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6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学习目标1通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理2能说出分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义3能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题核心素养1通过两个计数原理的学习，提升逻辑推理素养2借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，培养数学运算素养3通过合理地分类或分步解决实际问题，提升逻辑推理的素养.知识点 1分类加法计数原理提醒：定义中各种方案之间相互独立，任何一类方案中任何一种方法也相互独立想一想：若完成一件事情有n类不同的方案，在第 1 类方案中有m1种不同的方法，在第 2类方案中有m2种不同的方法在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？提示：共有m1m2mn种不同的方法练一练：思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有 3 班，轮船每天有 4班若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有 7 种()(4)某校高一年级共 8 个班，高二年级共 6 个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有 14 种()知识点 2分步乘法计数原理想一想：完成一件事需要n个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？提示：共有m1m2mn种不同的方法练一练：思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()(3)已知x2,3,7，y3，4,8，则xy可表示不同的值的个数为 9.()(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种()知识点 3分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理联系都是用来计算完成一件事的方法种数区别一针对的是“分类完成问题”针对的是“分步完成问题”区别二各种方法相互独立各个步骤中的方法相互连续区别三任何一种方法都可以做完这件事只有各个步骤都完成才算做完这件事想一想：如何判断一个计数原理为分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示：分类加法计数原理每一类中的方法可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情练一练：如图，从ABC有_4_种不同的走法；从AC有_6_种不同的走法解析ABC分两步：第一步，AB，有 2 种走法；第二步，BC，有 2 种走法所以ABC共有 224(种)走法AC分两类：第一类，ABC共有 4 种走法；第二类，AC(不经过B)有 2 种走法所以AC共有 426(种)走法题型探究题型一分类加法计数原理典例 1(1)如图所示为一个电路图，若只合上一个开关，可通电的线路共有(B)A6 条 B5 条 C9 条 D4 条(2)某学生去书店，发现 3 本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有(C)A3 种 B5 种 C7 种 D9 种(3)有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名 学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有_6_种解析(1)可分为两类：从上面有 3 条；从下面有 2 条由分类加法计数原理知，通电的线路共有 325(条)(2)分三类：买 1 本、买 2 本或买 3 本，各类购买方式依次有 3 种、3 种、1 种，故购买方式共有 3317(种)(3)三项体育运动项目，每个项目设冠军和亚军各一名，即每个项目可有 2 个奖项由分类加法计数原理，学生甲获奖的不同情况有 2226(种)规律方法应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事对点训练(1)为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生 38 人和女生 18 人中选取 1 名学生作代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有 56种(2)某校开设物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理 6 门选修课，甲同学需从中选修3 门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数为_16_.(用数字填写答案)解析(1)完成这件事需要分两类完成：第一类：选 1 名男生，有 38 种选法；第二类：选 1 名女生，有 18 种选法，根据分类加法计数原理，共有N381856(种)不同的选法(2)可分为 3 类，第 1 类，只选化学不选生物学，需再从物理、思想政治、历史、地理中选择 2 门，有 6 种选法；第 2 类，只选生物学不选化学，同样也有 6 种选法；第 3 类，化学和生物学都选，需再从其他 4 门中选择 1 门，有 4 种选法，所以共有 66416 种选法题型二分步乘法计数原理典例 2由 0,1,2,3 这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？分析(1)数字各不相同，且百位上的数字不可为 0；(2)数字可以重复，但百位上的数字不可为 0.解析(1)分三步完成第一步：排百位，1,2,3 三个数字都可以，有 3 种不同的方法；第二步：排十位，除百位上已用的，其余三个数字都可以，有 3 种不同的方法；第三步：排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数字都可以，有 2 种不同的方法故可组成无重复数字的三位数共 33218(个)(2)分三步完成第一步：排百位，1,2,3 这三个数字都可以，有 3 种不同的方法；第二步：排十位，0,1,2,3 这四个数字都可以，有 4 种不同的方法；第三步：排个位，0,1,2,3 这四个数字都可以，有 4 种不同的方法故可组成可以有重复数字的三位数共 34448(个)规律方法利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步(2)计数：逐一求出每一步中的方法数(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果对点训练(1)现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(A)A56 B65 C30 D11(2)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如 22,121,3443,94249 等显然2 位回文数有 9 个：11,22,33，99；3 位回文数有 90 个 101,111,121，191,202，999.则 5 位回文数有 900个解析(1)第一名同学有 5 种选择方法，第二名也有 5 种选择方法，依次，第六名同学有 5 种选择方法，综上，6 名同学共有 56种不同的选法(2)第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相同，有 9 种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字相同，有 10 种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个数字，有 10 种选法，故 5 位回文数有 910 10900，故答案为 900.