1、第7讲数学归纳法,1.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可.2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等.,解析：观察数列的通项公式，可得分母 n，n1，n2，n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列，项数为n2n1.故选 D.,答案：D,答案：C,3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形有对角线数,f(n1)为(,),B.f(n)nD.f(n)n2,A.f(n)n1C.f(n)n1,C,上述证法(,),A.过程全都正确C.归纳假设不正确,B
2、.n1 验得不正确D.从 nk 到 nk1 的推理不正确,故当 nk1 时，不等式成立.,解析：上述证明过程中，在由 nk 变化到 nk1 时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设.故选 D.,答案：D,考点 1,用数学归纳法证明恒等式命题,所以当 nk1 时，等式也成立.由(1)(2)可知，对于一切 nN*等式都成立.,【规律方法】(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不
3、利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.,【互动探究】,(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即有,所以当 nk1 时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立.,考点 2,用数学归纳法证明不等式命题,例 2：(2016 年山东潍坊模拟)等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0，且b1，b，r 均为常数)的图象上.(1)求 r 的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*).证明：对任意的,(1)解：由题意， Snbnr，,r1.,当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1).因为b0，且b1，所以当n2时，a
4、n是以b为公比的等比数列.,【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法,不容易证，则可考虑应用数学归纳法.,用数学归纳法证明不等式的关键是由nk 成立，推证nk1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明方法.,【互动探究】,2.(2012 年大纲)函数 f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标.,(1)证明：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式.,即2xk13也成立.综上可知2xn3对任意正整数恒成
5、立.下面证明xnxn1：,由2xn0，即xnxn1.综上可知2xnxn13恒成立.,考点 3,用数学归纳法证明整除性命题,例 3：试证：当 n 为正整数时， f(n)32n28n9能被 64整除.证明：方法一，(1)当 n1 时， f(1)348964，命题显然成立.,(2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除.,32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，当nk1时命题也成立.根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立.,方法二，(1)当n1时，f(1)348964
6、，命题显然成立.(2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除.由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入f(k1)中，得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，故当nk1时命题成立.根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立.,【互动探究】,3.求证：二项式x2ny2n(nN*)能被xy整除.,证明：(1)当 n1 时，,x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，命题成立.(2)假设当nk(k1，kN*)时，x2ky2k能被xy整除，则当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2k,x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)，显然x2k2y2k2能被xy整除，即当nk1时命题成立.由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立.,
