1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (三十九 ) 数学归纳法 A 组 基础达标 一、选择题 1用数学归纳法证明 2n2n 1, n 的第一个取值应是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 C n 1 时, 21 2,21 1 3,2n2n 1 不成立; n 2 时, 22 4,22 1 5,2n2n 1 不成立; n 3 时, 23 8,23 1 7,2n2n 1 成立 n 的第一个取值应是 3. 2一个关于自然数 n 的命题,如果验证当 n 1 时命题成立,并在假设当 n k(k1 且 k N )时命题成立的基础上,证明了当 n k 2 时命题 成立,那么综合上述,对于 ( )
2、 A一切正整数命题成立 B一切正奇数命题成立 C一切正偶数命题成立 D以上都不对 B 本题证的是对 n 1,3,5,7, 命题成立,即命题对一切正奇数成立 3在数列 an中, a1 13,且 Sn n(2n 1)an,通过求 a2, a3, a4,猜想 an的表达式为 ( ) 【导学号: 79140216】 A. 1(n 1)(n 1) B. 12n(2n 1) C. 1(2n 1)(2n 1) D 1(2n 1)(2n 2) C 由 a1 13, Sn n(2n 1)an 求得 a2 115 135 , a3 135 157 , a4 163 179 .猜想an 1(2n 1)(2n 1).
3、 4对于不等式 n2 n n 1(n N ),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当 n 1 时, 12 1 1 1,不等式成立 (2)假设当 n k(k N )时,不等式 k2 k k 1 成立,当 n k 1 时,(k 1)2 k 1 k2 3k 2 (k2 3k 2) (k 2) (k 2)2 (k 1) 1. 所以当 n k 1 时,不等式成立,则上述证法 ( ) A过程全部正确 B n 1 验得不正确 =【 ;精品教育资源文库 】 = C归纳假设不正确 D从 n k 到 n k 1 的推理不正确 D 当 n k 1 时,没有应用 n k 时的假设,不是数学归纳法 5平面内有 n
4、 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为 ( ) A n 1 B 2n C.n2 n 22 D n2 n 1 C 1 条直线将平面分成 1 1 个区域; 2 条直线最多可将平面分成 1 (1 2) 4 个区域; 3 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3) 7 个区域; ; n 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3 n) 1 n(n 1)2 n2 n 22 个区域 二、填空题 6用数学归纳法证明 1 2 3 n2 n4 n22 ,则当 n k 1 时左端应在 n k 的基础上加上的项为 _ (k2 1) (k2 2) (k 1)2 当 n k时左端为 1 2 3
5、 k (k 1) (k 2) k2,则当 n k 1 时, 左端为 1 2 3 k2 (k2 1) (k2 2) (k 1)2, 故增加的项为 (k2 1) (k2 2) (k 1)2. 7数列 an中,已知 a1 2, an 1 an3an 1(n N ),依次计算出 a2, a3, a4,猜想 an _. 26n 5 a1 2, a2232 127, a3273 27 1 213, a42133 213 1 219. 由此猜想 an是以分子为 2,分母是以首项为 1,公差为 6 的等差数列,所以 an 26n 5. 8凸 n 多边形有 f(n)条对角线则凸 (n 1)边形的对角线的条数 f
6、(n 1)与 f(n)的 递推关系式为 _ f(n 1) f(n) n 1 f(n 1) f(n) (n 2) 1 f(n) n 1. 三、解答题 9用数学归纳法证明: 1 122 132 1n24时, f(n) _(用 n 表示 ) 5 12(n 1)(n 2)(n3) f(3) 2, f(4) f(3) 3 2 3 5, f(n) f(3) 3 4 (n 1) 2 3 4 (n 1) 12(n 1)(n 2)(n3) 13数列 xn满足 x1 0, xn 1 x2n xn c(n N ) (1)证明: xn是递减数列的充要条件是 c 0; (2)若 0 c 14,证明数列 xn是递增数列
7、. 【导学号 : 79140218】 证明 (1)充分性:若 c 0,由于 xn 1 x2n xn c xn c xn, 数列 xn是递减数列 必要性:若 xn是递减数列,则 x2 x1,且 x1 0. 又 x2 x21 x1 c c, c 0. 故 xn是递减数列的充要条件是 c 0. (2)若 0 c 14,要证 xn是递增数列 即 xn 1 xn x2n c 0, 即证 xn c对任意 n1 成立 下面用数学归纳法证明: 当 0 c 14时, xn c对任意 n1 成立 当 n 1 时, x1 0 c 12,结论成立 假设当 n k(k1 , k N )时结论成立,即 xk c. =【 ;精品教育资源文库 】 = 函数 f(x) x2 x c在区间 ? ? , 12 内单调递增,所以 xk 1 f(xk) f( c) c, 当 n k 1 时, xk 1 c成立 由 , 知, xn c对任意 n1 , n N 成立 因此, xn 1 xn x2n c xn,即 xn是递增数列