人教A版高中数学必修三《7.1.2全概率公式》教案.docx下载_163文库

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1、7.1.2全概率公式本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第七章随机变量及其分布列，本节课主本节课主要学习全概率公式学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型、几何概型）已经有所了解。刚刚学习了条件概率，乘法公式和全概率公式是计算较为复杂概率问题的有力工具。公式的理解重在在具体的问题情境中进行运用。同时注意运用集合的观点理解公式。课程目标学科素养A.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程;B.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;C.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用.1.数学抽象：全概率公式2.逻辑推理：从

2、特殊到一般的思想方法3.数学运算：运用全概率公式求事件概率4.数学建模：将相关问题转化为对应概率模型重点：会用全概率公式计算概率.难点：理解全概率公式多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、问题导学在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题.二、新知探究问题1.从有 a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为aa+b.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？用 Ri表示事件“第i次摸到红球”,Bi

3、表示事件“第i次摸到蓝球”,i=1,2.事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式,得P(R2)=P(R1R2B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)=aa+ba-1a+b-1+ba+baa+b-1=aa+bP(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1) 按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。一般地,设A1,A2,An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i

4、1,2，n，则对任意的事件B，有我们称上面的公式为全概率公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)三、典例解析例1. 某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解。解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”, A2=“第2天去A餐厅用餐

5、”,则=A1B1,且A1与B1互斥,根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8,由全概率公式,得P(A2)= P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1)=0.50.6+0.50.8=0.7因此,王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7.对全概率公式的理解某一事件A的发生可能有各种的原因，如果A是由原因Bi (i1,2，n) 所引起，则A发生的概率是P(ABi)P(Bi)P(A |Bi)，每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个

6、原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.分析:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),如图所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率

7、公式可以计算出事件B的概率.解：设B=“任取一个零件为次品”, Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则=A1A2A3,且A1,A2,A3两两互斥,根据题意得P(A1)=0.25, P(A2)=0.3, P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06, P(B|A2)= P(B|A3)=0.05.(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =0.250.06+0.30.05+0.450.05=0.0525(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件

9、的次品,要求操作员承担相应的责任,那么 27,27, 37就分别是第𝟏,𝟐,𝟑台车床操作员应承担的份额。*贝叶斯公式：例6:在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；*(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.分析:设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”.为便于求解,我们可将目中所

10、包含的各种信息用图直观表示。发送0(A)发送1(A)接收0(B)接收1(B)PB|A=0.9PB|A=0.1PB|A=0.95PB|A=0.05解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则A=“发送的信号为1”，B=“接收到的信号为1”.由题意得(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.50.9+0.50.05=0.475;P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525.P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95.(2)P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=0.55-0.0

11、50.475=119若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.跟踪训练1某人去某地参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别为0.2,0.1,0.3,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车去，迟到的概率分别为，和，乘飞机不会迟到结果他迟到了，求他乘汽车去的概率解设A“迟到”，B1“乘火车

12、”，B2“乘轮船”，B3“乘汽车”，B4“乘飞机”，根据题意，有P(B1)0.2，P(B2)0.1，P(B3)0.3，P(B4)0.4，P(A|B1)，P(A|B2)，P(A|B3)，P(A|B4)0，由贝叶斯公式，有P(B3|A)0.5.开门见山，提出问题.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而建立全概率的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。让学生亲身经历了从特殊到一般，获得全概率概念的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过概念辨析，让学生深化对全概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核

13、心素养。通过概念辨析，让学生深化对全概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为 ()A.0.625B.0.75C.0.5D.0【解析】选A.用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，用表示“考生不知道正确答案”，则P(B)=0.5，P()=0.5，P(A|B)=100%，P(A|)=0.25，则P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=10.5+

14、0.250.5=0.625.2.某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为_.【解析】设B表示“该小组比赛中射中目标”，Ai(i=1，2，3，4)表示“选i级射手参加比赛”，则P(B)= P(Ai)P(B|Ai)= 2200.85+ 620 0.64+ 9200.45+ 3200.32=0.527 5.答案：0.527 53.两批相同的产品各有12件和10件，每批产品中各有1件废品，现在先从第1批产品中任取1件放

15、入第2批中，然后从第2批中任取1件，则取到废品的概率为_.【解析】设A表示“取到废品”，B表示“从第1批中取到废品”，有P(B)= ，P(A|B)= 211 ，P(A| )= 111所以P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| )4有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解设事件 B 为“任取一件为次品”，事件111 ，Ai为“任取一件为i厂的产品”，i1,2,3.A1A2A3，AiAj，i，j1,2,3.由全概率公式得P(B

18、厂2的概率为：P(B2|A)= 该元件来自制造厂3的概率为：P(B3|A)= 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结条件概率P(B|A)乘法定理全概率公式P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)贝叶斯公式P(Bi|A)，i1,2，n.五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。

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