1、人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_题号一二三四总分得分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知空间三点A1,0,3，B-1,1,4，C2,-1,3，若AP/BC，且|AP|=14，则点P的坐标为( )A. 4,-2,2B. -2,2,4C. 4,-2,2或-2,2,4D. -4,2,-2或2,-2,4【答案】C【解析】AP/BC， 可设AP=BC 易知BC=(3,-2,-1)，则AP=(3,-2,-) 又|AP|=14， (3)2+(-2)2+(-)2=14，解得=
2、1， AP=(3,-2,-1)或AP=(-3,2,1) 设点P的坐标为(x,y，z)， 则AP=(x-1,y,z-3)， x-1=3,y=-2,z-3=-1或x-1=-3,y=2,z-3=1, 解得x=4,y=-2,z=2或x=-2,y=2,z=4. 故点P的坐标为(4,-2,2)或(-2,2，4) 故选C2. 已知向量a=(1,0，1)，b=(2,0，-2)，若(ka+b)(a+kb)=2，则k的值等于()A. 1B. 35C. 25D. 15【答案】D【解析】由已知得a=2，b=22，且ab=0，由(ka+b)(a+kb)=2得ka2+kb2+k2+1ab=2，即 2k+8k=2，解得k=
3、15 故选：D3. 已知向量a=(1,2,2),b=(-2,1,1)，则向量b在向量a上的投影向量为( )A. (-29,-49,-49)B. (29,49,49)C. (-23,13,13)D. (23,-13,-13)【答案】B【解析】因为a=(1,2,2),b=(-2,1,1)，所以ab=-21+21+21=2，所以向量b在向量a上的投影为ab|a|=222+22+12=23，设向量b在向量a上的投影向量为m，则m=a(0)且|m|=23，所以m=(,2,2)，所以2+42+42=(23)2，解得=29，所以m=(29,49,49)，故选B4. 在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足A
4、M=xAB+yAC+1-x-yAD，点N满足DN=DA-1DB，当AM,DN最短时，AMMN=( )A. -13B. 13C. -23D. 23【答案】A【解析】AM=xAB+yAC+(1-x-y)AD，DN=DA-(-1)DB， M平面BCD，N直线AB， 当AM、DN最短时， AM平面BCD，DNAB， M为BCD的中心，N为线段AB的中点， 如图： 又正四面体的棱长为1， AM=63，cosMAB=63， AM平面BCD， AMAB=|AM|AB|cosMAB=AM2， AMMN=AM(AN-AM)=AM(12AB-AM)=12AMAB-AM2=-12|AM|2=-1269=-13 故选
5、：A5. 如图所示，空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=3，则cos的值是( )A. 0 B. 12 C. 32 D. 22【答案】A【解析】空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=3， BC=OC-OB， OABC=OA(OC-OB)=OAOC-OAOB =|OA|OC|cos3-|OA|OB|cos3 =12|OA|(|OC|-|OB|) =0， cos=OABC|OA|BC|=0 故选A6. 如图，在大小为60的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A. 2B. 2C. 1D. 3【答案】A【解析】由题
6、以BF,FE,DE为空间一组基底向量，因为四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形且二面角A-EF-D的大小为60，所以，又BD=BF+FE+ED，BD=BF+FE+ED2 =BF2+FE2+ED2+2BFFE+2FEED+2BFED =1+1+1+211cos120=2故选A7. 在四面体OABC中M,N分别是OA,BC的中点，P是MN的三等分点(靠近点N)，若OA=a,OB=b,OC=c，则OP=（ ）A. 13a+16b+16cB. 16a+13b+13c C. 12a+16b+13cD. 16a+12b+13c【答案】B【解析】如图所示： OP=OM+MP=OM+23MN，
7、=12OA+23ON-OM =12OA+2312OB+12OC-12OA， =16OA+13OB+13OC =16a+13b+13c 故选：B8. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，ACB=90，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B(含边界)上的动点.要使AB1平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为( )A. 52 B. 2 C. 133 D. 5【答案】A【解析】取BB1上靠近B1的四等分点为E，连接DE，当点F在DE上时，AB1平面C1DF，证明如下：因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，ACB=90，点D是A1B1的中点，
8、所以C1D平面AA1B1B，所以C1DAB1以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 所以A(1,0，2)，B1(0,1，0)，D(12,12,0)，E(0,1，12)，即AB1=(-1,1，-2)，DE=(-12,12,12)，此时AB1DE=0，即AB1DE又DEC1D=D，DE，C1D平面C1DE，所以AB1平面C1DE，故当F在DE上时，AB1平面C1DF，很明显，当E，F重合时，线段C1F最长，此时C1F=52故选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有
