 解法二: 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程,得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程,得 k= - 2 由韦达定理,得x123k 即2 x1 6 x1 3 答:方程的另一个根是3 , k的值是2。 作用1:已知方程一根,求另一根及未知数。 解:设方程的两根分别为 和 , 则: 而方程的两根互为倒数 即 所以: 得: 例2.方程 的两根互为倒数,求k的值。 01232?kkxx1x2x1221?kxx121? xx112?k1?k例3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值。 解:设方程的两根分别为x1和x2, 则:x1x2= 3-3=k k=-9 作用2:求

5、代数式的值 例1、已知2x2-x-2=0的两根是x1 , x2 。求下列代数式的值。(1) x12+x22 (2) (3)(x1+1)(x2+1) 2111xx?(4) x1-x2 (5) 121xx +1546231?xx)( 2已知方程 x23xm0 的两根为 x1,x2,当 m 为何值 时,3x1x24. 解:3x1x24, 3(x1x2)4x24. x1x23, 3(3)4x24,x2134. 将 x2134代入原方程,得 ?13423?134m0,m1316. 例2.已知方程 的两个实数根 是 且 求k的值。 解:由根与系数的关系得 x1+x2=-k, x1x2=k+2 又 x12+

6、 x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2 -2(k+2)=4 K2 -2k-8=0 解得:k=4 或k=-2 022?kkxx2, 1xx42221? xx = K2-4k-8 当k=4时, =-80 k=4(舍去) 当k=-2时,=40 k=-2 例1.已知两个数的和是1,积是-2,求这两 个数。解法一:设两数分别为x,y则: 1? yx2?yx 解得: x=2 y=1 或 1 y=2 解法二:设两数分别为一个一元二次方程 的两根则: 022? aa求得 1, 221?aa这两个数为2和- 作用3:已知两个数的和与积,求两数 例2.已知两数之和为14,乘积为-51,求

7、这两数. 作用作用3:已知两个数的和与积,求两数:已知两个数的和与积,求两数 3.已知 m2+2m-2009=0,n2+2n-2009=0 (其中m n)求(m-1)(n-1). 解: 由已知条件得, m, n是方程 x2+2x-2009=0的两个不相等的实数根, 由韦达定理得: m+n=-2, mn=-2009 (m-1)(n-1)= mn- (m+n)+1 = - 2009-(-2)+1 = - 2006 课堂练习 4.已知3m2-2m-5=0 , 5n2+2n-3=0 .其中m,n为实数,求 的值 。 nm1-解: 3m2-2m-5=0 与 由于m, 的关系没有给定,故应分两种情况: 当

8、m= 时, 当m 时,可知m, 是方程3x2-2x-5=0的两个根,则 综合,得 或 05-12-132?nn01-?nm3835-4-)32(14-)1(1-22?)(nmnmnmn1n1n1例1.求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-6x+2=0的两根平方的倒数. 解:设方程x2-6x+2=0的两根为m, n, 设所求方程的两根为 x1, x2 作用作用4:求作一个一元二次方程:求作一个一元二次方程 122212221111xxmnx xmn?,6,2mnm n?2180 xx?所求方程为 【例 2】 已知方程 x23x20,不解这个方程,利用根 与系数的关系,求作一个一元二次

9、方程,使它的根分别是已知 方程的各根的 2 倍 思路点拨:如果原方程的两个根为 x1,x2,则新方程的两 个根为2x1,2x2.则所求方程为y2(2x12x2)y2x12x20,只要 求出 x1x2,x1x2 便可解出 解:设原方程的两根为 x1,x2, 则新方程的两个根为 2x1,2x2. 又x1x23,x1x22, 2x12x26,2x12x28. 可设所求作的方程为 y2(2x12x2)y2x12x20. 即 y26y80. 【例 2】 已知方程 x23x20,不解这个方程,利用根 与系数的关系,求作一个一元二次方程,使它的根分别是已知 方程的各根的 2 倍 例1:已知方程 x2-2(k

10、-1)x+k2-2=0 解: (1)设方程的两个根为x1,x2, 则x1 0 ,x2 0 作用5:研究方程根的情况 (1)k 为何值时,方程有两个负数根? 22122124(1)4(2)02(1)020kkxxkx xk? ? ?例1:已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0 (2)k 为何值时,方程有一正根和负根? 解: (2)设方程的两个根为x1,x2, 则x1 0 作用5:研究方程根的情况 补充规律: 一正根,一负根 0 x1x20 两个正根 0 x1x20 x1+x20 两个负根 0 x1x20 x1+x20 222124(1)4(2)020kkx xk? ?22k?例例2 2:方

11、程 有一个正根,一个负根,求m的取值范围。 = 即即 m0 m-10 0m1 ) 0(0122?mmmxmx解:设方程的两个根为 x1,x2, 则x1 0 ? 1.已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根,求代数式a2+4a+b的值 ? 解:a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根 ? a2+3a-7=0,a+b=-3, ? 则a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4 课堂练习 作业:已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根,求2m2+4n2-6n+2014的值。 2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根,求(2+mx1+x12)(2+mx2

