1、第六节简单的三角恒等变换,总纲目录,教材研读,1.公式的常见变形,考点突破,2.辅助角公式,考点二三角函数式的求值,考点一化简三角函数式,考点三三角恒等变换的应用,1.公式的常见变形(1)1+cos =2cos2?;1-cos =2sin2?.(2)1+sin =?;,1-sin =?.(3)tan?=?=?.,教材研读,2.辅助角公式asin x+bcos x=?sin(x+)(为辅助角),其中sin =?,cos =?.,1.已知cos =?,(,2),则cos?等于?()A.?B.-?C.?D.-,答案B由cos =?,得2cos2?-1=?,即cos2?=?.又(,2),?,cos?0
2、,故cos?=-?.,B,2.?的值为?()A.1B.-1C.?D.-,答案D原式=?=?=-?.,D,3.计算:?=?()A.?B.?C.?D.-,A,答案A?=?=?=?.,4.?sin 15+cos 15=.,答案,解析?sin 15+cos 15=2?=2(sin 15cos 30+cos 15sin 30)=2sin(15+30)=?.,5.已知24,且sin =-?,cos 0,则tan?的值等于.,-3,答案-3,解析24,且sin =-?,cos 0,3?,cos =-?,tan?=?=?=?=?=-3.,6.化简sin2?+sin2?-sin2的结果是.,答案,解析原式=?+
3、?-sin2=1-?-sin2=1-cos 2cos?-sin2=1-?-?=?.,典例1(1)已知0,则?=.(2)化简:?=.,考点一化简三角函数式,考点突破,答案(1)-cos (2)?cos 2x,解析(1)原式=?=cos?=?.因为00,所以原式=-cos .(2)原式=,=?=?=?=?cos 2x.,1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则,方法技巧,2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.,1-1sin 50(1+?tan 10)=.,1,答案1,解析
4、sin 50(1+?tan 10)=sin 50(1+tan 60tan 10)=sin 50?=sin 50?=?=?=?=1.,考点二三角函数式的求值,典例2(2018广东惠州质检)已知cos?=?,?x?,求?的值.,命题方向一给值求值,解析?=?=?=?=sin 2x?=sin 2xtan?.因为?0,所以?x+?0.又,?,+?,+=?.(2)tan =tan(-)+=?=?=?0,规律总结三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.(2)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面
5、上看是很难求值的,但仔细观察发现非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合相关公式转化为特殊角并且消掉非特殊角的三角函数而得解.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数值,再求角的范围,最后确定角.,2-1已知?,且2sin2-sin cos -3cos2=0,则?=.,答案,2-2若sin 2=?,sin(-)=?,且?,?,则+的值是.,答案,解析?,2?,又sin 2=?,2?,cos 2=-?且?,又sin(-)=?,?,-?,cos(-)=-?,cos(+)=cos(-)+2=cos(-)cos 2-sin(-)sin 2=?-?=?
6、,又+?,所以+=?.,典例5已知函数f(x)=sin2x-sin2?,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间?上的最大值和最小值.,考点三三角恒等变换的应用,解析(1)由已知,有f(x)=?-?=?=?sin 2x-?cos 2x=?sin?.所以, f(x)的最小正周期T=?=.(2)因为f(x)在区间?上是减函数,在区间?上是增函数, f ?=-?, f ?=-?, f ?=?.所以, f(x)在区间?上的最大值为?,最小值为-?.,方法技巧三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,注意公式的逆用和变形使用.(2)把形如y=asin
7、 x+bcos x化为y=?sin(x+),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.,同类练已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2?sin xcos x(xR).(1)求f ?的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,解析(1)由sin?=?,cos?=-?,f?=?-?-2?,得f?=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-?sin 2x=-2sin?.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得?+2k2x+?+2k,kZ,解得?+kx?+k,kZ.所以, f(x)的单调递增区间是?(kZ).
8、,变式练设函数f(x)=sin2x+2?sin xcos x-cos2x+(xR)的图象关于直线x=对称.其中,为常数,且?.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点?,求函数f(x)的值域.,解析(1)f(x)=sin2x-cos2x+2?sin xcos x+=-cos 2x+?sin 2x+=2sin?+.由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin?=1,所以2-?=k+?(kZ),即=?+?(kZ).又?,所以k=1,=?.所以f(x)的最小正周期是?.(2)由y=f(x)的图象过点?,得f?=0,即=-2sin?=-2sin?=-?,即=-?.故f
9、(x)=2sin?-?,函数f(x)的值域为-2-?,2-?.,深化练已知函数f(x)=?sin 2x+5cos2x+?.(1)当x?时,求函数f(x)的值域;(2)非钝角ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足f(A)=?,且a=4.求ABC面积的最大值.,解析(1)f(x)=?sin 2x+5cos2x+?=?sin 2x+5?+?=5sin?+5,由?x?,得?2x+?,-?sin?1,当?x?时,函数f(x)的值域为?.(2)由(1)得5sin?+5=?,sin?=-?.又?2A+?,2A+?=?,A=?.a=4,b=4sin B,c=4cos B,B?.ABC的面积S=?bc=4sin 2B.当2B=?,即B=?时,Smax=4.,
