1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (三十九 ) 数学归纳法 A 组 基础达标 一、选择题 1用数学归纳法证明 2n2n 1， n 的第一个取值应是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 C n 1 时， 21 2,21 1 3,2n2n 1 不成立； n 2 时， 22 4,22 1 5,2n2n 1 不成立； n 3 时， 23 8,23 1 7,2n2n 1 成立 n 的第一个取值应是 3. 2一个关于自然数 n 的命题，如果验证当 n 1 时命题成立，并在假设当 n k(k1 且 k N )时命题成立的基础上，证明了当 n k 2 时命题 成立，那么综合上述，对于 ( )
2、 A一切正整数命题成立 B一切正奇数命题成立 C一切正偶数命题成立 D以上都不对 B 本题证的是对 n 1,3,5,7， 命题成立，即命题对一切正奇数成立 3在数列 an中， a1 13，且 Sn n(2n 1)an，通过求 a2， a3， a4，猜想 an的表达式为 ( ) 【导学号： 79140216】 A. 1(n 1)(n 1) B. 12n(2n 1) C. 1(2n 1)(2n 1) D 1(2n 1)(2n 2) C 由 a1 13， Sn n(2n 1)an 求得 a2 115 135 ， a3 135 157 ， a4 163 179 .猜想an 1(2n 1)(2n 1).
3、 4对于不等式 n2 n n 1(n N )，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当 n 1 时， 12 1 1 1，不等式成立 (2)假设当 n k(k N )时，不等式 k2 k k 1 成立，当 n k 1 时，(k 1)2 k 1 k2 3k 2 (k2 3k 2) (k 2) (k 2)2 (k 1) 1. 所以当 n k 1 时，不等式成立，则上述证法 ( ) A过程全部正确 B n 1 验得不正确 =【 ;精品教育资源文库 】 = C归纳假设不正确 D从 n k 到 n k 1 的推理不正确 D 当 n k 1 时，没有应用 n k 时的假设，不是数学归纳法 5平面内有 n
4、 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为 ( ) A n 1 B 2n C.n2 n 22 D n2 n 1 C 1 条直线将平面分成 1 1 个区域； 2 条直线最多可将平面分成 1 (1 2) 4 个区域； 3 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3) 7 个区域； ； n 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3 n) 1 n(n 1)2 n2 n 22 个区域 二、填空题 6用数学归纳法证明 1 2 3 n2 n4 n22 ，则当 n k 1 时左端应在 n k 的基础上加上的项为 _ (k2 1) (k2 2) (k 1)2 当 n k时左端为 1 2 3
5、 k (k 1) (k 2) k2，则当 n k 1 时， 左端为 1 2 3 k2 (k2 1) (k2 2) (k 1)2， 故增加的项为 (k2 1) (k2 2) (k 1)2. 7数列 an中，已知 a1 2， an 1 an3an 1(n N )，依次计算出 a2， a3， a4，猜想 an _. 26n 5 a1 2， a2232 127， a3273 27 1 213， a42133 213 1 219. 由此猜想 an是以分子为 2，分母是以首项为 1，公差为 6 的等差数列，所以 an 26n 5. 8凸 n 多边形有 f(n)条对角线则凸 (n 1)边形的对角线的条数 f
6、(n 1)与 f(n)的 递推关系式为 _ f(n 1) f(n) n 1 f(n 1) f(n) (n 2) 1 f(n) n 1. 三、解答题 9用数学归纳法证明： 1 122 132 1n24时， f(n) _(用 n 表示 ) 5 12(n 1)(n 2)(n3) f(3) 2， f(4) f(3) 3 2 3 5， f(n) f(3) 3 4 (n 1) 2 3 4 (n 1) 12(n 1)(n 2)(n3) 13数列 xn满足 x1 0， xn 1 x2n xn c(n N ) (1)证明： xn是递减数列的充要条件是 c 0； (2)若 0 c 14，证明数列 xn是递增数列
7、. 【导学号 ： 79140218】 证明 (1)充分性：若 c 0，由于 xn 1 x2n xn c xn c xn， 数列 xn是递减数列 必要性：若 xn是递减数列，则 x2 x1，且 x1 0. 又 x2 x21 x1 c c， c 0. 故 xn是递减数列的充要条件是 c 0. (2)若 0 c 14，要证 xn是递增数列 即 xn 1 xn x2n c 0， 即证 xn c对任意 n1 成立 下面用数学归纳法证明： 当 0 c 14时， xn c对任意 n1 成立 当 n 1 时， x1 0 c 12，结论成立 假设当 n k(k1 ， k N )时结论成立，即 xk c. =【 ;精品教育资源文库 】 = 函数 f(x) x2 x c在区间 ? ? ， 12 内单调递增，所以 xk 1 f(xk) f( c) c， 当 n k 1 时， xk 1 c成立 由 ， 知， xn c对任意 n1 ， n N 成立 因此， xn 1 xn x2n c xn，即 xn是递增数列
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