1、九年级数学(人教版)上册 21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 acxxabxxxxacbxax?2121212,)0(0则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx?2121212,0则：，的两根为若方程推论1 推论2 0,2121221?xxxxxxxx）（方程是为根的一元二次以两个数说出下列各方程的 两根之和与两根之积： (1) x2 - 2x - 1=0 (3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4 (2) 2x2 - 3x + =0 21x1+x2=2 x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x
2、2= x1x2=0 x1x2= - 234134在使用韦达定理时，应注意： 、不是一般式的要先化成一般式； 、在使用X1+X2= 时，注意“ ”不要漏写。 （3） 前提是方程有实数根即0 几种常见的求代数式的值几种常见的求代数式的值 ?21113xx、2121xxxx ?)2)(2.(621xx4)(22121?xxxx1221. 5xxxx?212221xxxx ?21212212)(xxxxxx?21. 7xx221)(xx ?212214)(xxxx?22211xx?、2212212xxxx?、221)(4xx ?、引申:1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ? 0) （1）若两根互为相
3、反数, （2）若两根互为倒数, （3）若一根为0, （4）若一根为1, （5）若一根为?1, （6）若a、c异号, 补充规律： 则b?0; 则a?c; 则c?0 ; 则a?b?c?0 ; 则a?b?c?0; 方程一定有两个实数根. 例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解法一： 设方程的另一个根为x1. 由韦达定理，得 x1 2= k+1 x1 2= 3k 解这方程组，得 x1 =3 k =2 答：方程的另一个根是3 , k的值是2。 作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。 例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一
4、个根及k的值。 解法二： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由韦达定理，得x123k 即2 x1 6 x1 3 答：方程的另一个根是3 , k的值是2。 作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。 解：设方程的两根分别为 和 ， 则： 而方程的两根互为倒数 即 所以： 得： 例2.方程 的两根互为倒数，求k的值。 01232?kkxx1x2x1221?kxx121? xx112?k1?k例3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值。 解：设方程的两根分别为x1和x2， 则：x1x2= 3-3=k k=-9 作用2：求
5、代数式的值 例1、已知2x2-x-2=0的两根是x1 , x2 。求下列代数式的值。(1) x12+x22 （2） （3）(x1+1)(x2+1) 2111xx?(4) x1-x2 （5） 121xx +1546231?xx）（ 2已知方程 x23xm0 的两根为 x1，x2，当 m 为何值 时，3x1x24. 解：3x1x24， 3(x1x2)4x24. x1x23， 3(3)4x24，x2134. 将 x2134代入原方程，得 ?13423?134m0，m1316. 例2.已知方程 的两个实数根 是 且 求k的值。 解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+
6、 x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2 -2(k+2）=4 K2 -2k-8=0 解得：k=4 或k=-2 022?kkxx2, 1xx42221? xx = K2-4k-8 当k=4时， =-80 k=4(舍去） 当k=-2时，=40 k=-2 例1.已知两个数的和是1，积是-2，求这两 个数。解法一:设两数分别为x,y则: 1? yx2?yx 解得: x=2 y=1 或 1 y=2 解法二:设两数分别为一个一元二次方程 的两根则: 022? aa求得 1, 221?aa这两个数为2和- 作用3：已知两个数的和与积，求两数 例2.已知两数之和为14，乘积为-51，求
7、这两数. 作用作用3：已知两个数的和与积，求两数：已知两个数的和与积，求两数 3.已知 m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0 （其中m n）求(m-1)(n-1). 解: 由已知条件得， m, n是方程 x2+2x-2009=0的两个不相等的实数根， 由韦达定理得： m+n=-2, mn=-2009 (m-1)(n-1)= mn- (m+n)+1 = - 2009-(-2)+1 = - 2006 课堂练习 4.已知3m2-2m-5=0 , 5n2+2n-3=0 .其中m,n为实数，求 的值 。 nm1-解： 3m2-2m-5=0 与 由于m, 的关系没有给定，故应分两种情况： 当