9、选错的得0分9. 如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( )A. 若实数1，2使1e1+2e2=0，则1=2=0B. 平面任一向量可以表示为a=1e1+2e2，这里1，2RC. 对实数1，2，1e1+2e2不一定在平面内D. 对平面中的任一向量a，使a=1e1+2e2的实数1，2有无数对【答案】AB【解析】由基底的定义可知，e1和e2是平面上不共线的两个向量， 实数1，2使1e1+2e2=0，则1=2=0，故A正确； 平面内所有向量都可以表示为a=1e1+2e2，故B正确； 平面中的任一向量a均可以表示为a=1e1+2e2的形式，此时实数1，2有且只有一对，故D错误； 对实数1，2，
10、1e1+2e2一定在平面内，C错误; 故选：AB10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是( )A. AC1=66B. 向量B1C与AA1的夹角是60C. AC1BDD. BD1与AC所成角的余弦值为66【答案】ACD【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，所以AA1AB=AA1AD=ADAB=66cos60=18， (AA1+AB+AD)2=AA1+AB2+AD2+2AA1AB+2ABAD+2AA1AD =36+36+36+3218=216，则|AC1|
11、=|AA1+AB+AD|=66， 所以A正确；显然AA1D为等边三角形，则AA1D=60因为B1C=A1D，且向量A1D与AA1的夹角是120，所以B1C与AA1的夹角是120， 所以B不正确； AC1DB=(AA1+AB+AD)(AB-AD) =AA1AB-AA1AD+AB2-ABAD+ADAB-AD2=0， 所以C正确；因为BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD，所以|BD1|=(AD+AA1-AB)2=62,|AC|=(AB+AD)2=63， BD1AC=(AD+AA1-AB)(AB+AD)=36，所以cosBD1,AC=BD1AC|BD1|AC|=366263=66， 所以D正确
12、故选ACD11. 下列命题正确的是( )A. 已知u，v是两个不共线的向量，若a=u+v，b=3u-2v，c=2u+3v则a，b，c共面B. 若向量a/b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若A(1,0，0)，B(0,1，0)，则与向量AB共线的单位向量为e=(-22,22,0)D. 在三棱锥O-ABC中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则底面ABC是锐角三角形【答案】ABD【解析】对于A，由a=u+v，b=3u-2v，得u=25a+15b,v=35a-15b， 所以c=2u+3v=45a+25b+95a-35b=135a-15b， 所以向量a，b，c共面，故A正确； 对于B，若
13、向量a/b，则a，b与任何向量都共面， 所以a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，由题意可知：AB=-1,1,0， 设与向量AB共线的单位向量为e=AB=-,0， 则-2+2+02=1，解得：=22，则e=(-22,22,0)或e=(22,-22,0)，故C错误； 对于D，如图， 若侧棱OA，OB，OC两两互相垂直， ABAC=OB-OAOC-OA=OA20， 所以BAC为锐角，同理ABC，BCA均为锐角， ABC为锐角三角形故D正确 故选ABD12. 若长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则( )A. B1EA1BB. 平
14、面平面A1BDC. 三棱锥C1-B1CE的体积为83D. 三棱锥C1-B1CD1的外接球的表面积为【答案】CD【解析】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，B12,0,4，E0,2,2，A10,0,4，B2,0,0， C2,2,0，D0,2,0，B1E=-2,2,-2,A1B=2,0,-4，CE=-2,0,2,A1D=0,2,-4，B1EA1B=-4+8=40， 故A错误；设平面B1CE的一个法向量为m=x,y,z，mCE=0mB1E=0,即-2x+2z=0-2x+2y-2z=0，令x=1，可得m=1,2,1，设平面A1BD的一条法向量为n=x1,y1,z1nA1B=0nA1D=0，即2x1
15、-4z1=02y1-4z1=0，令x=2，可得n=2,2,1显然两平面对应的法向量不平行，所以这两个平面也不平行， 故B错误；VC1-B1CE=VB1-C1CE=1312422=83， 故C正确；通过三棱锥的结构分析可知三棱锥C1-B1CD1的外接球即为长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，其外接球半径r=4+4+162=6，所以其表面积为， 故D正确，故选CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形，SE=2EC，若BE=xAB+yAD+zAS，则x+y+z= 【答案】23【解析】因为SE=2EC，所以CE=13CS，四棱锥S-ABCD的
16、底面是平行四边形，则AD+AB=AC，所以BE=BC+CE=AD+13CS=AD+13(AS-AC)=AD+13(AS-AB-AD)=13AS+23AD-13AB，又BE=xAB+yAD+zAS，所以x=-13,y=23,z=13，故x+y+z=23故答案为：2314. 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，点M为PA的中点，BD=BN.若MNAD，则实数=_【答案】4【解析】连接AC，BD交于点O，以OA为x轴，以OB为y轴，以OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设PA=AB=2，则A(1,0，0)，B(0,1，0)，D(0,-1,0)，P(0,0，1)，M(12,0，12)，BD
