新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷解析版.docx

1、人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_题号一二三四总分得分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知空间三点A1,0,3，B-1,1,4，C2,-1,3，若AP/BC，且|AP|=14，则点P的坐标为( )A. 4,-2,2B. -2,2,4C. 4,-2,2或-2,2,4D. -4,2,-2或2,-2,4【答案】C【解析】AP/BC， 可设AP=BC 易知BC=(3,-2,-1)，则AP=(3,-2,-) 又|AP|=14， (3)2+(-2)2+(-)2=14，解得=

2、1， AP=(3,-2,-1)或AP=(-3,2,1) 设点P的坐标为(x,y，z)， 则AP=(x-1,y,z-3)， x-1=3,y=-2,z-3=-1或x-1=-3,y=2,z-3=1, 解得x=4,y=-2,z=2或x=-2,y=2,z=4. 故点P的坐标为(4,-2,2)或(-2,2，4) 故选C2. 已知向量a=(1,0，1)，b=(2,0，-2)，若(ka+b)(a+kb)=2，则k的值等于()A. 1B. 35C. 25D. 15【答案】D【解析】由已知得a=2，b=22，且ab=0，由(ka+b)(a+kb)=2得ka2+kb2+k2+1ab=2，即 2k+8k=2，解得k=

3、15 故选：D3. 已知向量a=(1,2,2),b=(-2,1,1)，则向量b在向量a上的投影向量为( )A. (-29,-49,-49)B. (29,49,49)C. (-23,13,13)D. (23,-13,-13)【答案】B【解析】因为a=(1,2,2),b=(-2,1,1)，所以ab=-21+21+21=2，所以向量b在向量a上的投影为ab|a|=222+22+12=23，设向量b在向量a上的投影向量为m，则m=a(0)且|m|=23，所以m=(,2,2)，所以2+42+42=(23)2，解得=29，所以m=(29,49,49)，故选B4. 在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足A

4、M=xAB+yAC+1-x-yAD，点N满足DN=DA-1DB，当AM,DN最短时，AMMN=( )A. -13B. 13C. -23D. 23【答案】A【解析】AM=xAB+yAC+(1-x-y)AD，DN=DA-(-1)DB， M平面BCD，N直线AB， 当AM、DN最短时， AM平面BCD，DNAB， M为BCD的中心，N为线段AB的中点， 如图： 又正四面体的棱长为1， AM=63，cosMAB=63， AM平面BCD， AMAB=|AM|AB|cosMAB=AM2， AMMN=AM(AN-AM)=AM(12AB-AM)=12AMAB-AM2=-12|AM|2=-1269=-13 故选

5、：A5. 如图所示，空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=3，则cos的值是( )A. 0 B. 12 C. 32 D. 22【答案】A【解析】空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=3， BC=OC-OB， OABC=OA(OC-OB)=OAOC-OAOB =|OA|OC|cos3-|OA|OB|cos3 =12|OA|(|OC|-|OB|) =0， cos=OABC|OA|BC|=0 故选A6. 如图，在大小为60的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A. 2B. 2C. 1D. 3【答案】A【解析】由题

6、以BF,FE,DE为空间一组基底向量，因为四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形且二面角A-EF-D的大小为60，所以，又BD=BF+FE+ED，BD=BF+FE+ED2 =BF2+FE2+ED2+2BFFE+2FEED+2BFED =1+1+1+211cos120=2故选A7. 在四面体OABC中M,N分别是OA,BC的中点，P是MN的三等分点(靠近点N)，若OA=a,OB=b,OC=c，则OP=（ ）A. 13a+16b+16cB. 16a+13b+13c C. 12a+16b+13cD. 16a+12b+13c【答案】B【解析】如图所示： OP=OM+MP=OM+23MN，

7、=12OA+23ON-OM =12OA+2312OB+12OC-12OA， =16OA+13OB+13OC =16a+13b+13c 故选：B8. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，ACB=90，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B(含边界)上的动点.要使AB1平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为( )A. 52 B. 2 C. 133 D. 5【答案】A【解析】取BB1上靠近B1的四等分点为E，连接DE，当点F在DE上时，AB1平面C1DF，证明如下：因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，ACB=90，点D是A1B1的中点，

8、所以C1D平面AA1B1B，所以C1DAB1以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 所以A(1,0，2)，B1(0,1，0)，D(12,12,0)，E(0,1，12)，即AB1=(-1,1，-2)，DE=(-12,12,12)，此时AB1DE=0，即AB1DE又DEC1D=D，DE，C1D平面C1DE，所以AB1平面C1DE，故当F在DE上时，AB1平面C1DF，很明显，当E，F重合时，线段C1F最长，此时C1F=52故选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