8、m= 时， 当m 时，可知m, 是方程3x2-2x-5=0的两个根，则 综合，得 或 05-12-132?nn01-?nm3835-4-)32(14-)1(1-22?）（nmnmnmn1n1n1例1.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2-6x+2=0的两根平方的倒数. 解：设方程x2-6x+2=0的两根为m, n, 设所求方程的两根为 x1, x2 作用作用4：求作一个一元二次方程：求作一个一元二次方程 122212221111xxmnx xmn?，6,2mnm n?2180 xx?所求方程为 【例 2】 已知方程 x23x20，不解这个方程，利用根 与系数的关系，求作一个一元二次
9、方程，使它的根分别是已知 方程的各根的 2 倍 思路点拨：如果原方程的两个根为 x1，x2，则新方程的两 个根为2x1，2x2.则所求方程为y2(2x12x2)y2x12x20，只要 求出 x1x2，x1x2 便可解出 解：设原方程的两根为 x1，x2， 则新方程的两个根为 2x1，2x2. 又x1x23，x1x22， 2x12x26,2x12x28. 可设所求作的方程为 y2(2x12x2)y2x12x20. 即 y26y80. 【例 2】 已知方程 x23x20，不解这个方程，利用根 与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知 方程的各根的 2 倍 例1：已知方程 x2-2(k
10、-1)x+k2-2=0 解： （1）设方程的两个根为x1,x2， 则x1 0 ，x2 0 作用5：研究方程根的情况 （1）k 为何值时，方程有两个负数根？ 22122124(1)4(2)02(1)020kkxxkx xk? ? ?例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0 （2）k 为何值时，方程有一正根和负根？ 解： (2)设方程的两个根为x1,x2， 则x1 0 作用5：研究方程根的情况 补充规律： 一正根，一负根 0 x1x20 两个正根 0 x1x20 x1+x20 两个负根 0 x1x20 x1+x20 222124(1)4(2)020kkx xk? ?22k?例例2 2：方
11、程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 = 即即 m0 m-10 0m1 ) 0(0122?mmmxmx解：设方程的两个根为 x1,x2， 则x1 0 ? 1.已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求代数式a2+4a+b的值 ? 解：a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根 ? a2+3a-7=0，a+b=-3， ? 则a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4 课堂练习 作业：已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根，求2m2+4n2-6n+2014的值。 2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根，求(2+mx1+x12)(2+mx2
12、+x22)的值。 解：x12+(m-2)x1+2=0 , x22+(m-2)x2+2=0 x12+2=2x1-mx1 , x22+2=2x2-mx2 又x1x2=2 原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2) =2x12x2 =4x1x2 =42 =8 作业：已知x1、x2是方程x2-2013x+1=0的两个实数根，求(1-2015x1+x12)(1-2015x2+x22)的值。 5.已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的两个实数根， 且 ，求a的值. 解：据题意得x1+x2=1；x1x2=a 3a2+2a-1=0，即 . 1a31a?或又=1-4a0， a 41a=1/3舍
13、去，a= -1. 3112221=+xx3112221=+xx?322212221=+xxxx3)(2-)(22121221=+xxxxxx32-12=aa*6.(孝感中考)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2m1)xm20 有两个实数根 x1和 x2.(1)求实数 m 的取值范围；(2)当 x21x220 时，求 m 的值(2)由x21x220得(x1x2)(x1x2)0. 若x1x20，即 (2m1)0，解得m12. 1214， m12不合题意，舍去 若x1x20，即x1x2, 0.由(1)知m14. 故当x21x220时， m1. 解：(1)由题意得 (2m1)24m20，解得 m14
