江苏专版2019版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十四解三角形的实际应用.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (二十四） 解三角形的实际应用 练基础小题 强化运算能力 1.如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40 ，灯塔 B 在观察站南偏东 60 ，则灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 _ 解析：由条件及图可知， A CBA 40 ，又 BCD 60 ，所以 CBD 30 ，所以 DBA 10 ，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80. 答案： 80 2如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75 ， 30 ，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC _m. 解析： tan 15

2、 tan(60 45) tan 60 tan 451 tan 60tan 45 2 3， BC 60tan 60 60tan 15 120( 3 1)(m) 答案： 120( 3 1) 3.如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75 的斜坡改造成倾斜角为 30 的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长 _m. 解析：设坡底需加长 x m，由正弦定理得 100sin 30 xsin 45 ，解得x 100 2. 答案： 100 2 4如图，为了测量 A， C 两点间的距离，选取同一平面上 B， D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度 (单位： km)： AB 5， BC 8， CD 3

3、，DA 5，且 B 与 D 互补，则 AC 的长为 _km. 解析： 82 52 285cos( D) 32 52 235cos D， cos D 12. AC 49 7(km) 答案： 7 5如图，已知在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山，山顶设有一个观察站 P，上午 11 时，测得一轮船在海岛北偏东 30 ，俯角为 30 的 B 处，到 11 时 10 分又测得该船在海岛北偏西 60 ，俯角为 60 的 C 处轮船沿 BC 行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的 D 处，此=【 ;精品教育资源文库 】 = 时轮船距海岛 A 有 _千米 解析：由已知可求得 AB 3， AC 33 ， BC

4、303 ，所以 sin ACB 3 1010 ， cos ACB 1010 .在 ACD 中， DAC 90 60 30 ， ACD 180 ACB， sin ADC sin( ACD DAC) sin ACDcos DAC sin DACcos ACD 3 30 1020 ，由正弦定理可求得 AD ACsin ACDsin ADC 9 313 . 答案： 9 313 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1已知 A， B 两地间的距 离为 10 km， B， C 两地间的距离为 20 km，现测得 ABC 120 ，则 A， C 两地间的距离为 _km. 解析：如图所示，由余弦定理可得： A

5、C2 100 40021020cos 120 700， AC 10 7(km) 答案： 10 7 2如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d 0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB 1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 _km/h. 解析：设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知， sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得 ? ?110v 2 ? ?1102 2 12 2 11021 45，解得 v 6 2 km/h. 答案

6、： 6 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 _海里 解析：如图所示，易知，在 ABC 中， AB 20 海里， CAB 30 ， ACB 45 ，根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45 ， 解得 BC 10 2(海里 ) 答案： 10 2 4.(2018 镇江京口区调研 )如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45 方向 60

7、0 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为 _h. 解析：记现在热带风暴中心的位置为点 A， t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置，在 OAB 中， OA 600， AB 20t， OAB 45 ，根据余弦定理得 OB2 6002 400t2260020 t 22 ，令 OB2450 2，即 4t2 120 2t 1 5750 ，解得 30 2 152 t 30 2 152 ，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为 30 2 152 30 2 152 15(h) 答案： 15 5如图

8、，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处出发，沿北偏东 60 方向进行海面巡逻，当航行半小时到达 B 处时，发现北偏西 45 方向有一艘船 C，若船 C 位于 A 的北偏东 30 方向上，则缉私艇所在的 B 处与船 C 的距离是 _km. 解析：由题意，知 BAC 60 30 30 ， ABC 30 45 75 ，则 ACB180 75 30 75 ， AC AB 40 12 20(km)由余弦定理，得 BC2 AC2 AB22AC ABcos BAC 202 202 22020cos 30 800 400 3 400(2 3)， BC 3 3 2 10 2( 3 1)

9、 10( 6 2)km. 答案： 10( 6 2) 6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿点 A 向北偏东 30 前进 100 m到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是 _m. 解析：设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中， BAC 60 ， AC h， AB 100， BC 3h，根据余弦定理得， ( 3h)2 h2=【 ;精品教育资源文库 】 = 1002 2 h100cos 60 ，即 h2 50h 5 000 0，即 (h 50)(h 100) 0

10、，即 h 50，故水柱的高度是 50 m. 答案： 50 7.(2018 常州调研 )如图，在山底 A 点处测得山顶仰角 CAB 45 ，沿倾斜角为 30 的斜坡走 1 000 米至 S 点，又测得山顶仰角 DSB 75 ，则山高 BC 为 _米 解析：由题图知 BAS 45 30 15 ， ABS 45 (90 DSB) 30 ， ASB 135 ，在 ABS 中，由正弦定理可得 1 000sin 30 ABsin 135 ， AB 1 000 2， BC AB2 1 000(米 ) 答案： 1 000 8如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1和 BB1.已知从塔 AA

11、1的底部看塔 BB1顶部的仰角是从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C分别看两塔顶部的仰角互为 余角则从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为_；塔 BB1的高为 _m. 解析：设从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角为 ，则 AA1 60tan ， BB1 60tan 2 . 从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角， A1AC CBB1， AA130 30BB1， AA1 BB1 900， 3 600tan tan 2 900， tan 13， tan 2 34， 则 BB1 60tan 2 45(m) 答案： 13 45 9

12、江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45 和 60 ，而且两条船与炮台底部连线成 30 角，则两条船相距_m. 解析： =【 ;精品教育资源文库 】 = 如图， OM AOtan 45 30(m)， ON AOtan 30 30 33 10 3(m)， 在 MON 中，由余弦定理得， MN 900 300 23010 3 32 300 10 3(m) 答案： 10 3 10.(2018 内蒙古月考 )某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是 _

13、km2. 解析： 如图，连结 AC，由余弦定理可知 AC AB2 BC2 2AB BCcos B 3，故 ACB 90 ， CAB 30 ， DAC DCA 15 ， ADC 150 ， ACsin ADC ADsin DCA，即 ADACsin DCAsin ADC 3 6 2412 3 2 62 ，故 S 四 边 形 ABCD S ABC S ADC 121 3 12 ? ?3 2 62 2 12 6 34 (km2) 答案： 6 34 二、解答题 11.已知在岛 A南偏西 38 方向，距岛 A 3海里的 B处有一艘缉私艇岛A 处的一艘走私船正以 10 海里 /时的速度向岛北偏西 22 方

14、向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？ =【 ;精品教育资源文库 】 = ?参考数据： sin 38 5 314 ， sin 22 3 314 解：如图，设缉私艇在 C 处截住走私船， D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC 0.5x， AC 5 海里，依题意， BAC 180 38 22 120 ， 由余弦定理可得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos 120 ， 所以 BC2 49， BC 0.5x 7，解得 x 14. 又由正弦定理得 sin ABC ACsin BACBC 5 327 5 314 ， 所以 ABC 38 ， 又 BAD 38 ， 所以 BC AD， 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走