17、=(0,-2,0)，设N(0,y，0)，则BN=(0,y-1,0)，BD=BN，y=-2，N(0,-2,0)，MN=(-12,-2,-12)，AD=(-1,-1,0)又MNAD，MNAD=0，12-2=0 ，解得=4故答案为415. 设O(0,0，0)，A(0,1，1)，B(1,0，1)，点P是线段AB上的一个动点，且满足AP=AB，若OPABPAPB，则实数的取值范围是_【答案】2-2,2+2【解析】O(0,0，0)，A(0,1，1)，B(1,0，1)，设P(x,y，z)，AB=(1,-1,0)，AP=AB=(,-,0)=(x,y-1,z-1)，x=y=1-z=1，OP=(,1-,1)，PA
18、=(-,0)，PB=(1-,-1,0)，OPAB=2-1，PAPB=22-2，又OPABPAPB，2-122-2，整理可得，22-4+10，解可得，2-22+2，故答案为：1-2,2+2.16. 动点P在正方体的对角线BD1上，记D1PD1B=，当APC为钝角时，的取值范围是【答案】(13,1)【解析】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AB=1，则有A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，D1(0,0，1)，D1B=(1,1，-1)，D1P=(,-)，PA=PD1+D1A=(-,-,)+(1,0，-1)=(1-，-，-1)，PC=PD1+D1C=(-,-,)+(0
19、,1，-1)=(-，1-，-1)，显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于cosAPC0，PAPC0， (1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0，得131，因此，的取值范围是(13,1)，故答案为：(13,1)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC，点E为AD的中点，设OA=a,OB=b,OC=c (1)试用向量a,b,c表示向量OE；(2)若OA=OC=3，OB=2，AOC=BOC=AOB=60，求OEAC的值【解析】(1) 因为2BD=DC，所以BD=13BC=13(OC-OB)=
20、13(c-b)，所以OD=OB+BD=b+13(c-b)=23b+13c，因为E为AD中点，所以OE=12(OA+OD)=12(a+23b+13c)=12a+13b+16c; 2 由题意知：ac=accos60=3312=92，ab=abcos60=3212=3，cb=cbcos60=3212=3， OEAC=OEOC-OA=12a+13b+16cc-a =-12a2+16c2+13ac+13bc-13ab =-1232+1632+1392+133-133 =-3218. 四棱柱P-ABCD的底面ABCD为矩形，面PCD平面ABCD，PC=PD=BC=2，AB=2，E是CD的中点()求证：AC
21、PB；()求BD与平面PAB所成角的正弦值【解析】()四棱柱P-ABCD的底面ABCD为矩形，面PCD平面ABCD，PC=PD=BC=2，AB=2，E是CD的中点 PE底面ABCD，以E为原点，在平面ABCD内过点E作CD的垂线为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系， A(2,-1,0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)，B(2,1，0)， AC=(-2,2，0)，PB=(2,1,-1)， ACPB=-2+2+0=0， ACPB()D(0，-1，0)，BD=(-2,-2,0)，PA=(2,-1,-1)， 设平面PAB的法向量n=(x,y，z)， 则 nPA=2x-y-z=0nPB
22、=2x+y-z=0，取x=1，得n=(1,0，2)， 设BD与平面PAB所成角为， 则sin=|BDn|BD|n|=263=13 BD与平面PAB所成角的正弦值为1319. 如图，AD/BC且AD=2BC，ADCD，EG/AD且EG=AD，CD/FG且CD=2FG，DG平面ABCD，DA=DC=DG=2(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN/平面CDE；(2)求二面角E-BC-F的正弦值；(3)求直线AD到平面EBC的距离【解析】(1)证明：依题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系可得D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(1
23、,2，0)，C(0,2，0)，E(2,0，2)，F(0,1，2)，G(0,0，2)，M(0,32,1)，N(1,0，2)设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量，则 n0DC=2y=0 n0DE=2x+2z=0，不妨令z=-1，可得n0=(1,0,-1)；又MN=(1,-32,1)，可得MNn0=0又直线MN平面CDE， MN/平面CDE； (2) 依题意，可得BC=(-1,0,0)，BE=(1,-2,2)，CF=(0,-1,2)设n=(x1,y1,z1)为平面BCE的法向量， 则 nBC=-x1=0nBE=x1-2y1+2z1=0，不妨令z1=1，可得n=(0,1,1)设m=(x2,y2,