9、选错的得0分9. 如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( )A. 若实数1，2使1e1+2e2=0，则1=2=0B. 平面任一向量可以表示为a=1e1+2e2，这里1，2RC. 对实数1，2，1e1+2e2不一定在平面内D. 对平面中的任一向量a，使a=1e1+2e2的实数1，2有无数对【答案】AB【解析】由基底的定义可知，e1和e2是平面上不共线的两个向量， 实数1，2使1e1+2e2=0，则1=2=0，故A正确； 平面内所有向量都可以表示为a=1e1+2e2，故B正确； 平面中的任一向量a均可以表示为a=1e1+2e2的形式，此时实数1，2有且只有一对，故D错误； 对实数1，2，

10、1e1+2e2一定在平面内，C错误; 故选：AB10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是( )A. AC1=66B. 向量B1C与AA1的夹角是60C. AC1BDD. BD1与AC所成角的余弦值为66【答案】ACD【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，所以AA1AB=AA1AD=ADAB=66cos60=18， (AA1+AB+AD)2=AA1+AB2+AD2+2AA1AB+2ABAD+2AA1AD =36+36+36+3218=216，则|AC1|

11、=|AA1+AB+AD|=66， 所以A正确；显然AA1D为等边三角形，则AA1D=60因为B1C=A1D，且向量A1D与AA1的夹角是120，所以B1C与AA1的夹角是120， 所以B不正确； AC1DB=(AA1+AB+AD)(AB-AD) =AA1AB-AA1AD+AB2-ABAD+ADAB-AD2=0， 所以C正确；因为BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD，所以|BD1|=(AD+AA1-AB)2=62,|AC|=(AB+AD)2=63， BD1AC=(AD+AA1-AB)(AB+AD)=36，所以cosBD1,AC=BD1AC|BD1|AC|=366263=66， 所以D正确

12、故选ACD11. 下列命题正确的是( )A. 已知u，v是两个不共线的向量，若a=u+v，b=3u-2v，c=2u+3v则a，b，c共面B. 若向量a/b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若A(1,0，0)，B(0,1，0)，则与向量AB共线的单位向量为e=(-22,22,0)D. 在三棱锥O-ABC中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则底面ABC是锐角三角形【答案】ABD【解析】对于A，由a=u+v，b=3u-2v，得u=25a+15b,v=35a-15b， 所以c=2u+3v=45a+25b+95a-35b=135a-15b， 所以向量a，b，c共面，故A正确； 对于B，若

13、向量a/b，则a，b与任何向量都共面， 所以a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，由题意可知：AB=-1,1,0， 设与向量AB共线的单位向量为e=AB=-,0， 则-2+2+02=1，解得：=22，则e=(-22,22,0)或e=(22,-22,0)，故C错误； 对于D，如图， 若侧棱OA，OB，OC两两互相垂直， ABAC=OB-OAOC-OA=OA20， 所以BAC为锐角，同理ABC，BCA均为锐角， ABC为锐角三角形故D正确 故选ABD12. 若长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则( )A. B1EA1BB. 平

14、面平面A1BDC. 三棱锥C1-B1CE的体积为83D. 三棱锥C1-B1CD1的外接球的表面积为【答案】CD【解析】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，B12,0,4，E0,2,2，A10,0,4，B2,0,0， C2,2,0，D0,2,0，B1E=-2,2,-2,A1B=2,0,-4，CE=-2,0,2,A1D=0,2,-4，B1EA1B=-4+8=40， 故A错误；设平面B1CE的一个法向量为m=x,y,z，mCE=0mB1E=0,即-2x+2z=0-2x+2y-2z=0，令x=1，可得m=1,2,1，设平面A1BD的一条法向量为n=x1,y1,z1nA1B=0nA1D=0，即2x1

15、-4z1=02y1-4z1=0，令x=2，可得n=2,2,1显然两平面对应的法向量不平行，所以这两个平面也不平行， 故B错误；VC1-B1CE=VB1-C1CE=1312422=83， 故C正确；通过三棱锥的结构分析可知三棱锥C1-B1CD1的外接球即为长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，其外接球半径r=4+4+162=6，所以其表面积为， 故D正确，故选CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形，SE=2EC，若BE=xAB+yAD+zAS，则x+y+z= 【答案】23【解析】因为SE=2EC，所以CE=13CS，四棱锥S-ABCD的