题型三两个计数原理的综合应用典例 3现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解析(1)分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法根据分类加法计数原理知共有 52714(种)不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种、2 种、7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有 52770(种)不同的选法(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有 5210 种不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5735(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2714(种)不同的选法，所以有 10351459(种)不同的选法规律方法利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情 其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”对点训练 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由 2 个顶点确定的直线与含有 4 个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(B)A60 B48 C36 D24解析长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6636(个)，另外含 4 个顶点的 6个面(非表面)构成的“平行线面组”有 6212(个)，所以共有 361248(个)“平行线面组”题型四用计数原理解决涂色(种植)问题典例 4如图所示，要给A，B，C，D四个区域分别涂上三种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？解析A，B，C，D四个区域依次涂色，分 4 步第 1 步，涂A区域，有 3 种选择；第 2 步，涂B区域，有 2 种选择；第 3 步，涂C区域，它与A，B区域颜色不同，有 1 种选择；第 4 步，涂D区域，它与A，C区域颜色不同，有 1 种选择所以根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有 32116(种)规律方法涂色问题的两种解决方案：(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算若图形不是很规则，往往从某一区域开始进行涂色，选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步(2)首先根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理然后在每一类的涂色方案的计算上需用到分步乘法计数原理最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题对点训练 将 3 种农作物全部种植在如图所示的 5 块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有 42种解析分别用a，b，c代表 3 种农作物，将试验田从左到右依次编号为.先种号田，有 3 种种植方法，不妨设种植a.再种号田，可种植b或c，有 2 种种植方法，不妨设种植b.若号田种植c，则号田分别有 2 种种植方法，则不同的种植方法共有 224(种)若号田种植a，则号田可种植上b或c.(1)若号田种植c，则号田有 2 种种植方法；(2)若号田种植b，则号田只能种植c，有 1 种种植方法综上所述，不同的种植方法共有 32(421)42(种)易错警示分步标准不清致错典例 5甲、乙、丙、丁 4 名同学争夺数学、物理、化学 3 门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有 1 名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有 64种错解分四步完成这件事第一步，第 1 名同学去夺 3 门学科的冠军，有可能 1 个也没获得，也可能获得 1 个或 2 个或 3 个，因此，共有 4 种不同情况同理，第二、三、四步分别由其他 3 名同学去夺这 3 门学科的冠军，都各自有 4 种不同情况由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有 4444256(种)辨析用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据本题中要完成的“一件事”是“争夺 3 门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有 1 名冠军产生”，而错解中可能出现某一学科冠军被 2 人、3 人甚至 4 人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况正解由题知，研究的对象是“3 门学科”，只有 3 门学科各产生 1 名冠军，才算完成了这件事，而 4 名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步第一步，产生第 1 个学科冠军，它一定被其中 1 名同学获得，有 4 种不同的获得情况；第二步，产生第 2 个学科冠军，因为夺得第 1 个学科冠军的同学还可以去争夺第 2 个学科的冠军，所以第 2 个学科冠军也是由 4 名同学去争夺，有 4 种不同的获得情况；第三步，同理，产生第 3 个学科冠军也有 4 种不同的获得情况由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有 444 64(种)1已知集合M2,3，N4,5,6，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是(A)A4 B5 C6 D7解析由集合M中的元素作为点P的横坐标，集合N中的元素作为点P的纵坐标，在第一象限的点P共有 2 个，在第二象限的点P共有 2 个，由分类加法计数原理可得点P的个数为 224.2将 3 张不同的演唱会门票分给 10 名同学中的 3 人，每人 1 张，则不同分法的种数是(B)A2 160 B720 C240 D120解析第 1 张有 10 种分法，第 2 张有 9 种分法，第 3 张有 8 种分法，根据分步乘法计数原理得，共有 1098720 种分法3现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(D)A24 种 B30 种 C36 种 D48 种解析由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有 4 种结果，再给中间左边一块着色，有 3 种结果，再给中间右边一块着色有 2 种结果，最后给下面一块着色，有 2 种结果，根据分步乘法计数原理知共有 432248(种)结果4跳格游戏：如图所示，人从格外只能进入第 1 格：在格中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格外跳到第 6 格可以有_8_种办法解析每次向前跳 1 格，共跳 6 次，有唯一的跳法；仅有一次跳 2 格，其余每次向前跳 1格，共跳 5 次，有 4 种的跳法；有两次跳 2 格，其余每次向前跳 1 格，共跳 4 次，有 3 种的跳法则共有 1438 种故答案为 8.6.2.1排列6.2.1排列6.2.2排列数6.2.2排列数 学习目标1通过实例，理解排列、排列数的概念2能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式进行相关计算3能运用排列知识解决一些有关排列的简单实际问题核心素养1通过学习排列的概念及排列数公式，培养数学抽象素养2借助排列数公式进行计算，提升数学运算素养.