1、几何最值之胡不归知识精讲从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家。由于着急只考虑到了两点之间线段最短,虽然从他此刻位置 A 到家 B 之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时, 老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着胡不归?胡不归?看到这里很多人都会有一个疑问,少年究竟能不能提前到家呢?假设可以提早到家,那么他该选择怎样的一条路线呢?这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化,我们不妨设总时间为,则,由可得,提取一个得, 若想总的时间最少,就要使得最小,如图,过定点A 在驿道下方作射线AE,夹角为,且,作DGAE于
2、点G,则,将转化为DGDB,再过点B作BHAE于点H,交驿道所在直线于点,则就是我们要找的点,此时DGDB的最小值为BH,所需时间的最小值为,少年想要尽快回家,应沿着驿道到达点之后,再沿着B路线回家,或许还能见到父亲的最后一面. 解决此类问题的一般方法:第一步:将所求的线段和改写成的形式;第二步:构造一个角,使得;第三步:过目的地作所构造的角的一边的垂线,该垂线段的长度就是所求的最小值; 第四步:计算.例 1:如图,P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点,若 AB2,求 APBPCP 的最小值.例 2:如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,COD 关于 CD 的对称图形为CE
3、D.(1) 求证:四边形 OCED是菱形;(2) 连接AE,若AB6,.求 sinEAD 的值;若点P为线段AE上一动点(不与点A重合),连结OP,一动点Q从点O出发,以1个单位每秒的速度沿线段 OP 匀速运动到点 P,再以 1.5 个单位每秒的速度沿线段 PA 匀速运动到点 A,到达点 A 后停止运动, 当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间最短时,求 AP 的长和点 Q 走完全程所需的时间.习题练习1如图,在RtABC中,C90,BAC60,BC20cm,E是BAC平分线AD上一点现有一动点P沿着折线AEC运动,在AE上的速度是每秒4cm,在EC上的速度是每秒2cm,则点P从点A到
4、点C的运动过程至少需 s2如图在平面直角坐标系xOy中,点A坐标为(0,3),点C坐标为(2,0),点B为线段OA上一个动点,则AB+BC的最小值为()AB5C3D53ABC中,A90,B60,AB2,若点D是BC边上的动点,则2AD+DC的最小值为()A4B+3C6D2+34如图所示,菱形ABCO的边长为5,对角线OB的长为4,P为OB上一动点,则AP+OP的最小值为()A4B5C2D35如图,在长方形ABCD中,对角线BD6,ABD60将长方形ABCD沿对角线BD折叠,得BED,点M是线段BD上一点则EM+BM的最小值为 6 如图,ABC中,ABAC10,tanA2,BEAC于点E,D是线
5、段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是 7如图,平行四边形ABCD,ABAD,AD4,ADB60,点E、F为对角线BD上的动点,DE2BF,连接AE、CF,则AE+2CF的最小值为 8如图,抛物线yx26x+7交x轴于A,B两点(点A在点B右侧),交y轴于点C,直线yx+7经过点A、C,点M是线段AC上的一动点(不与点A,C重合)(1)求A,B两点的坐标;(2)当点P,C关于抛物线的对称轴对称时,求PM+AM的最小值及此时点M的坐标;(3)连接BC,当AOM与ABC相似时,求出点M的坐标9如图,已知抛物线y(x+2)(x4)(k为常数,且k0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线yx+b与抛物线的另一交点为D(1)若点D的横坐标为5,求抛物线的函数表达式;(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与ABC相似,求k的值;(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?