1、2020-2021学年度高二数学大题期末考试训练一、解答题1如图,在四棱锥中,面面,M为的中点()求证:;()求直线与平面所成角的正弦值2如图,四边形为菱形,四边形为矩形,平面平面,点在上,()证明:平面;()若与平面所成角为,求直线与平面所成角的正弦值3如图,在三棱柱中,点为线段的中点(1)求证:(2)求二面角的大小(3)求直线与平面所成角的正弦值4如图,在三棱锥PABC中,分别是,的中点,是上一点()求证:平面;()求直线与平面所成角的正弦值的最大值5如图矩形中,;分别为的中点,沿将点折起至点,连接.(1)当时,(如图1),求二面角的大小;(2)当二面角等于时(如图2),求与平面所成角的正
2、弦值.6如图,在四棱锥中,.平面平面,为等边三角形,点是棱上的一动点.()求证:平面;()求直线与平面所成角的正弦值的最大值.7如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,是线段的中点.()求证:平面;()若平面且,求直线与平面所成角的正弦值.8如图,设曲线过抛物线的焦点,直线过与从下到上依次交于,与交于,直线过与从下到上依次交于,与交于,直线,的斜率乘积为(1)求,两点的纵坐标之积;(2)设,的面积分别为,求的值9已知椭圆,点为椭圆上的点,长轴,D,C为椭圆的上,下顶点,直线交椭圆于M,N(点M在点N左侧,且M与C不重合)(1)求椭圆方程(2)求证:直线的倾斜角互补;(3)记的斜率为,的斜率为,求的取
3、值范围10已知e为椭圆的离心率,且点均在椭圆上()求椭圆方程;()如图,分别为椭圆的左右焦点,点A在椭圆上,直线分别与椭圆交于B,C两点,直线交于点D,求证:为定值11已知椭圆的离心率,且经过点,点为椭圆C的左、右焦点(1)求椭圆C的方程(2)过点分别作两条互相垂直的直线,且与椭圆交于不同两点与直线交于点P若,且点Q满足,求面积的最小值12已知抛物线的焦点F到直线的距离为为抛物线C上两个动点,满足线段的中点M在直线上,点.(1)求抛物线C的方程;(2)求面积的取值范围.13如图,已知过拋物线的焦点的直线交抛物线于点点在第一象限),线段的中点为拋物线在点处的切线与以为直径的圆交于另一点.(1)若
4、,求直线的方程;(2)试问是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请求出它的最大值.14已知:抛物线,曲线,过上一点作的两条切线,切点分别为(1)若,求两条切线的方程;(2)求面积的取值范围15已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,是椭圆的左焦点,是坐标原点.过点的直线与抛物线交于不同的两点,与椭圆交于两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)记与的面积分别为,求的最小值;(3)过点且垂直于轴的直线分别交直线于点和点.问:以为直径的圆是否经过定点?若是,求出所有定点坐标;若不是,说明理由.16已知抛物线的焦点为,且点是抛物线上的动点,过作圆的两条切线,分别交抛物线于,两点()求抛物线C的方程;()当直
5、线垂直于直线时,求实数的取值范围17如图,为椭圆E:的左右焦点.点Q满足:延长,.分别交椭圆E于M,N两点,且的重心P在椭圆E上.直线交于点S.(1)若,是椭圆长轴的两个端点,求直线,的斜率之积:(2)设,的面积分别为,求的最小值.18已知函数,其中为实数,(1)若,求函数的极值;(2)若方程在上有实数解,求的取值范围19已知是实数,函数()当时,求的最小值;()若恒成立,求的值20已知函,()当时,求函数在区间上的最大值与最小值;()当时,求过点且与曲线相切的直线的条数21已知函数(1)讨论函数的单调性,并证明当时,;(2)证明:当时,函数有最小值,设最小值为,求函数的值域22设函数,其中(
6、)若,当时,求证:;()若不等式在上恒成立,求的最小值23设函数,其中()若,求函数的单调区间;()若方程恰有两个不等实数根,求实数的取值范围24已知函数,其中.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求的单调区间.25已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若,求的值;(3)证明:.26已知实数,函数(1)若函数在中有极值,求实数的取值范围;(2)若函数有唯一的零点,求证:(参考数据,)27已知函数.(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;(2)时,求证恒成立;(3)存在,使得时恒成立,求的取值范围.28已知函数(1)若,试求在点处的切线方程;(2)当时,试求函数的单调增区间;(3)
7、若在定义域上恒有成立,求实数的取值范围.29已知函数,(1)求函数的最值;(2)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围;(3)对于任意,证明:30已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求实数的值;(2)若上存在一点,使得成立,求实数的取值范围.31某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题,规则如下:每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分;每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,
8、淘汰出局;每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为,且各题回答正确与否相互之间没有影响()求甲同学能进入下一轮的概率;()用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求的分布列32已知从1,3,5,7,9任取两个数,从0,2,4,6,8中任取两个数,组成没有重复的数字的四位数()可以组成多少个不含有数字0的四位数?()可以组成多少个四位偶数?()可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数?(所有结果均用数值表示)33某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒,需要通过血清检测确定该感染人员,血清检测结果呈阳性的即为感染人员,呈阴性表示没感染.拟采用
9、两种方案检测:方案甲:将这6名疑似病人血清逐个检测,直到能确定感染人员为止;方案乙:将这6名疑似病人随机分成2组,每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测,若结果为阳性,则表示感染人员在该组中,然后再对该组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止;若结果为阴性,则对另一组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止,(1)求这两种方案检测次数相同的概率;(2)如果每次检测的费用相同,请预测哪种方案检测总费用较少?并说明理由.34在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列(1)求项数;(2)求展开式中的二项式系数最大的项;(3)求展开式中所有系数的绝对值的和35为了纪念中国古代数学家祖冲之
10、,2011年国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节某校数学文化节中,书吧推出“与有缘”摸球兑奖活动规则如下:一只不透明的箱子里放着完全相同且分别标有编号的八个球(三个3,一个1,四个4),从中一次性任意摸出3个球,根据摸出的3个球的编号数字(数字无顺序)兑奖,设一、二、三等奖如下:获奖等级3个球的编号数字奖品一等奖3,1,4280元购书卡一张二等奖1,3,3或1,4,4140元购书卡一张三等奖3,3,3或4,4,470元购书卡一张其余情况视为无奖,每人只能一次摸球机会(1)求摸奖者在一次摸球时恰好获得“280元购书卡一张”的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获得奖品金额(单位:元)的分布列与期望