1、第8讲 椭圆的方程和性质玩前必备1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 2a|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在.2椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大.3椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴，y轴对称，关于
2、原点中心对称顶点坐标(a,0)，(a,0)，(0，b)，(0，b)(b,0)，(b,0)，(0，a)，(0，a)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，ab离心率ea，b，c的关系a2b2c2长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心离心率表示椭圆的扁平程度当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁常用结论1焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|.(1)1(ab0)，r1aex0，r2aex0；(2)1(ab0)，r1aey0，r2aey0；(
3、3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)2焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中(1)当P为短轴端点时，最大(2)S|PF1|PF2|sin b2tan c|y0|，当|y0|b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(ac)3焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.4AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l|x1x2| |y1y2|；(2)直线
4、AB的斜率kAB.玩转典例题型一椭圆的定义 例1下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆；已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段；到定点F1(3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆例2（1）（2020福建高二期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）A BCD（2）（2020江苏省苏州实验中学高二期中）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ）ABCD且例3已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆M在圆C1内部且
5、和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B.1C.1 D.1例4（2020全国高三其他）已知椭圆，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（ ）ABCD玩转跟踪 1.（2020上海徐汇.高二期末）已知是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（ ）A 直线B线段C圆D椭圆2（2020吉林省实验高二期末（理）方程x2ky22表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ）ABCD3.已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则的最小值_题型二焦点三角形问题例5（1）（2020黑龙江哈尔滨三中高二期中）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且
6、椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（）ABCD（2）（2020广西田阳高中）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为（ ）ABCD例6（2020湖北襄阳。高二期中）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则_.例7设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B. C. D.玩转跟踪 1（2020黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）A20B16C18D142已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF260，则F1PF2的面积是_3.（
7、2020广西钦州一中高三开学考试（理）设椭圆C：(a0，b0)的左右焦点分别为，离心率为.P是C上一点，且.若的面积为4，则a=（ ）A1B2C4D84.点P(x，y)是椭圆(ab0)上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF290，则该椭圆的离心率的取值范围是()A0eBe1C0eb0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A.B.C. D.(2)(2020福州模拟)过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取
8、值范围是_例11(1)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 ()A2 B3C6 D8(2)P为椭圆1上任意一点，EF为圆N：(x1)2y24的任意一条直径，则的取值范围是()A0,15 B5,15C5,21 D(5,21)玩转跟踪1.(2020江西吉安一模)如图，用与底面成45角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.2已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_3.（2020江苏淮安.高二期中）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点
9、作的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为（ ）ABCD玩转练习1(2020河南洛阳一模)已知椭圆1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于()A5B6C9 D102(2019河北衡水二模)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()A. B.C. D.3焦点在x轴上的椭圆方程为1(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.4(2020安徽江南十校模拟)已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点点O到直线BF的距离为，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是()A.1 B.1C
10、.1 D.15(多选)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，下列式子中正确的是()Aa1c1a2c2 Ba1c1a2c2Cc1a2a1c2 D.6(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是()A椭圆C的
11、方程为x21B椭圆C的方程为y21C|PQ|DPF2Q的周长为47(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.18(2020福州模拟)已知F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1MPK于M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为_9(一题两空)已知点F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则椭圆离心率为_，PF1F2的周长为_10椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1
12、作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|_.11(2020江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：1(ab0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为_12(一题两空)已知椭圆E的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线xy20的距离是3.(1)椭圆E的方程为_；(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，则直线l的方程为_13已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，求该椭圆的离心率的取值范围14已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若e，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且e，求k的取值范围15.如图，已知椭圆1(ab0)的右焦点F(1,0)，离心率为，过点F作两条互相垂直的弦AB，CD.(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围