24、z2)为平面BCF的法向量， 则 mBC=-x2=0mCF=-y2+2z2=0，不妨令z2=1，可得m=(0,2,1)因此有cos=mn|m|n|=31010，于是sin=1010 二面角E-BC-F的正弦值为1010 (3)AD/BC，BC平面EBC，AD平面EBC，AD/平面EBC，AD到平面EBC的距离即A到平面EBC的距离，设A到平面EBC的距离为d，AE=(0,0,2)，则d=|AEn|n|=22=2.20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD/BC，ABAD，AB=AD=12BC=2，PA=4，E为棱BC上的点，且BE=14BC(1)
25、求证：DE平面PAC；()求二面角A-PC-D的余弦值；()设Q为棱CP上的点(不与C、P重合)，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求CQCP的值【解析】证明：()因为PA平面ABCD，AB、AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD，而ABAD，因此PA、AB、AD两两垂直以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如下图：因为AD/BC，AB=AD=12BC=2，PA=4，E为棱BC上的点，且BE=14BC，所以A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,4，0)，D(0,2，0)，P(0,0，4)，E(2,1，0)，因此DE=(2,-1,0)，AC=(
26、2,4，0)，AP=(0,0，4)DEAC=0，DEAP=0，DEAC，DEAP，而APAC=A，PA、AC平面PAC，因此DE平面PAC () 由()知平面PAC的法向量m=(2,-1,0)，设平面PCD的法向量n=(x,y，z)，PD=(0,2，-4)，PC=(2,4，-4)，nPD=2y-4z=0nPC=2x+4y-4z=0，取z=1，得n=(-2,2，1)若二面角A-PC-D的大小为，由图知：为锐角，因此cos=|cos|=mn|m|n|=255，即二面角A-PC-D的余弦值为255 () 设CQCP=(01)，即CQ=CP=(-2,4,4)，Q=(2-2,4-4,4)，QE=(2,4
27、-3,-4)，直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，|cos|=|QEm|QE|m|=55，解得=23，CQCP=2321. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，BAD=60，DEAB于点E，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DDC，如图2 (1)求二面角E-A1B-C的余弦值 (2)判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP平面A1BC？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由【解析】(1) 由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE=23， A1(0,0，2)，B(2,0，0)，C(4,23,0)，D(0,23,0)， BA1=(-2,0，2)，
28、BC=(2,23,0)， 平面A1BE的一个法向量为n=(0,1，0)， 设平面A1BC的一个法向量为m=(x,y，z)， 则 -2x+2z=02x+23y=0, 令y=1，m=(-3,1，-3)， cos=mnmn=77， 钝二面角E-A1B-C的余弦值为-77； (2) 在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP平面A1BC， 设P(t,0，0)(0t2)， 则A1P=(t,0，-2)，A1D=(0,23,-2)， 设平面A1DP的法向量为p=(a,b，c)， 则 23b-2c=0ta-2c=0， 令a=2，p=(2,t3,t)， 平面A1DP平面A1BC， 由 (1) 可得平面A1BC的一
29、个法向量m=(-3,1，-3)， 由mp=0得，-23+t3-3t=0，t=-3， 0t2， 在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP平面A1BC22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA底面ABCD，AD/BC，ABC=90，AD=1，PA=AB=BC=2，M是棱PB的中点 (1)已知点E在棱BC上，且平面AME/平面PCD，试确定点E的位置并说明理由；(2)设点N是线段CD上的动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成的角最大?并求最大角的正弦值【解析】：(1)E为BC的中点证明如下：连接ME，AE，M、E分别为PB、BC的中点， ME/PC又ME平面PDC，PC平面PDC， ME
30、/平面PDC又EC/AD，四边形EADC为平行四边形， AE/DC.AE平面PDC，DC平面PDC， AE/平面PDC又AEME=E， 平面AME/平面PDC (2) 以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,2，0)，D(1,0，0)，P(0,0，2)，M(0,1，1)，设直线MN与平面PAB所成的角为，DN=DC01，则MN=MA+AD+DN=+1,2-1,-1，易得平面PAB的一个法向量为n=1,0,0，则sin=|cosMN,n|=+1+12+2-12+1=+1252-2+3，令+1=t，t1,2，则+1252-2+3=t25t2-12t+10=1101t2-12t+557， sin357，当且仅当t=53，即=23时，等号成立