知识点 1排列的概念(1)一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照 一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)特别地，mn时的排列(即 取出所有元素的排列)称为全排列想一想：两个排列相同的条件是什么？提示：两个排列相同则应具备排列的元素及排列的顺序均相同练一练：思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题()(4)从 3,5,7,9 中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题()(5)从 1,2,3,4 中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题()知识点 2排列数及排列数公式排列数的定义从n个不同元素中取出m个元素的 所有排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数的表示 Am n(m，nN N*，mn)乘积式Am n n(n1)(n2)(nm1)排列数公式阶乘式Am nn！(nm)！阶乘An n n(n1)(n2)21 n！规定0！1，A0n 1性质Am nmAm1n Amn1想一想：排列与排列数的区别是什么？提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m，n都是正整数，mn)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数如从a，b，c中任取两个元素的排列有以下 6 种形式：ab,ac,ba,bc,ca,cb，这里每一种形式都是一个排列，而排列数则是 6.练一练：(1)A4 5_120_.(用数字表示)(2)12345678_A8 8_.(用排列数表示)解析(1)A4 55432120.(2)最大的数为 8 共 8 个因式，所以可表示为 A8 8.题型探究题型一排列的概念典例 1判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；(3)选 2 个小组去种菜；(4)选 10 人组成一个学习小组；(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班 40 名学生在假期相互通信分析判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题解析(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题规律方法1.解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”2判断一个具体问题是不是排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题对点训练 判断下列问题是不是排列问题(1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解析(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排到问题(2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题题型二排列数的计算公式典例 2(1)计算 A3 15和 A6 6；(2)1817161211 等于(A)AA8 18 BA9 18 CA1018 DA1118(3)设xN N*，且x15，则(x2)(x3)(x4)(x15)可化简为(B)AA13x2 BA14x2CA13x15 DA14x15分析(1)直接用排列数公式计算；(2)(3)用排列数公式的定义解答即可解析(1)A3 151514132 730，A6 6654321720.(2)181716121118！10！18！(188)！A8 18.故选 A(3)先确定最大数，即n，再确定因式的个数，即m，易知nx2，m(x2)(x15)114，所以原式A14x2.故选 B.规律方法排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列对象的总个数，而正整数(因式)的个数是选取对象的个数，这是排列数公式的逆用(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量对点训练(1)已知 Am n1110985，则mn为 18；(2)计算：A6 7A5 6A5 5 36.解析(1)因为 Am n1110985，所以n11，m(115)17，mn18.(2)A6 7765432，A5 665432，A4 55432，所以A6 7A5 6A5 576636.题型三排列与排列数公式的简单应用典例 3(1)有 7 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？(2)有 7 种不同的书(每种不少于 3 本)，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？分析(1)从 7 本不同的书中选出 3 本送给 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从 7 种不同的书中任选 1 本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算解析(1)从 7 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，相当于从 7 个元素中任取 3 个元素的一个排列，所以共有 A3 7765 210(种)不同的送法(2)从 7 种不同的书中买 3 本书，这 3 本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有 777343(种)不同的送法规律方法(1)没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可(2)典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；排列指从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，由排列的概念可知排列问题中元素不能重复选取对点训练 将 4 名医生与 4 名护士分配到四个不同单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？解析完成这件事可以分为两步第一步：把 4 名医生分配到四个不同的单位，等价于从 4 个不同元素中取出 4 个元素的排列问题，有 A4 4种方法第二步：把 4 名护士分配到四个不同的单位，也有 A4 4种方法根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有 A4 4A4 4576 种易错警示忽视排列数公式的隐含条件致误典例 4解不等式 Ax86Ax28.错解由排列数公式得8！(8x)！68！(10 x)！，化简得x219x840，解之得7x0,8x，导致错误正解由 Ax86Ax28，得8！(8x)！68！(10 x)！，化简得x219x840，解之得 7x12，又Error!Error!2x8，由及xN N*得x8.