1、第8讲 椭圆的方程和性质玩前必备1椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆,这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点. 2a|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;2a|F1F2|时,动点的轨迹不存在.2椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大;焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大.3椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)范围|x|a,|y|b|x|b,|y|a对称性关于x轴,y轴对称,关于
2、原点中心对称顶点坐标(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(b,0),(b,0),(0,a),(0,a)焦点坐标(c,0),(c,0)(0,c),(0,c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b,ab离心率ea,b,c的关系a2b2c2长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心离心率表示椭圆的扁平程度当e越接近于1时,c越接近于a,从而b越小,因此椭圆越扁常用结论1焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分别记作r1|PF1|,r2|PF2|.(1)1(ab0),r1aex0,r2aex0;(2)1(ab0),r1aey0,r2aey0;(
3、3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)2焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形,F1PF2,PF1F2的面积为S,则在椭圆1(ab0)中(1)当P为短轴端点时,最大(2)S|PF1|PF2|sin b2tan c|y0|,当|y0|b时,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(ac)3焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin.4AB为椭圆1(ab0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则(1)弦长l|x1x2| |y1y2|;(2)直线
4、AB的斜率kAB.玩转典例题型一椭圆的定义 例1下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1,0),F2(1,0),则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆;已知定点F1(2,0),F2(2,0),则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段;到定点F1(3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆例2(1)(2020福建高二期末)如果表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是( )A BCD(2)(2020江苏省苏州实验中学高二期中)方程表示椭圆,则实数的取值范围( )ABCD且例3已知两圆C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,动圆M在圆C1内部且
5、和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B.1C.1 D.1例4(2020全国高三其他)已知椭圆,点是椭圆上的一动点,则的最小值为( )ABCD玩转跟踪 1.(2020上海徐汇.高二期末)已知是定点,.若动点满足,则动点的轨迹是( )A 直线B线段C圆D椭圆2(2020吉林省实验高二期末(理)方程x2ky22表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 ( )ABCD3.已知为椭圆的左焦点,P为椭圆上半部分上任意一点,A(1,1)为椭圆内一点,则的最小值_题型二焦点三角形问题例5(1)(2020黑龙江哈尔滨三中高二期中)已知的顶点,在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且
6、椭圆的另一个焦点在上,则的周长是()ABCD(2)(2020广西田阳高中)已知是椭圆上一点, 为椭圆的两焦点,且,则面积为( )ABCD例6(2020湖北襄阳。高二期中)椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,若,则_.例7设椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F230,则C的离心率为()A. B. C. D.玩转跟踪 1(2020黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考(文)已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于( )A20B16C18D142已知P是椭圆上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且F1PF260,则F1PF2的面积是_3.(
7、2020广西钦州一中高三开学考试(理)设椭圆C:(a0,b0)的左右焦点分别为,离心率为.P是C上一点,且.若的面积为4,则a=( )A1B2C4D84.点P(x,y)是椭圆(ab0)上的任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且F1PF290,则该椭圆的离心率的取值范围是()A0eBe1C0eb0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,则C的离心率为()A.B.C. D.(2)(2020福州模拟)过椭圆C:1(ab0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取
8、值范围是_例11(1)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为 ()A2 B3C6 D8(2)P为椭圆1上任意一点,EF为圆N:(x1)2y24的任意一条直径,则的取值范围是()A0,15 B5,15C5,21 D(5,21)玩转跟踪1.(2020江西吉安一模)如图,用与底面成45角的平面截圆柱得一截口曲线,即椭圆,则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.2已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|AF2|的最大值为5,则b的值是_3.(2020江苏淮安.高二期中)已知椭圆的上顶点为,右顶点为,若过原点
9、作的垂线交椭圆的右准线于点,点到轴的距离为,则此椭圆的离心率为( )ABCD玩转练习1(2020河南洛阳一模)已知椭圆1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于()A5B6C9 D102(2019河北衡水二模)已知椭圆1(ab0)的离心率为,则()A. B.C. D.3焦点在x轴上的椭圆方程为1(ab0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.4(2020安徽江南十校模拟)已知椭圆G的中心为坐标原点O,点F,B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点点O到直线BF的距离为,过F垂直于椭圆长轴的弦长为2,则椭圆G的方程是()A.1 B.1C
10、.1 D.15(多选)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长,下列式子中正确的是()Aa1c1a2c2 Ba1c1a2c2Cc1a2a1c2 D.6(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是()A椭圆C的
11、方程为x21B椭圆C的方程为y21C|PQ|DPF2Q的周长为47(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点若|AF2|2|F2B|,|AB|BF1|,则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.18(2020福州模拟)已知F1,F2为椭圆y21的左、右焦点,P是椭圆上异于顶点的任意一点,K点是F1PF2内切圆的圆心,过F1作F1MPK于M,O是坐标原点,则|OM|的取值范围为_9(一题两空)已知点F1,F2分别是椭圆1的左、右焦点,点P在此椭圆上,则椭圆离心率为_,PF1F2的周长为_10椭圆y21的左、右焦点分别为F1,F2,过F1
12、作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|_.11(2020江西赣州模拟)已知A,B是椭圆E:1(ab0)上的两点,且A,B关于坐标原点对称,F是椭圆的一个焦点,若ABF面积的最大值恰为2,则椭圆E的长轴长的最小值为_12(一题两空)已知椭圆E的一个顶点为A(0,1),焦点在x轴上,若椭圆的右焦点到直线xy20的距离是3.(1)椭圆E的方程为_;(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B,当弦AB的长度最大时,则直线l的方程为_13已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,求该椭圆的离心率的取值范围14已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e,求椭圆的方程;(2)设直线ykx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且e,求k的取值范围15.如图,已知椭圆1(ab0)的右焦点F(1,0),离心率为,过点F作两条互相垂直的弦AB,CD.(1)求椭圆的标准方程;(2)求以A,B,C,D为顶点的四边形的面积的取值范围
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