16、底面是平行四边形，则AD+AB=AC，所以BE=BC+CE=AD+13CS=AD+13(AS-AC)=AD+13(AS-AB-AD)=13AS+23AD-13AB，又BE=xAB+yAD+zAS，所以x=-13,y=23,z=13，故x+y+z=23故答案为：2314. 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，点M为PA的中点，BD=BN.若MNAD，则实数=_【答案】4【解析】连接AC，BD交于点O，以OA为x轴，以OB为y轴，以OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设PA=AB=2，则A(1,0，0)，B(0,1，0)，D(0,-1,0)，P(0,0，1)，M(12,0，12)，BD

17、=(0,-2,0)，设N(0,y，0)，则BN=(0,y-1,0)，BD=BN，y=-2，N(0,-2,0)，MN=(-12,-2,-12)，AD=(-1,-1,0)又MNAD，MNAD=0，12-2=0 ，解得=4故答案为415. 设O(0,0，0)，A(0,1，1)，B(1,0，1)，点P是线段AB上的一个动点，且满足AP=AB，若OPABPAPB，则实数的取值范围是_【答案】2-2,2+2【解析】O(0,0，0)，A(0,1，1)，B(1,0，1)，设P(x,y，z)，AB=(1,-1,0)，AP=AB=(,-,0)=(x,y-1,z-1)，x=y=1-z=1，OP=(,1-,1)，PA

18、=(-,0)，PB=(1-,-1,0)，OPAB=2-1，PAPB=22-2，又OPABPAPB，2-122-2，整理可得，22-4+10，解可得，2-22+2，故答案为：1-2,2+2.16. 动点P在正方体的对角线BD1上，记D1PD1B=，当APC为钝角时，的取值范围是【答案】(13,1)【解析】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AB=1，则有A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，D1(0,0，1)，D1B=(1,1，-1)，D1P=(,-)，PA=PD1+D1A=(-,-,)+(1,0，-1)=(1-，-，-1)，PC=PD1+D1C=(-,-,)+(0

19、,1，-1)=(-，1-，-1)，显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于cosAPC0，PAPC0， (1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0，得131，因此，的取值范围是(13,1)，故答案为：(13,1)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC，点E为AD的中点，设OA=a,OB=b,OC=c (1)试用向量a,b,c表示向量OE；(2)若OA=OC=3，OB=2，AOC=BOC=AOB=60，求OEAC的值【解析】(1) 因为2BD=DC，所以BD=13BC=13(OC-OB)=

20、13(c-b)，所以OD=OB+BD=b+13(c-b)=23b+13c，因为E为AD中点，所以OE=12(OA+OD)=12(a+23b+13c)=12a+13b+16c; 2 由题意知：ac=accos60=3312=92，ab=abcos60=3212=3，cb=cbcos60=3212=3， OEAC=OEOC-OA=12a+13b+16cc-a =-12a2+16c2+13ac+13bc-13ab =-1232+1632+1392+133-133 =-3218. 四棱柱P-ABCD的底面ABCD为矩形，面PCD平面ABCD，PC=PD=BC=2，AB=2，E是CD的中点()求证：AC

21、PB；()求BD与平面PAB所成角的正弦值【解析】()四棱柱P-ABCD的底面ABCD为矩形，面PCD平面ABCD，PC=PD=BC=2，AB=2，E是CD的中点 PE底面ABCD，以E为原点，在平面ABCD内过点E作CD的垂线为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系， A(2,-1,0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)，B(2,1，0)， AC=(-2,2，0)，PB=(2,1,-1)， ACPB=-2+2+0=0， ACPB()D(0，-1，0)，BD=(-2,-2,0)，PA=(2,-1,-1)， 设平面PAB的法向量n=(x,y，z)， 则 nPA=2x-y-z=0nPB

22、=2x+y-z=0，取x=1，得n=(1,0，2)， 设BD与平面PAB所成角为， 则sin=|BDn|BD|n|=263=13 BD与平面PAB所成角的正弦值为1319. 如图，AD/BC且AD=2BC，ADCD，EG/AD且EG=AD，CD/FG且CD=2FG，DG平面ABCD，DA=DC=DG=2(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN/平面CDE；(2)求二面角E-BC-F的正弦值；(3)求直线AD到平面EBC的距离【解析】(1)证明：依题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系可得D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(1

23、,2，0)，C(0,2，0)，E(2,0，2)，F(0,1，2)，G(0,0，2)，M(0,32,1)，N(1,0，2)设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量，则 n0DC=2y=0 n0DE=2x+2z=0，不妨令z=-1，可得n0=(1,0,-1)；又MN=(1,-32,1)，可得MNn0=0又直线MN平面CDE， MN/平面CDE； (2) 依题意，可得BC=(-1,0,0)，BE=(1,-2,2)，CF=(0,-1,2)设n=(x1,y1,z1)为平面BCE的法向量， 则 nBC=-x1=0nBE=x1-2y1+2z1=0，不妨令z1=1，可得n=(0,1,1)设m=(x2,y2,

