1、3.2.1 双曲线及其标准方程一知识梳理双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|注意(1)当2a|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;(2)当2a|F1F2|时,P点不存在巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0,b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2ny21(mn0)二 每日一练一、单选题1已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与该双曲线的右支交于,两点,若,则周长为( )A16B24C36D402“方程表示双曲线”
2、的一个必要不充分条件为( )ABCD3“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时,园主都需要雇佣人工采摘,并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1:先集中到处,再沿公路运送;路径2:先集中到处,再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线,使得从该界线上的点出发,按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知,若这条界线是曲线的一部分,则曲线为( )A圆B椭圆C抛物线D双曲线5已知双曲线上一点到其左焦点的距离为8,则的中点到坐标原点的距离为( )A9B6C5D46在平面
3、直角坐标系中,一动圆与轴切于点,分别过点、作圆的切线并交于点(点不在轴上),则点的轨迹方程为( )ABCD7椭圆的焦点是双曲线的焦点,则( )A4B3C2D18“方程表示双曲线”是“方程表示椭圆”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、多选题9已知双曲线上一点到左焦点的距离为10,则的中点到坐标原点的距离为( )A3B6C7D1410已知方程,则下列说法中正确的有( )A方程可表示圆B当时,方程表示焦点在轴上的椭圆C当时,方程表示焦点在轴上的双曲线D当方程表示椭圆或双曲线时,焦距均为1011已知点A的坐标为,点B的坐标为,直线AP与BP相交于点P,且它们的斜
4、率之积为非零常数m,那么下列说法中正确的有( )A当时,点P的轨迹加上A,B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆B当时,点P的轨迹加上A,B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆C当时,点P的轨迹加上A,B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆D当时,点P的轨迹加上A,B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线12已知为3与5的等差中项,为4与16的等比中项,则下列对曲线描述正确的是( )A曲线可表示为焦点在轴的椭圆B曲线可表示为焦距是4的双曲线C曲线可表示为离心率是的椭圆D曲线可表示为渐近线方程是的双曲线三、填空题13已知,设P是椭圆与双曲线的交点之一,则_.14已知双曲线上的点P到点的距离为9,则点
5、P到点的距离为_15已知双曲线 的左、右焦点为F1、F2, P是双曲线右支上,以PF1为直径的圆 过点F2,则双曲线方程为 _16已知方程表示双曲线,则的取值范围是_四、解答题17已知双曲线:(,)的一个焦点坐标为,其中一条渐近线的倾斜角的正切值为,为坐标原点(1)求双曲线的方程;18已知双曲线:的两个焦点为,一条渐近线方程为,且双曲线经过点(1)求双曲线的方程;19已知双曲线(,)的离心率为2,过点且斜率为的直线交双曲线于,两点.且.(1)求双曲线的标准方程.20已知双曲线的左、右焦点分别为,其离心率为,且过点(1)求双曲线的方程21已知双曲线:的一条渐近线与直线:垂直,且双曲线的右焦点到直
6、线的距离为1(1)求双曲线的标准方程;22已知双曲线的虚轴长为4,直线为双曲线的一条渐近线(1)求双曲线的标准方程;参考答案1C因为双曲线为,所以;由双曲线的定义得,所以,所以周长为,2A由方程表示双曲线,知:,故它的一个必要不充分条件为.3A当时,方程表示焦点在轴上的双曲线;当时,可化为,因为椭圆的焦点在轴上,所以即,故方程表示焦点在轴上的圆锥曲线时,或,故“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件,4D由题意,从界线上的点出发,经到与经到,所走的路程是一样的,即,所以,又由,所以,又由,根据双曲线的定义可知曲线为双曲线的一部分.5A解:由,得,则,所以,所以,设双曲线的右焦点为
7、,因为到其左焦点的距离为8,所以点在双曲线的左支上,所以,所以,因为为的中点,为的中点,所以,6A如图,设切线的切点分别为,则,所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去与轴交点),则,双曲线方程为,轨迹方程为,7D解:椭圆中,所以,在双曲线中,所以,所以,解得.8B若方程表示双曲线,则;若方程表示椭圆,则,且;则,且;,且;“方程表示双曲线”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.9AC连接,是的中位线,或6,或3.10BCD对于A,当方程可表示圆时,无解,故A错误.对于B,当时,表示焦点在轴上的椭圆,故B正确.对于C,当时.,表示焦点在轴上的双曲线,故C正确.对于D,当方程表示双曲线时,;当方程
8、表示椭圆时,所以焦距均为10,故D正确.11BD设点P的坐标为,则,所以.当时,即,表示焦点在y轴上的椭圆,故A错误.当时,表示圆心在原点的圆,故B正确.当时,表示焦点在x轴上的椭圆,故C错误.当时,表示焦点在x轴上的双曲线,故D正确.12ACD由为3与5的等差中项,得,即,由为4与16的等比中项,得,即,则曲线的方程为或其中表示焦点在轴的椭圆,此时它的离心率,故A正确,C正确;其中表示焦点在轴的双曲线,焦距为,渐近线方程为,故B不正确,D正确136椭圆和双曲线分别化为标准方程为、,可知两曲线共焦点,设,由定义有:或.1417易知点是双曲线的右焦点,是双曲线的左焦点,又,而点P到点的距离为9,
9、因此在右支上因此点P到点的距离为15解:依题意可知,所以,因为,所以,又,所以所以双曲线方程为16解:因为方程表示双曲线,所以,即,所以的取值范围是,17(1);解:(1)由双曲线的一个焦点坐标为,其中一条渐近线的倾斜角的正切值为,得,解得,则双曲线的方程为18(1);(解:(1),双曲线方程为:.19(1);(1)设双曲线的焦距为.由双曲线的离心率为2知,所以,从而双曲线的方程可化为.令得.设,.因为,所以,.因为,所以,于是,解得,所以双曲线C的标准方程为.20(1);(1)由题可知:,双曲线的方程是.21(1);【分析】解:(1)由题知双曲线的渐近线方程为,双曲线的一条渐近线与直线:垂直,即设,故双曲线的标准方程为22(1);(1)由题意可知,因为一条渐近线方程为,所以,解得,则双曲线方程为;