1、1、理解点与椭圆、直线与椭圆的位置、理解点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，掌握点与椭圆、直线与椭圆的关系，掌握点与椭圆、直线与椭圆的判断方法；判断方法；2、会求直线截椭圆所得的弦长，会求、会求直线截椭圆所得的弦长，会求与弦的中点有关的问题。与弦的中点有关的问题。一、点与椭圆的位置关系及判断：一、点与椭圆的位置关系及判断：1、点在椭圆外、点在椭圆外2、点在椭圆上、点在椭圆上3、点在椭圆内、点在椭圆内点点P(x0,y0)椭圆椭圆22221(0)xyabab2200221xyab2200221xyab2200221xyab二、直线与椭圆位置关系种类：二、直线与椭圆位置关系种类：相交相交相切相切相离相离
2、注意观察交点个数。注意观察交点个数。二个二个0个个一个一个102222byaxCByAx，共点。直线和椭圆相离，无公个公共点；直线和椭圆相切，有一个公共点；直线和椭圆相交，有两000010/2/2222cxbxabyaxCByAx则由 yoF1 1F2 2x yoF1 1F2 2x yoF1 1F2 2x三、位置关系的判断方法：三、位置关系的判断方法：22141xyyxmm例：已知椭圆及直线，当直线与椭圆有公共点时，求 的范围.xyO121yxm解：将代入椭圆01)(422mxx012522mmxx直线与椭圆有公共点，0) 1(20422mm2525m点时，直线与椭圆有公共当2525m四、弦长
3、问题：四、弦长问题：当直线当直线 与椭圆相交时，交点与椭圆相交时，交点为为 两点，我们把线段两点，我们把线段 叫做直线被椭圆所截得的弦。叫做直线被椭圆所截得的弦。ykxm1122(,),(,)A xyB xyABxyABo2121xxkAB2122124)(1xxxxk或或2122124)(11yyyykAB22241xyyxm例 ：已知椭圆及直线，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。yxm解：将代入椭圆012522mmxx由弦长公式得：222420(1)|1 15mmAB245522m5102|0maxABm时，当xy 直线方程为xyO121五、有关弦中点的问题：五、有关弦中点的问题：1、平
4、行弦的中点轨迹；、平行弦的中点轨迹；2、过定点的弦的中点轨迹；、过定点的弦的中点轨迹；3、过定点且被定点平分的弦所在、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程。的直线方程。 2231,21211 1,2 2xyAPP例 ：已知椭圆求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。2 过（ ， ）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程。3 求过点且被 平分的弦所在直线方程。.xyO解：1122()(),M xyN xyMNR x y设弦的两个端点分别为，的中点22221212111222xxyy则21122112()()1 2()()02xxxxyyyy由得：21121221()2()0yyxxyyxx1212
5、1212,222 ,2xxyyxyxxx yyy 2121240yyxxxy1代入上式得:所求的轨迹方程为椭圆内的部分 212122122220yyyxxxxyxy2代入上式得:所求的轨迹方程为椭圆内的部分 212121211,112:2430 xxyyyyxxxy 3代入上式得:所求直线方程为【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】3、弦中点问题的两种处理方法：、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：（1）垂径定理：）垂径定理：|AB|= （只适用于圆）（只适用于圆）（2）弦长公式：）弦长公式： |AB|= = （适用于任何曲线）（适用于任何曲线） 222dr 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（