24、z2)为平面BCF的法向量， 则 mBC=-x2=0mCF=-y2+2z2=0，不妨令z2=1，可得m=(0,2,1)因此有cos=mn|m|n|=31010，于是sin=1010 二面角E-BC-F的正弦值为1010 (3)AD/BC，BC平面EBC，AD平面EBC，AD/平面EBC，AD到平面EBC的距离即A到平面EBC的距离，设A到平面EBC的距离为d，AE=(0,0,2)，则d=|AEn|n|=22=2.20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD/BC，ABAD，AB=AD=12BC=2，PA=4，E为棱BC上的点，且BE=14BC(1)

25、求证：DE平面PAC；()求二面角A-PC-D的余弦值；()设Q为棱CP上的点(不与C、P重合)，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求CQCP的值【解析】证明：()因为PA平面ABCD，AB、AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD，而ABAD，因此PA、AB、AD两两垂直以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如下图：因为AD/BC，AB=AD=12BC=2，PA=4，E为棱BC上的点，且BE=14BC，所以A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,4，0)，D(0,2，0)，P(0,0，4)，E(2,1，0)，因此DE=(2,-1,0)，AC=(

26、2,4，0)，AP=(0,0，4)DEAC=0，DEAP=0，DEAC，DEAP，而APAC=A，PA、AC平面PAC，因此DE平面PAC () 由()知平面PAC的法向量m=(2,-1,0)，设平面PCD的法向量n=(x,y，z)，PD=(0,2，-4)，PC=(2,4，-4)，nPD=2y-4z=0nPC=2x+4y-4z=0，取z=1，得n=(-2,2，1)若二面角A-PC-D的大小为，由图知：为锐角，因此cos=|cos|=mn|m|n|=255，即二面角A-PC-D的余弦值为255 () 设CQCP=(01)，即CQ=CP=(-2,4,4)，Q=(2-2,4-4,4)，QE=(2,4

27、-3,-4)，直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，|cos|=|QEm|QE|m|=55，解得=23，CQCP=2321. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，BAD=60，DEAB于点E，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DDC，如图2 (1)求二面角E-A1B-C的余弦值 (2)判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP平面A1BC？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由【解析】(1) 由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE=23， A1(0,0，2)，B(2,0，0)，C(4,23,0)，D(0,23,0)， BA1=(-2,0，2)，

28、BC=(2,23,0)， 平面A1BE的一个法向量为n=(0,1，0)， 设平面A1BC的一个法向量为m=(x,y，z)， 则 -2x+2z=02x+23y=0, 令y=1，m=(-3,1，-3)， cos=mnmn=77， 钝二面角E-A1B-C的余弦值为-77； (2) 在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP平面A1BC， 设P(t,0，0)(0t2)， 则A1P=(t,0，-2)，A1D=(0,23,-2)， 设平面A1DP的法向量为p=(a,b，c)， 则 23b-2c=0ta-2c=0， 令a=2，p=(2,t3,t)， 平面A1DP平面A1BC， 由 (1) 可得平面A1BC的一

29、个法向量m=(-3,1，-3)， 由mp=0得，-23+t3-3t=0，t=-3， 0t2， 在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP平面A1BC22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA底面ABCD，AD/BC，ABC=90，AD=1，PA=AB=BC=2，M是棱PB的中点 (1)已知点E在棱BC上，且平面AME/平面PCD，试确定点E的位置并说明理由；(2)设点N是线段CD上的动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成的角最大?并求最大角的正弦值【解析】：(1)E为BC的中点证明如下：连接ME，AE，M、E分别为PB、BC的中点， ME/PC又ME平面PDC，PC平面PDC， ME

30、/平面PDC又EC/AD，四边形EADC为平行四边形， AE/DC.AE平面PDC，DC平面PDC， AE/平面PDC又AEME=E， 平面AME/平面PDC (2) 以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,2，0)，D(1,0，0)，P(0,0，2)，M(0,1，1)，设直线MN与平面PAB所成的角为，DN=DC01，则MN=MA+AD+DN=+1,2-1,-1，易得平面PAB的一个法向量为n=1,0,0，则sin=|cosMN,n|=+1+12+2-12+1=+1252-2+3，令+1=t，t1,2，则+1252-2+3=t25t2-12t+10=1101t2-12t+557， sin357，当且仅当t=53，即=23时，等号成立