1、几何最值之胡不归知识精讲从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了两点之间线段最短，虽然从他此刻位置 A 到家 B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时， 老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得， 若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A 在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DGAE于
2、点G，则，将转化为DGDB，再过点B作BHAE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DGDB的最小值为BH，所需时间的最小值为，少年想要尽快回家，应沿着驿道到达点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面. 解决此类问题的一般方法：第一步：将所求的线段和改写成的形式；第二步：构造一个角，使得；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值； 第四步：计算.例 1：如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB2，求 APBPCP 的最小值.例 2：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，COD 关于 CD 的对称图形为CE
3、D.（1） 求证：四边形 OCED是菱形；（2） 连接AE，若AB6，.求 sinEAD 的值；若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连结OP，一动点Q从点O出发，以1个单位每秒的速度沿线段 OP 匀速运动到点 P，再以 1.5 个单位每秒的速度沿线段 PA 匀速运动到点 A，到达点 A 后停止运动， 当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间最短时，求 AP 的长和点 Q 走完全程所需的时间.习题练习1如图，在RtABC中，C90，BAC60，BC20cm，E是BAC平分线AD上一点现有一动点P沿着折线AEC运动，在AE上的速度是每秒4cm，在EC上的速度是每秒2cm，则点P从点A到
4、点C的运动过程至少需 s2如图在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（）AB5C3D53ABC中，A90，B60，AB2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（）A4B+3C6D2+34如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为（）A4B5C2D35如图，在长方形ABCD中，对角线BD6，ABD60将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得BED，点M是线段BD上一点则EM+BM的最小值为 6 如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线
5、段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是 7如图，平行四边形ABCD，ABAD，AD4，ADB60，点E、F为对角线BD上的动点，DE2BF，连接AE、CF，则AE+2CF的最小值为 8如图，抛物线yx26x+7交x轴于A，B两点（点A在点B右侧），交y轴于点C，直线yx+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）（1）求A，B两点的坐标；（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；（3）连接BC，当AOM与ABC相似时，求出点M的坐标9如图，已知抛物线y（x+2）（x4）（k为常数，且k0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx+b与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
