1、第7讲数学归纳法,1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可.2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等.,解析:观察数列的通项公式,可得分母 n,n1,n2,n2构成以n为首项,以1为公差的等差数列,项数为n2n1.故选 D.,答案:D,答案:C,3.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n1 边形有对角线数,f(n1)为(,),B.f(n)nD.f(n)n2,A.f(n)n1C.f(n)n1,C,上述证法(,),A.过程全都正确C.归纳假设不正确,B
2、.n1 验得不正确D.从 nk 到 nk1 的推理不正确,故当 nk1 时,不等式成立.,解析:上述证明过程中,在由 nk 变化到 nk1 时,不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设.故选 D.,答案:D,考点 1,用数学归纳法证明恒等式命题,所以当 nk1 时,等式也成立.由(1)(2)可知,对于一切 nN*等式都成立.,【规律方法】(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由nk时等式成立,推出nk1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程,不
3、利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.,【互动探究】,(2)假设当nk(kN*)时等式成立,即有,所以当 nk1 时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切nN*等式都成立.,考点 2,用数学归纳法证明不等式命题,例 2:(2016 年山东潍坊模拟)等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数ybxr(b0,且b1,b,r 均为常数)的图象上.(1)求 r 的值;(2)当b2时,记bn2(log2an1)(nN*).证明:对任意的,(1)解:由题意, Snbnr,,r1.,当n2时,Sn1bn1r,所以anSnSn1bn1(b1).因为b0,且b1,所以当n2时,a
4、n是以b为公比的等比数列.,【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题:当遇到与正整数n 有关的不等式证明时,应用其他办法,不容易证,则可考虑应用数学归纳法.,用数学归纳法证明不等式的关键是由nk 成立,推证nk1 时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明方法.,【互动探究】,2.(2012 年大纲)函数 f(x)x22x3.定义数列xn如下:x12,xn1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标.,(1)证明:2xnxn13;(2)求数列xn的通项公式.,即2xk13也成立.综上可知2xn3对任意正整数恒成
5、立.下面证明xnxn1:,由2xn0,即xnxn1.综上可知2xnxn13恒成立.,考点 3,用数学归纳法证明整除性命题,例 3:试证:当 n 为正整数时, f(n)32n28n9能被 64整除.证明:方法一,(1)当 n1 时, f(1)348964,命题显然成立.,(2)假设当nk(k1,kN*)时,f(k)32k28k9能被64整除.,32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1),即f(k1)9f(k)64(k1),当nk1时命题也成立.根据(1)(2)可知,对任意的nN*,命题都成立.,方法二,(1)当n1时,f(1)348964
6、,命题显然成立.(2)假设当nk(k1,kN*)时,f(k)32k28k9能被64整除.由归纳假设,设32k28k964m(m为大于1的自然数),将32k264m8k9代入f(k1)中,得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1),故当nk1时命题成立.根据(1)(2)可知,对任意的nN*,命题都成立.,【互动探究】,3.求证:二项式x2ny2n(nN*)能被xy整除.,证明:(1)当 n1 时,,x2y2(xy)(xy),能被xy整除,命题成立.(2)假设当nk(k1,kN*)时,x2ky2k能被xy整除,则当nk1时,x2k2y2k2x2x2ky2y2k,x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2),显然x2k2y2k2能被xy整除,即当nk1时命题成立.由(1)(2)知,对任意的正整数n命题均成立.,