点评注意公式的适用条件数学中有好多公式、定理、法则等都是有限制条件的，如在排列数公式 Am n中，m，nN N*，nm，忽视限制条件就可能导致错误1(多选)已知下列问题，其中是排列问题的有(AD)A从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组B从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动C从a，b，c，d四个字母中取出 2 个字母D从 1,2,3,4 四个数字中取出 2 个数字组成一个两位数解析A 是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；B 不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C 不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D 是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列2456(n1)n等于(D)AA4n BAn4n Cn！4!DAn3n解析456(n1)n中共有n41n3(个)因式，最大数为n，最小数为 4，故 456(n1)nAn3n.3不等式 A2n1n7 的解集为(C)An|1n5 B1,2,3,4C3,4 D4解析由 A2n1n7，得(n1)(n2)n7，即1n5，又因为nN N*且n12，所以n3,4.故选 C.4从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成 12个以b为首的不同排列，它们分别是 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.解析画出树状图如下：可知共 12 个，它们分别为bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.6.2.3组合6.2.3组合6.2.4组合数6.2.4组合数 学习目标1通过实例，理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系2能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明3能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力核心素养1通过学习组合与组合数的概念，提升数学抽象素养2借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算素养.知识点 1组合的定义从n个不同元素中取出m(nm)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合想一想：组合概念中的两个要点是什么？提示：(1)取出的元素是不同的(2)“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质练一练：(多选)下列选项是组合问题的是(BD)A从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名同学，有多少种不同的选法C3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D3 本相同的书分给 4 名同学，每人最多得一本，有多少种分配方法解析A、C 与顺序有关，是排列问题，B、D 与顺序无关，是组合问题知识点 2组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有 不同组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法 Cm n组合数公式乘积式Cm nAm nAm m n(n1)(n2)(nm1)m！组合数公式阶乘式Cm n n！m！(nm)！性质Cm n Cnmn，Cmn1 Cm nCm1n备注n，mN N*且mn，规定：C0n1想一想：组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？提示：第一个性质中，若mn2，通常不直接计算 Cm n，而改为计算 Cnmn，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用练一练：1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是 C2 3.()(2)从a，b，c，d中选取 2 个合成一组，其中a，b与b，a是同一个组合()(3)“从 3 个不同元素中取出 2 个合成一组”，叫做“从 3 个不同元素中取出 2 个的组合数”()(4)组合和排列一样，都与“顺序”有关()2从 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛，有_84_种不同的选法解析只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C3 99 8 73 2 184(种)选法3(1)C2 6_15_；(2)C1718_18_.解析(1)C2 66 5215.(2)C1718C1 1818.题型探究题型一组合的概念典例 1下列问题不是组合问题的是(D)A从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？B平面上有 2 016 个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C集合a1，a2，a3，an含有三个元素的子集有多少个？D从高三(19)班的 54 名学生中选出 2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？分析区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的元素是否有顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题解析组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，D 选项中，选出的 2 名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱，乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选 D.规律方法判断一个问题是不是组合问题的方法技巧(1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来对点训练 已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出 3 个元素的所有组合解析方法一：可按ABACADBCBDCD的顺序写出，即所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.方法二：画出树形图，如图所示所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.题型二组合数公式的应用典例 2(1)式子n(n1)(n2)(n100)100！可表示为(D)AA100n100 BC100n100C100C100n100 D101C101n100(2)(多选)下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是(ABD)A(n1)Am nAm1n1BmCm nnCm1n1CCm nAm nn！D1nmAm1nAm n分析根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明解析(1)分式的分母是 100！，分子是 101 个连续自然数的乘积，最大的为n100，最小的为n，故n(n1)(n2)(n100)100！