1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题.学 习 目 标学 习 目 标前面学习了椭圆及其几何性质,了解了椭圆形状与离心率e有关,在现实生活中还有一类曲线,与椭圆并称为“情侣曲线”,即双曲线,它的形状在现实中很常见.如发电厂的冷却塔的形状,上、下两头粗,中间细,截面图的形状就是本节要学习的双曲线,它的标准方程又如何?人们不禁要问,为什么建成这样的双曲线型冷却塔,而不建成竖直的呢?这就需要我们学习与双曲线相关的内容.导 语导 语随堂演练课时对点练一、双曲线的定义二、
2、双曲线的标准方程三、双曲线在生活中的应用内容索引内容索引一、双曲线的定义一、双曲线的定义问题1如图,在直线l上取两个定点A,B,P是直线l上的动点.在平面内,取定点F1,F2,以点F1为圆心、线段PA为半径作圆,再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道,当点P在线段AB上运动时,如果F1F2AB,那么两圆相交,其交点M的轨迹是椭圆;如果F1F2AB,两圆不相交,不存在交点轨迹.如图,在F1F2AB的条件下,让P点在线段AB外运动,这时动点M满足什么几何条件?提示如题图,曲线上的点满足条件:MF1MF2常数.双曲线定义平面内到两个定点F1,F2的距离之 等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨
3、迹叫作 .这两个定点叫作双曲线的 ,两焦点间的距离叫作双曲线的 .知识梳理知识梳理差的绝对值双曲线焦点焦距注意点:注意点:(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值,点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2aF1F2时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2aF1F2时,动点的轨迹不存在.(5)当2a0时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.例1已知A(0,5),B(0,5),PAPB2a,当a3,a5时,P点的轨迹分别为A.双曲线,一条直线B.双曲线,两条直线C.双曲线一支,一条直线D.双曲线一支,一条射线解析 当a3时,2a6,此时AB10,点P的
4、轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a5时,2a10,此时AB10,点P的轨迹为射线,且是以B为端点的一条射线.反思感悟判断点的轨迹是否为双曲线时,要根据双曲线的定义成立的充要条件.跟踪训练1已知F1(6,0),F2(6,0),动点P满足PF1PF210,则P点的轨迹是A.双曲线 B.双曲线的一支C.直线 D.一条射线解析F1,F2是定点,且F1F212,所以满足条件PF1PF210的点P的轨迹应为双曲线的一支.二、双曲线的标准方程二、双曲线的标准方程问题2类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系,求出双曲线的标准方程?提示观察我们画出的双曲线,发现它也具有对称性,而且直线F1F2是它的一
5、条对称轴,所以以F1,F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,此时双曲线的焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),焦距为2c,c0.设P(x,y)是双曲线上任意一点,则|PF1PF2|2a(a为大于0的常数),类比椭圆标准方程的化简过程,化简,得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2),由双曲线的定义知,2c2a,即ca,所以c2a20,类比椭圆标准方程的建立过程,问题3设双曲线的焦点为F1和F2,焦距为2c,而且双曲线上的动点P满足PF1PF22a,其中ca0,以F1,F2所在直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此
6、时,双曲线的标准方程是什么?双曲线的标准方程知识梳理知识梳理焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程焦点_a,b,c的关系b2_F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)c2a2注意点:注意点:(1)若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系.(3)a,b,c的关系满足c2a2b2.例2根据下列条件,求双曲线的标准方程.解得a25或a230(舍去).(2)焦点为(0,6),(0,6),且过点A(5,6).解方法一由已知得c6,且焦点在y轴上.因为点A(5,6)在双曲线上,则a4,b2c2a2624220.解得a21
7、6,b220.反思感悟求双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时,若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.跟踪训练跟踪训练2焦点在x轴上,经过点P(4,2)和点Q()的双曲线的标准方程为 _ .解得a28,b24,三、双曲线在生活中的应用三、双曲线在生活中的应用例3神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中
8、心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向角.解如图所示,以直线AB为x 轴,线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,PBPC,点P在线段BC的垂直平分线上,又PBPA46AB,点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且a2,c3,反思感悟利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).跟踪训练跟踪训练3如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km,则曲线PQ的轨
9、迹方程是 _ _ ;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是 km.解析如图所示,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则DADB2,根据双曲线定义知,轨迹为双曲线的右支.故2c4,c2,2a2,a1,b2c2a2413,当A,M,C共线时等号成立.1.知识清单:(1)双曲线定义的应用.(2)双曲线方程的求法.(3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:双曲线在实际生活中的应用中,建模容易出错.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的A.必要不充分
10、条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析当方程表示双曲线时,一定有ab0,反之,当ab0时,若c0,则方程不表示双曲线.12341234解析由于a0,0a24,且4a2a2,解得a1.1234A.(1,2)B.(2,)C.(,2)D.(2,2)12344.相距4k千米的A,B两地,听到炮弹爆炸的时间相差2秒,若声速每秒k千米,则炮弹爆炸点P的轨迹可能是A.双曲线的一支 B.双曲线C.椭圆 D.圆解析由已知可得|PAPB|2k0,b0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长ABm,则ABF2的周长为A.4a B.4amC.4a2m D.
11、4a2m解析由双曲线的定义,知AF2AF12a,BF2BF12a,所以AF2BF2(AF1BF1)4am4a,所以ABF2的周长lAF2BF2AB4a2m.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)双曲线 1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为A.17 B.7 C.22 D.212345678910 11 12 13 14 15 16点P可能在左支,也可能在右支,由|PF1PF2|2a10,得|12PF2|10,PF222或2.点P到另一个焦点的距离是22或2.7.若双曲线以椭圆 1的两个顶点为焦点,且经过椭圆的两个焦点,则双曲线的标准方程为 _.1
12、2345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 168.已知方程 1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 .则(m2n)(3m2n)0,所以m2n3m2,由双曲线性质知,c2(m2n)(3m2n)4m2,其中c是半焦距,所以焦距2c22|m|4,解得|m|1,所以1n0,n0),12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.动圆与圆x2y21和x2y28x120都外切,则动圆圆心的轨迹是A.双曲线的一支 B.圆C.椭圆 D.双曲线解析设
13、动圆的圆心为M,半径为r,圆x2y21与x2y28x120的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得MO1r1,MO2r2.MO2MO11,又O1O24,动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).12345678910 11 12 13 14 15 1614.已知F1,F2是双曲线 1的左、右焦点,PQ是过焦点F1的弦,且PQ的倾斜角为60,那么PF2QF2PQ的值为 .由双曲线定义,得PF2PF18,QF2QF18,所以PF2QF2PQ(PF2PF1)(QF2QF1)16.16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知P为双曲线 1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为PF1F2的内心.若8,则MF1F2的面积为12345678910 11 12 13 14 15 16解析设PF1F2的内切圆的半径为R,由双曲线的标准方程可知a4,b3,c5.因为 8,所以R2,12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16
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