1、3.2.1 双曲线及其标准方程一知识梳理双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|注意(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(2)当2a|F1F2|时，P点不存在巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2ny21(mn0)二 每日一练一、单选题1已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（ ）A16B24C36D402“方程表示双曲线”
2、的一个必要不充分条件为（ ）ABCD3“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为（ ）A圆B椭圆C抛物线D双曲线5已知双曲线上一点到其左焦点的距离为8，则的中点到坐标原点的距离为（ ）A9B6C5D46在平面
3、直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（ ）ABCD7椭圆的焦点是双曲线的焦点，则（ ）A4B3C2D18“方程表示双曲线”是“方程表示椭圆”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、多选题9已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ）A3B6C7D1410已知方程，则下列说法中正确的有（ ）A方程可表示圆B当时，方程表示焦点在轴上的椭圆C当时，方程表示焦点在轴上的双曲线D当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为1011已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜
4、率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）A当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆B当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆C当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆D当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线12已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）A曲线可表示为焦点在轴的椭圆B曲线可表示为焦距是4的双曲线C曲线可表示为离心率是的椭圆D曲线可表示为渐近线方程是的双曲线三、填空题13已知，设P是椭圆与双曲线的交点之一，则_.14已知双曲线上的点P到点的距离为9，则点
5、P到点的距离为_15已知双曲线 的左、右焦点为F1、F2， P是双曲线右支上，以PF1为直径的圆 过点F2，则双曲线方程为 _16已知方程表示双曲线，则的取值范围是_四、解答题17已知双曲线：（，）的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点（1）求双曲线的方程；18已知双曲线：的两个焦点为，一条渐近线方程为，且双曲线经过点（1）求双曲线的方程；19已知双曲线(，)的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点.且.（1）求双曲线的标准方程.20已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点（1）求双曲线的方程21已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直
6、线的距离为1（1）求双曲线的标准方程；22已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线（1）求双曲线的标准方程；参考答案1C因为双曲线为，所以；由双曲线的定义得，所以，所以周长为，2A由方程表示双曲线，知：，故它的一个必要不充分条件为.3A当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；当时，可化为，因为椭圆的焦点在轴上，所以即，故方程表示焦点在轴上的圆锥曲线时，或，故“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，4D由题意，从界线上的点出发，经到与经到，所走的路程是一样的，即，所以，又由，所以，又由，根据双曲线的定义可知曲线为双曲线的一部分.5A解：由，得，则，所以，所以，设双曲线的右焦点为
7、，因为到其左焦点的距离为8，所以点在双曲线的左支上，所以，所以，因为为的中点，为的中点，所以，6A如图，设切线的切点分别为，则，所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支（除去与轴交点），则，双曲线方程为，轨迹方程为，7D解：椭圆中，所以，在双曲线中，所以，所以，解得.8B若方程表示双曲线，则；若方程表示椭圆，则，且；则，且；，且；“方程表示双曲线”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.9AC连接，是的中位线，或6，或3.10BCD对于A，当方程可表示圆时，无解，故A错误.对于B，当时，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确.对于C，当时.，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确.对于D，当方程表示双曲线时，；当方程
8、表示椭圆时，所以焦距均为10，故D正确.11BD设点P的坐标为，则，所以.当时，即，表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.当时，表示圆心在原点的圆，故B正确.当时，表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.当时，表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.12ACD由为3与5的等差中项，得，即，由为4与16的等比中项，得，即，则曲线的方程为或其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确136椭圆和双曲线分别化为标准方程为、，可知两曲线共焦点，设，由定义有：或.1417易知点是双曲线的右焦点，是双曲线的左焦点，又，而点P到点的距离为9，
9、因此在右支上因此点P到点的距离为15解：依题意可知，所以，因为，所以，又，所以所以双曲线方程为16解：因为方程表示双曲线，所以，即，所以的取值范围是，17（1）；解：（1）由双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，得，解得，则双曲线的方程为18（1）；（解：（1），双曲线方程为：.19（1）；（1）设双曲线的焦距为.由双曲线的离心率为2知，所以，从而双曲线的方程可化为.令得.设，.因为，所以，.因为，所以，于是，解得，所以双曲线C的标准方程为.20（1）；（1）由题可知：，双曲线的方程是.21（1）；【分析】解：（1）由题知双曲线的渐近线方程为，双曲线的一条渐近线与直线：垂直，即设，故双曲线的标准方程为22（1）；（1）由题意可知，因为一条渐近线方程为，所以，解得，则双曲线方程为；
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