101n(n1)(n2)(n100)101！101C101n100.(2)(n1)Am n(n1)n(n1)(nm1)Am1n1，故 A 正确；Cm nn！m！(nm)！，Cm1n1(n1)！(m1)！(nm)！，所 以Cm nn(n1)！m(m1)！(nm)！nm(n1)！(m1)！(nm)！nmCm1n1，所以mCm nnCm1n1，故 B 正确；Cm nAm nAm mAm nm！，故 C 错误；1nmAm1n1nmn(n1)(nm)n(n1)(nm1)Am n，故 D 正确故选 ABD.规律方法巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用 Cm nAm nAm mn(n1)(n2)(nm1)m！进行计算(2)涉及字母的可以用阶乘式 Cm nn！m！(nm)！计算(3)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由 Cm n中的mN N*，nN N*，且nm确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意对点训练(1)计算：C5 8C98100C7 7；(2)已知1Cm51Cm6710Cm7，求 Cm8.解析(1)原式C3 8C210018 7 63 2 1100 992 1564 9505 006.(2)原方程可化为m！(5m)！5！m！(6m)！6！7 (7m)！m！10 7！即m！(5m)！5！m！(6m)(5m)！6 5！7 m！(7m)(6m)(5m)！10 7 6 5！.16m6(7m)(6m)60，即m223m420，解得m2 或 21.而 0m5，m2.Cm8C2 828.题型三组合数性质的应用典例 3(1)计算 C3 4C3 5C3 6C32 020的值为(C)AC42 020 BC52 020 CC42 0211 DC52 0201(2)若 C2x18Cx38，则x的值为 2 或 4；(3)求证：Cnm2Cn m2Cn1mCn2m.分析恰当选择组合数的性质进行求值、证明与解不等式解析(1)C3 4C3 5C3 6C32 020C4 4C3 4C3 5C3 6C32 020C4 4C4 5C3 5C32 0201C42 020C32 0201C42 0211.(2)由 C2x18Cx38得 2x1x3 或 2x1x38，解得x4 或x2.(3)由组合数的性质 Cmn1Cm nCm1n可知，右边(Cn mCn1m)(Cn1mCn2m)Cnm1Cn1m1Cnm2左边，右边左边，所以原式成立规律方法性质“Cm nCnmn”的意义及作用意义反映的是组合数的对称性，即从n个不同的元素中取m个元素的一个组合与剩下的(nm)个元素的组合相对应作用当mn2时，计算 Cm n通常转化为计算 Cnmn对点训练(1)C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5 5；(2)解方程 3Cx7x35A2x4.解析(1)原式2(C0 5C1 5C2 5)2(C1 6C2 5)2(65 42 1)32.(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为3(x3)！(x7)！4！5(x4)！(x6)！，则3(x3)4！5x6，即为(x3)(x6)40.x29x220，解之可得x11 或x2.经检验知x11 是原方程的根，x2 是原方程的增根方程的根为x11.易错警示混淆“排列”与“组合”的概念致错典例 4某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需 2 人参加，乙、丙各需1 人参加，从 10 人中选派 4 人参加这三个会议，不同的安排方法共有 2 520种(用数字作答)错解先从 10 人中选出 4 人，共有 C4 10种不同选法再从选出的 4 人中选出 2 人参加会议甲有 C2 4种选法，剩下的 2 人参加会议乙、丙有 C2 2种选法，所以共有 C4 10C2 4C2 21 260(种)辨析计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的对象是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数正解一先从 10 人中选出 2 人参加会议甲，再从余下 8 人中选出 1 人参加会议乙，最后从剩下的 7 人中选出 1 人参加会议丙根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C2 10C1 8C1 72 520(种)正解二先从 10 人中选出 2 人参加会议甲，再从余下 8 人中选出 2 人分别参加会议乙、丙根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 C2 10A2 82 520(种)1(多选)下列说法正确的是(ABD)A从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为 C2 3B从 1,3,5,7 中任取两个数相乘可得 C2 4个积CC3 554360DC2 0232 024C12 0242 0242若 Cx7C4 7，则x的值为(C)A4 B3 C3 或 4 D7解析由组合数性质知x4 或x47，即x4 或x3.3A2 4C2 3(A)A9 B12 C15 D3解析由题意得 A2 4C2 3433 221239.4C17n2nC3nn13_31_.解析由题意及组合数公式知Error!Error!解得n6.所以原式C1112C1819C1 12C1 19121931.6.3.1二项式定理6.3.1二项式定理学习目标1能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理2掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式3会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题核心素养1通过二项式定理的学习，提升逻辑推理素养2借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养.知识点 1二项式定理二项式定理(ab)n C0nanC1nan1b1Ck nankbkCn nbn(nN N*)二项展开式公式右边的式子二项式系数Ck n(k0,1,2，n)二项展开式的通项公式Tk1 Ck nankbk练一练：1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)在二项式定理公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()(3)Ck nankbk是(ab)n展开式中的第k项()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()2C0n2nC1n2n1Ck n2nkCn n等于(C)A2n B2n1 C3n D1解析原式(21)n3n.知识点 2二项展开式的特点(1)展开式共有n1 项(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减 1 直到为 0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由 0 逐项加 1 直到为n.想一想：1二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指 C0n，C1n，Cn n，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关2二项式(ab)n与(ba)n展开式的第k1 项是否相同？提示：不同(ab)n展开式中第k1 项为 Ck nankbk，而(ba)n展开式中第k1 项为 Ck nbnkak