14、. 实数 m 的取值范围是 m14. 解： (1)由题意得 (2m1)24m20，解得 m14. 实数 m的取值范围是 m14. (2)由 x1x20 得(x1x2)(x1x2)0. 若 x1x20，即(2m1)0，解得m12. 1 11由 x21x220 得(x1x2)(x1x2)0. 若 x1x20，即(2m1)0，解得m12. 1214， m12不合题意，舍去 若 x1x20，即 x1x2, 0.由(1)知 m14. 故当 x21x220 时，m14. 由 x21x220 得(x1x2)(x1x2)0. 若 x1x20，即(2m1)0，解得m12. 1214， m12不合题意，舍去 若
15、x1x20，即 x1x2, 0.由(1)知 m14. 故当 x21x220 时，m14. 由 x21x220 得(x1x2)(x1x2)0. 若 x1x20，即(2m1)0，解得m12. 1214， m12不合题意，舍去 若 x1x20，即 x1x2, 0.由(1)知 m14. 故当 x21x220 时，m14. 7. 已知方程x2+3x+1=0的两个根为 求 的值。 , ,? ?解： 234 1 150,.? ? ? ?由韦达定理得：2?（）31? ?，222?23)2 121?(9?2?222?（）0,?3?， 同为负数 8.已知关于 x 的方程 x2+2（m-2）x+m2+4=0 有两个
16、实数根，并且这两个根的平方和比 两根的积大21。求m的值。 解=4(m-2)2-4(m2+4) =-16m0 m0 设方程两个根为x1、x2，则由题意： x1+x2 = -2(m-2) , x1x2 = m2+4 x12+x22 - x1x2=21 (x1+x2)2 - 3x1x2 = 21 4(m-2)2 - 3(m2+4) = 21 m2 - 16m - 17 = 0 m1 = -1 ，m2=17（不符合m0，舍去） m = -1 9.当m为何值时，2x2-3mx+2m+3=0的一个根是另一个根的两倍. 解：设两根分别为 ,2 ,?则由韦达定理得： 3222322mm? 2 得 23322
17、322mm?即29922 (23)mm?即2230,mm?整理得：(3)1)0mm?即(31mm? ?或298(23)mm? ?代入得，0? ?31mm? ?或10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是 ，求的m值 。 429解：设方程两根为x1,x2. 则 212-,22121+=?=+mxxmxx4292221=+xx4292-)(21221=+xxxx429212-2-)2(2=+mm解得：m1=-11, m2=3 当m=-11时，方程为2x2+11x+23=0, =112-42230,方程无实数根，m=-11不合题意，舍去 当m=3时，方程为2x23x5=0, =
18、(-3)2-42(-5) 0,方程有两个不相等的实数根 . m的值为3 11已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的两个不相等的实数根。求 k的取值范围；是否存在这样的实数k，使 成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由 23222121?xxxx解： 42-4k(-3) 0 且k0 k 且k0 34?假设存在. kxxkxx3,42121?, 2322121?xxxx又?28?kk舍去）不符合解得：,34(2, 421?kkk 存在满足条件的k值，且k=4 1.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+(2k+2)x+k=0有两个不相等的实数根。 求实数k的取值范围；是否
19、存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 解： （2k+2)2-4k(k-1) 0 且k-10 k 且k1 31?假设存在假设存在,设方程的两根为设方程的两根为x1，x2 1-,1-22-2121kkxxkkxx=+=+?11121=+xx?2121xxxx=+1-1-22-kkkk=+，舍去）（不符合31-32-=kk 不存在满足条件的不存在满足条件的 k 13.是否存在实数m，使关于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0的两实数根的平方和为 56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。 解：假设存在,设方程的两根为x1，x2 x1+
20、x2=2(m-2)=2m-4 , x1x2=m2 又x12+x22=56 , (x1+x2)2-2x1x2=56 (2m-4)2-2m2=56 即m2-8m-20=0 解得：m1=10 ,m2=-2 当m=10时，方程为x2-16x+100=0, =(-16)2-41000，方程无实数根， m=10不合题意，舍去 当m=-2时，方程为x2+8x+4=0 , =82-440,方程无实数根， m=-2不合题意，舍去 不存在满足条件的 m 1 1、应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 2、熟练掌握根与系数的关系，灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。 要学习好只有一条路 探索
