人教A版高中数学必修三《7.1.2全概率公式》教案.docx

1、7.1.2全概率公式 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第七章随机变量及其分布列，本节课主本节课主要学习全概率公式 学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型、几何概型）已经有所了解。刚刚学习了条件概率，乘法公式和全概率公式是计算较为复杂概率问题的有力工具。公式的理解重在在具体的问题情境中进行运用。同时注意运用集合的观点理解公式。 课程目标学科素养A.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程;B.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;C.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用.1.数学抽象：全概率公式2.逻辑推理：从

2、特殊到一般的思想方法3.数学运算：运用全概率公式求事件概率4.数学建模：将相关问题转化为对应概率模型重点：会用全概率公式计算概率.难点：理解全概率公式 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 问题导学 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题.二、 新知探究问题1.从有 a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为aa+b.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？用 Ri表示事件“第i次摸到红球”,Bi

3、表示事件“第i次摸到蓝球”,i=1,2.事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式,得P(R2)=P(R1R2B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)=aa+ba-1a+b-1+ba+baa+b-1=aa+bP(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1) 按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。一般地,设A1,A2,An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i

4、1,2，n，则对任意的事件B，有我们称上面的公式为全概率公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)三、典例解析例1. 某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解。解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”, A2=“第2天去A餐厅用餐

5、”,则=A1B1,且A1与B1互斥,根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8,由全概率公式,得P(A2)= P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1)=0.50.6+0.50.8=0.7因此,王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7.对全概率公式的理解某一事件A的发生可能有各种的原因，如果A是由原因Bi (i1,2，n) 所引起，则A发生的概率是P(ABi)P(Bi)P(A |Bi)，每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个

6、原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.分析:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),如图所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率

7、公式可以计算出事件B的概率.解：设B=“任取一个零件为次品”, Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则=A1A2A3,且A1,A2,A3两两互斥,根据题意得P(A1)=0.25, P(A2)=0.3, P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06, P(B|A2)= P(B|A3)=0.05.(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =0.250.06+0.30.05+0.450.05=0.0525(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件

8、Ai发生的概率.P(A1|B)=P(A1B)P(B)= P(A1)P(B|A1)P(B)=0.250.060.0525=27同理可得P(A2|B)=27； P(A3|B)=37问题2：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？ 𝑷(𝑨𝒊)是试验之前就已知的概率,它是第𝒊台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率。当已知抽到的零件是次品(𝑩发生),𝑷(𝑨𝒊|𝑩)是这件次品来自第𝒊台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率。如果对加工

9、的次品,要求操作员承担相应的责任,那么 27,27, 37就分别是第𝟏,𝟐,𝟑台车床操作员应承担的份额。*贝叶斯公式：例6:在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；*(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.分析:设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”.为便于求解,我们可将目中所

10、包含的各种信息用图直观表示。发送0(A)发送1(A)接收0(B)接收1(B)PB|A=0.9PB|A=0.1PB|A=0.95PB|A=0.05解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则A=“发送的信号为1”，B=“接收到的信号为1”.由题意得(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.50.9+0.50.05=0.475;P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525.P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95.(2)P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=0.55-0.0

11、50.475=119若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.跟踪训练1某人去某地参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别为0.2,0.1,0.3,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车去，迟到的概率分别为，和，乘飞机不会迟到结果他迟到了，求他乘汽车去的概率 解设A“迟到”，B1“乘火车

12、”，B2“乘轮船”，B3“乘汽车”，B4“乘飞机”，根据题意，有P(B1)0.2，P(B2)0.1，P(B3)0.3，P(B4)0.4，P(A|B1)，P(A|B2)，P(A|B3)，P(A|B4)0，由贝叶斯公式，有P(B3|A)0.5.开门见山，提出问题.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而建立全概率的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。让学生亲身经历了从特殊到一般，获得全概率概念的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过概念辨析，让学生深化对全概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核

13、心素养。通过概念辨析，让学生深化对全概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为 ()A.0.625B.0.75C.0.5D.0【解析】选A.用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，用表示“考生不知道正确答案”，则P(B)=0.5，P()=0.5，P(A|B)=100%，P(A|)=0.25，则P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=10.5+

14、0.250.5=0.625.2.某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为_.【解析】设B表示“该小组比赛中射中目标”，Ai(i=1，2，3，4)表示“选i级射手参加比赛”，则P(B)= P(Ai)P(B|Ai)= 2200.85+ 620 0.64+ 9200.45+ 3200.32=0.527 5.答案：0.527 53.两批相同的产品各有12件和10件，每批产品中各有1件废品，现在先从第1批产品中任取1件放

15、入第2批中，然后从第2批中任取1件，则取到废品的概率为_.【解析】设A表示“取到废品”，B表示“从第1批中取到废品”，有P(B)= ，P(A|B)= 211 ，P(A| )= 111所以P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| )4有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解设事件 B 为“任取一件为次品”，事件111 ，Ai为“任取一件为i厂的产品”，i1,2,3.A1A2A3，AiAj，i，j1,2,3.由全概率公式得P(B

16、)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)P(A1)0.3，P(A2)0.5，P(A3)0.2，P(B|A1)0.02，P(B|A2)0.01，P(B|A3)0.01，故P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.020.30.010.50.010.20.013.5.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的

17、概率；(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？【解析】设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1，2，3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.则B1，B2，B3是样本空间的一个划分，且P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05，P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03.(1) 由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.012 5.(2)该元件来自制造厂1的概率为：P(B1|A) 该元件来自制造

18、厂2的概率为：P(B2|A)= 该元件来自制造厂3的概率为：P(B3|A)= 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结条件概率P(B|A)乘法定理全概率公式P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)贝叶斯公式P(Bi|A)，i1,2，n.五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。