12、+x22)的值。 解:x12+(m-2)x1+2=0 , x22+(m-2)x2+2=0 x12+2=2x1-mx1 , x22+2=2x2-mx2 又x1x2=2 原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2) =2x12x2 =4x1x2 =42 =8 作业:已知x1、x2是方程x2-2013x+1=0的两个实数根,求(1-2015x1+x12)(1-2015x2+x22)的值。 5.已知:x1、x2是方程x2-x+a=0的两个实数根, 且 ,求a的值. 解:据题意得x1+x2=1;x1x2=a 3a2+2a-1=0,即 . 1a31a?或又=1-4a0, a 41a=1/3舍

13、去,a= -1. 3112221=+xx3112221=+xx?322212221=+xxxx3)(2-)(22121221=+xxxxxx32-12=aa*6.(孝感中考)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2m1)xm20 有两个实数根 x1和 x2.(1)求实数 m 的取值范围;(2)当 x21x220 时,求 m 的值(2)由x21x220得(x1x2)(x1x2)0. 若x1x20,即 (2m1)0,解得m12. 1214, m12不合题意,舍去 若x1x20,即x1x2, 0.由(1)知m14. 故当x21x220时, m1. 解:(1)由题意得 (2m1)24m20,解得 m14

14、. 实数 m 的取值范围是 m14. 解: (1)由题意得 (2m1)24m20,解得 m14. 实数 m的取值范围是 m14. (2)由 x1x20 得(x1x2)(x1x2)0. 若 x1x20,即(2m1)0,解得m12. 1 11由 x21x220 得(x1x2)(x1x2)0. 若 x1x20,即(2m1)0,解得m12. 1214, m12不合题意,舍去 若 x1x20,即 x1x2, 0.由(1)知 m14. 故当 x21x220 时,m14. 由 x21x220 得(x1x2)(x1x2)0. 若 x1x20,即(2m1)0,解得m12. 1214, m12不合题意,舍去 若

15、x1x20,即 x1x2, 0.由(1)知 m14. 故当 x21x220 时,m14. 由 x21x220 得(x1x2)(x1x2)0. 若 x1x20,即(2m1)0,解得m12. 1214, m12不合题意,舍去 若 x1x20,即 x1x2, 0.由(1)知 m14. 故当 x21x220 时,m14. 7. 已知方程x2+3x+1=0的两个根为 求 的值。 , ,? ?解: 234 1 150,.? ? ? ?由韦达定理得:2?()31? ?,222?23)2 121?(9?2?222?()0,?3?, 同为负数 8.已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个

16、实数根,并且这两个根的平方和比 两根的积大21。求m的值。 解=4(m-2)2-4(m2+4) =-16m0 m0 设方程两个根为x1、x2,则由题意: x1+x2 = -2(m-2) , x1x2 = m2+4 x12+x22 - x1x2=21 (x1+x2)2 - 3x1x2 = 21 4(m-2)2 - 3(m2+4) = 21 m2 - 16m - 17 = 0 m1 = -1 ,m2=17(不符合m0,舍去) m = -1 9.当m为何值时,2x2-3mx+2m+3=0的一个根是另一个根的两倍. 解:设两根分别为 ,2 ,?则由韦达定理得: 3222322mm? 2 得 23322

17、322mm?即29922 (23)mm?即2230,mm?整理得:(3)1)0mm?即(31mm? ?或298(23)mm? ?代入得,0? ?31mm? ?或10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是 ,求的m值 。 429解:设方程两根为x1,x2. 则 212-,22121+=?=+mxxmxx4292221=+xx4292-)(21221=+xxxx429212-2-)2(2=+mm解得:m1=-11, m2=3 当m=-11时,方程为2x2+11x+23=0, =112-42230,方程无实数根,m=-11不合题意,舍去 当m=3时,方程为2x23x5=0, =

18、(-3)2-42(-5) 0,方程有两个不相等的实数根 . m的值为3 11已知x1,x2是关于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的两个不相等的实数根。求 k的取值范围;是否存在这样的实数k,使 成立?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由 23222121?xxxx解: 42-4k(-3) 0 且k0 k 且k0 34?假设存在. kxxkxx3,42121?, 2322121?xxxx又?28?kk舍去)不符合解得:,34(2, 421?kkk 存在满足条件的k值,且k=4 1.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+(2k+2)x+k=0有两个不相等的实数根。 求实数k的取值范围;是否

19、存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。 解: (2k+2)2-4k(k-1) 0 且k-10 k 且k1 31?假设存在假设存在,设方程的两根为设方程的两根为x1,x2 1-,1-22-2121kkxxkkxx=+=+?11121=+xx?2121xxxx=+1-1-22-kkkk=+,舍去)(不符合31-32-=kk 不存在满足条件的不存在满足条件的 k 13.是否存在实数m,使关于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0的两实数根的平方和为 56,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。 解:假设存在,设方程的两根为x1,x2 x1+

20、x2=2(m-2)=2m-4 , x1x2=m2 又x12+x22=56 , (x1+x2)2-2x1x2=56 (2m-4)2-2m2=56 即m2-8m-20=0 解得:m1=10 ,m2=-2 当m=10时,方程为x2-16x+100=0, =(-16)2-41000,方程无实数根, m=10不合题意,舍去 当m=-2时,方程为x2+8x+4=0 , =82-440,方程无实数根, m=-2不合题意,舍去 不存在满足条件的 m 1 1、应用一元二次方程的根与系数关系时,首先要把已知方程化成一般形式. 2、熟练掌握根与系数的关系,灵活运用根与系数关系解决问题; 3、探索解题思路,归纳解题思想方法。 要学习好只有一条路 探索

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