1、2020-2021学年度高二数学大题期末考试训练一、解答题1如图，在四棱锥中，面面，M为的中点（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值2如图，四边形为菱形，四边形为矩形，平面平面，点在上，（）证明：平面；（）若与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值3如图，在三棱柱中，点为线段的中点（1）求证：（2）求二面角的大小（3）求直线与平面所成角的正弦值4如图，在三棱锥PABC中，分别是，的中点，是上一点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值的最大值5如图矩形中，；分别为的中点，沿将点折起至点，连接.（1）当时，（如图1），求二面角的大小；（2）当二面角等于时（如图2），求与平面所成角的正
2、弦值.6如图，在四棱锥中，.平面平面，为等边三角形，点是棱上的一动点.()求证：平面；()求直线与平面所成角的正弦值的最大值.7如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点.（）求证：平面；（）若平面且，求直线与平面所成角的正弦值.8如图，设曲线过抛物线的焦点，直线过与从下到上依次交于，与交于，直线过与从下到上依次交于，与交于，直线，的斜率乘积为（1）求，两点的纵坐标之积；（2）设，的面积分别为，求的值9已知椭圆，点为椭圆上的点，长轴，D，C为椭圆的上，下顶点，直线交椭圆于M，N（点M在点N左侧，且M与C不重合）（1）求椭圆方程（2）求证：直线的倾斜角互补；（3）记的斜率为，的斜率为，求的取
3、值范围10已知e为椭圆的离心率，且点均在椭圆上（）求椭圆方程；（）如图，分别为椭圆的左右焦点，点A在椭圆上，直线分别与椭圆交于B，C两点，直线交于点D，求证：为定值11已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆C的左、右焦点（1）求椭圆C的方程（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点P若，且点Q满足，求面积的最小值12已知抛物线的焦点F到直线的距离为为抛物线C上两个动点，满足线段的中点M在直线上，点.（1）求抛物线C的方程；（2）求面积的取值范围.13如图，已知过拋物线的焦点的直线交抛物线于点点在第一象限)，线段的中点为拋物线在点处的切线与以为直径的圆交于另一点.（1）若
4、，求直线的方程；（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.14已知：抛物线，曲线，过上一点作的两条切线，切点分别为（1）若，求两条切线的方程；（2）求面积的取值范围15已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，是椭圆的左焦点，是坐标原点.过点的直线与抛物线交于不同的两点，与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）记与的面积分别为，求的最小值；（3）过点且垂直于轴的直线分别交直线于点和点.问：以为直径的圆是否经过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，说明理由.16已知抛物线的焦点为，且点是抛物线上的动点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于，两点（）求抛物线C的方程；（）当直
5、线垂直于直线时，求实数的取值范围17如图，为椭圆E：的左右焦点.点Q满足：延长，.分别交椭圆E于M，N两点，且的重心P在椭圆E上.直线交于点S.（1）若，是椭圆长轴的两个端点，求直线，的斜率之积：（2）设，的面积分别为，求的最小值.18已知函数，其中为实数，（1）若，求函数的极值；（2）若方程在上有实数解，求的取值范围19已知是实数，函数（）当时，求的最小值；（）若恒成立，求的值20已知函，（）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；（）当时，求过点且与曲线相切的直线的条数21已知函数（1）讨论函数的单调性，并证明当时，；（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域22设函数，其中（
6、）若，当时，求证：；（）若不等式在上恒成立，求的最小值23设函数，其中（）若，求函数的单调区间；（）若方程恰有两个不等实数根，求实数的取值范围24已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间.25已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求的值；（3）证明：.26已知实数，函数（1）若函数在中有极值，求实数的取值范围；（2）若函数有唯一的零点，求证：（参考数据，）27已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）时，求证恒成立；（3）存在，使得时恒成立，求的取值范围.28已知函数（1）若，试求在点处的切线方程；（2）当时，试求函数的单调增区间；（3）
7、若在定义域上恒有成立，求实数的取值范围.29已知函数，（1）求函数的最值；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；（3）对于任意，证明：30已知函数.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.31某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，
8、淘汰出局；每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响（）求甲同学能进入下一轮的概率；（）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列32已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数（）可以组成多少个不含有数字0的四位数？（）可以组成多少个四位偶数？（）可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）33某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用
9、两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.34在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求项数；（2）求展开式中的二项式系数最大的项；（3）求展开式中所有系数的绝对值的和35为了纪念中国古代数学家祖冲之
10、，2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节某校数学文化节中，书吧推出“与有缘”摸球兑奖活动规则如下：一只不透明的箱子里放着完全相同且分别标有编号的八个球（三个3，一个1，四个4），从中一次性任意摸出3个球，根据摸出的3个球的编号数字（数字无顺序）兑奖，设一、二、三等奖如下：获奖等级3个球的编号数字奖品一等奖3，1，4280元购书卡一张二等奖1，3，3或1，4，4140元购书卡一张三等奖3，3，3或4，4，470元购书卡一张其余情况视为无奖，每人只能一次摸球机会（1）求摸奖者在一次摸球时恰好获得“280元购书卡一张”的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获得奖品金额（单位：元）的分布列与期望
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