1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (二十四） 解三角形的实际应用 练基础小题 强化运算能力 1.如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40 ，灯塔 B 在观察站南偏东 60 ，则灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 _ 解析：由条件及图可知， A CBA 40 ，又 BCD 60 ，所以 CBD 30 ，所以 DBA 10 ，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80. 答案： 80 2如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75 ， 30 ，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC _m. 解析： tan 15
2、 tan(60 45) tan 60 tan 451 tan 60tan 45 2 3， BC 60tan 60 60tan 15 120( 3 1)(m) 答案： 120( 3 1) 3.如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75 的斜坡改造成倾斜角为 30 的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长 _m. 解析：设坡底需加长 x m，由正弦定理得 100sin 30 xsin 45 ，解得x 100 2. 答案： 100 2 4如图，为了测量 A， C 两点间的距离，选取同一平面上 B， D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度 (单位： km)： AB 5， BC 8， CD 3
3、，DA 5，且 B 与 D 互补，则 AC 的长为 _km. 解析： 82 52 285cos( D) 32 52 235cos D， cos D 12. AC 49 7(km) 答案： 7 5如图，已知在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山，山顶设有一个观察站 P，上午 11 时，测得一轮船在海岛北偏东 30 ，俯角为 30 的 B 处，到 11 时 10 分又测得该船在海岛北偏西 60 ，俯角为 60 的 C 处轮船沿 BC 行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的 D 处，此=【 ;精品教育资源文库 】 = 时轮船距海岛 A 有 _千米 解析：由已知可求得 AB 3， AC 33 ， BC
4、303 ，所以 sin ACB 3 1010 ， cos ACB 1010 .在 ACD 中， DAC 90 60 30 ， ACD 180 ACB， sin ADC sin( ACD DAC) sin ACDcos DAC sin DACcos ACD 3 30 1020 ，由正弦定理可求得 AD ACsin ACDsin ADC 9 313 . 答案： 9 313 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1已知 A， B 两地间的距 离为 10 km， B， C 两地间的距离为 20 km，现测得 ABC 120 ，则 A， C 两地间的距离为 _km. 解析：如图所示，由余弦定理可得： A
5、C2 100 40021020cos 120 700， AC 10 7(km) 答案： 10 7 2如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d 0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB 1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 _km/h. 解析：设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知， sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得 ? ?110v 2 ? ?1102 2 12 2 11021 45，解得 v 6 2 km/h. 答案
6、： 6 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 _海里 解析：如图所示，易知，在 ABC 中， AB 20 海里， CAB 30 ， ACB 45 ，根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45 ， 解得 BC 10 2(海里 ) 答案： 10 2 4.(2018 镇江京口区调研 )如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45 方向 60
7、0 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为 _h. 解析：记现在热带风暴中心的位置为点 A， t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置，在 OAB 中， OA 600， AB 20t， OAB 45 ，根据余弦定理得 OB2 6002 400t2260020 t 22 ，令 OB2450 2，即 4t2 120 2t 1 5750 ，解得 30 2 152 t 30 2 152 ，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为 30 2 152 30 2 152 15(h) 答案： 15 5如图
8、，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处出发，沿北偏东 60 方向进行海面巡逻，当航行半小时到达 B 处时，发现北偏西 45 方向有一艘船 C，若船 C 位于 A 的北偏东 30 方向上，则缉私艇所在的 B 处与船 C 的距离是 _km. 解析：由题意，知 BAC 60 30 30 ， ABC 30 45 75 ，则 ACB180 75 30 75 ， AC AB 40 12 20(km)由余弦定理，得 BC2 AC2 AB22AC ABcos BAC 202 202 22020cos 30 800 400 3 400(2 3)， BC 3 3 2 10 2( 3 1)
9、 10( 6 2)km. 答案： 10( 6 2) 6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿点 A 向北偏东 30 前进 100 m到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是 _m. 解析：设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中， BAC 60 ， AC h， AB 100， BC 3h，根据余弦定理得， ( 3h)2 h2=【 ;精品教育资源文库 】 = 1002 2 h100cos 60 ，即 h2 50h 5 000 0，即 (h 50)(h 100) 0
10、，即 h 50，故水柱的高度是 50 m. 答案： 50 7.(2018 常州调研 )如图，在山底 A 点处测得山顶仰角 CAB 45 ，沿倾斜角为 30 的斜坡走 1 000 米至 S 点，又测得山顶仰角 DSB 75 ，则山高 BC 为 _米 解析：由题图知 BAS 45 30 15 ， ABS 45 (90 DSB) 30 ， ASB 135 ，在 ABS 中，由正弦定理可得 1 000sin 30 ABsin 135 ， AB 1 000 2， BC AB2 1 000(米 ) 答案： 1 000 8如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1和 BB1.已知从塔 AA
11、1的底部看塔 BB1顶部的仰角是从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C分别看两塔顶部的仰角互为 余角则从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为_；塔 BB1的高为 _m. 解析：设从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角为 ，则 AA1 60tan ， BB1 60tan 2 . 从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角， A1AC CBB1， AA130 30BB1， AA1 BB1 900， 3 600tan tan 2 900， tan 13， tan 2 34， 则 BB1 60tan 2 45(m) 答案： 13 45 9
12、江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45 和 60 ，而且两条船与炮台底部连线成 30 角，则两条船相距_m. 解析： =【 ;精品教育资源文库 】 = 如图， OM AOtan 45 30(m)， ON AOtan 30 30 33 10 3(m)， 在 MON 中，由余弦定理得， MN 900 300 23010 3 32 300 10 3(m) 答案： 10 3 10.(2018 内蒙古月考 )某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是 _
13、km2. 解析： 如图，连结 AC，由余弦定理可知 AC AB2 BC2 2AB BCcos B 3，故 ACB 90 ， CAB 30 ， DAC DCA 15 ， ADC 150 ， ACsin ADC ADsin DCA，即 ADACsin DCAsin ADC 3 6 2412 3 2 62 ，故 S 四 边 形 ABCD S ABC S ADC 121 3 12 ? ?3 2 62 2 12 6 34 (km2) 答案： 6 34 二、解答题 11.已知在岛 A南偏西 38 方向，距岛 A 3海里的 B处有一艘缉私艇岛A 处的一艘走私船正以 10 海里 /时的速度向岛北偏西 22 方
14、向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？ =【 ;精品教育资源文库 】 = ?参考数据： sin 38 5 314 ， sin 22 3 314 解：如图，设缉私艇在 C 处截住走私船， D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC 0.5x， AC 5 海里，依题意， BAC 180 38 22 120 ， 由余弦定理可得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos 120 ， 所以 BC2 49， BC 0.5x 7，解得 x 14. 又由正弦定理得 sin ABC ACsin BACBC 5 327 5 314 ， 所以 ABC 38 ， 又 BAD 38 ， 所以 BC AD， 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走
