2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第六节简单的三角恒等变换课件（文科）.ppt

1、第六节简单的三角恒等变换,总纲目录,教材研读,1.公式的常见变形,考点突破,2.辅助角公式,考点二三角函数式的求值,考点一化简三角函数式,考点三三角恒等变换的应用,1.公式的常见变形(1)1+cos =2cos2?;1-cos =2sin2?.(2)1+sin =?;,1-sin =?.(3)tan?=?=?.,教材研读,2.辅助角公式asin x+bcos x=?sin(x+)(为辅助角),其中sin =?,cos =?.,1.已知cos =?,(,2),则cos?等于?()A.?B.-?C.?D.-,答案B由cos =?,得2cos2?-1=?,即cos2?=?.又(,2),?,cos?0

2、,故cos?=-?.,B,2.?的值为?()A.1B.-1C.?D.-,答案D原式=?=?=-?.,D,3.计算:?=?()A.?B.?C.?D.-,A,答案A?=?=?=?.,4.?sin 15+cos 15=.,答案,解析?sin 15+cos 15=2?=2(sin 15cos 30+cos 15sin 30)=2sin(15+30)=?.,5.已知24,且sin =-?,cos 0,则tan?的值等于.,-3,答案-3,解析24,且sin =-?,cos 0,3?,cos =-?,tan?=?=?=?=?=-3.,6.化简sin2?+sin2?-sin2的结果是.,答案,解析原式=?+

3、?-sin2=1-?-sin2=1-cos 2cos?-sin2=1-?-?=?.,典例1(1)已知0,则?=.(2)化简:?=.,考点一化简三角函数式,考点突破,答案(1)-cos (2)?cos 2x,解析(1)原式=?=cos?=?.因为00,所以原式=-cos .(2)原式=,=?=?=?=?cos 2x.,1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则,方法技巧,2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.,1-1sin 50(1+?tan 10)=.,1,答案1,解析

4、sin 50(1+?tan 10)=sin 50(1+tan 60tan 10)=sin 50?=sin 50?=?=?=?=1.,考点二三角函数式的求值,典例2(2018广东惠州质检)已知cos?=?,?x?,求?的值.,命题方向一给值求值,解析?=?=?=?=sin 2x?=sin 2xtan?.因为?0,所以?x+?0.又,?,+?,+=?.(2)tan =tan(-)+=?=?=?0,规律总结三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.(2)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面

5、上看是很难求值的,但仔细观察发现非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合相关公式转化为特殊角并且消掉非特殊角的三角函数而得解.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数值,再求角的范围,最后确定角.,2-1已知?,且2sin2-sin cos -3cos2=0,则?=.,答案,2-2若sin 2=?,sin(-)=?,且?,?,则+的值是.,答案,解析?,2?,又sin 2=?,2?,cos 2=-?且?,又sin(-)=?,?,-?,cos(-)=-?,cos(+)=cos(-)+2=cos(-)cos 2-sin(-)sin 2=?-?=?

6、,又+?,所以+=?.,典例5已知函数f(x)=sin2x-sin2?,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间?上的最大值和最小值.,考点三三角恒等变换的应用,解析(1)由已知,有f(x)=?-?=?=?sin 2x-?cos 2x=?sin?.所以, f(x)的最小正周期T=?=.(2)因为f(x)在区间?上是减函数,在区间?上是增函数, f ?=-?, f ?=-?, f ?=?.所以, f(x)在区间?上的最大值为?,最小值为-?.,方法技巧三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,注意公式的逆用和变形使用.(2)把形如y=asin

7、 x+bcos x化为y=?sin(x+),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.,同类练已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2?sin xcos x(xR).(1)求f ?的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,解析(1)由sin?=?,cos?=-?,f?=?-?-2?,得f?=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-?sin 2x=-2sin?.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得?+2k2x+?+2k,kZ,解得?+kx?+k,kZ.所以, f(x)的单调递增区间是?(kZ).

8、,变式练设函数f(x)=sin2x+2?sin xcos x-cos2x+(xR)的图象关于直线x=对称.其中,为常数,且?.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点?,求函数f(x)的值域.,解析(1)f(x)=sin2x-cos2x+2?sin xcos x+=-cos 2x+?sin 2x+=2sin?+.由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin?=1,所以2-?=k+?(kZ),即=?+?(kZ).又?,所以k=1,=?.所以f(x)的最小正周期是?.(2)由y=f(x)的图象过点?,得f?=0,即=-2sin?=-2sin?=-?,即=-?.故f

9、(x)=2sin?-?,函数f(x)的值域为-2-?,2-?.,深化练已知函数f(x)=?sin 2x+5cos2x+?.(1)当x?时,求函数f(x)的值域;(2)非钝角ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足f(A)=?,且a=4.求ABC面积的最大值.,解析(1)f(x)=?sin 2x+5cos2x+?=?sin 2x+5?+?=5sin?+5,由?x?,得?2x+?,-?sin?1,当?x?时,函数f(x)的值域为?.(2)由(1)得5sin?+5=?,sin?=-?.又?2A+?,2A+?=?,A=?.a=4,b=4sin B,c=4cos B,B?.ABC的面积S=?bc=4sin 2B.当2B=?,即B=?时,Smax=4.,