1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题.学 习 目 标学 习 目 标前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见.如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容.导 语导 语随堂演练课时对点练一、双曲线的定义二、
2、双曲线的标准方程三、双曲线在生活中的应用内容索引内容索引一、双曲线的定义一、双曲线的定义问题1如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果F1F2AB，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果F1F2AB，两圆不相交，不存在交点轨迹.如图，在F1F2AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？提示如题图，曲线上的点满足条件：MF1MF2常数.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨
3、迹叫作 .这两个定点叫作双曲线的 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 .知识梳理知识梳理差的绝对值双曲线焦点焦距注意点：注意点：(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2aF1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2aF1F2时，动点的轨迹不存在.(5)当2a0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.例1已知A(0，5)，B(0,5)，PAPB2a，当a3，a5时，P点的轨迹分别为A.双曲线，一条直线B.双曲线，两条直线C.双曲线一支，一条直线D.双曲线一支，一条射线解析 当a3时，2a6，此时AB10，点P的
4、轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a5时，2a10，此时AB10，点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.反思感悟判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.跟踪训练1已知F1(6,0)，F2(6,0)，动点P满足PF1PF210，则P点的轨迹是A.双曲线 B.双曲线的一支C.直线 D.一条射线解析F1，F2是定点，且F1F212，所以满足条件PF1PF210的点P的轨迹应为双曲线的一支.二、双曲线的标准方程二、双曲线的标准方程问题2类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？提示观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一
5、条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，此时双曲线的焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c0.设P(x，y)是双曲线上任意一点，则|PF1PF2|2a(a为大于0的常数)，类比椭圆标准方程的化简过程，化简，得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)，由双曲线的定义知，2c2a，即ca，所以c2a20，类比椭圆标准方程的建立过程，问题3设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足PF1PF22a，其中ca0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此
6、时，双曲线的标准方程是什么？双曲线的标准方程知识梳理知识梳理焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程焦点_a，b，c的关系b2_F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)c2a2注意点：注意点：(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系.(3)a，b，c的关系满足c2a2b2.例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.解得a25或a230(舍去).(2)焦点为(0，6)，(0,6)，且过点A(5,6).解方法一由已知得c6，且焦点在y轴上.因为点A(5,6)在双曲线上，则a4，b2c2a2624220.解得a21
7、6，b220.反思感悟求双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.跟踪训练跟踪训练2焦点在x轴上，经过点P(4，2)和点Q()的双曲线的标准方程为 _ .解得a28，b24，三、双曲线在生活中的应用三、双曲线在生活中的应用例3神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中
8、心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方向角.解如图所示，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，PBPC，点P在线段BC的垂直平分线上，又PBPA46AB，点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a2，c3，反思感悟利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).跟踪训练跟踪训练3如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨
9、迹方程是 _ _ ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.解析如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则DADB2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.故2c4，c2,2a2，a1，b2c2a2413，当A，M，C共线时等号成立.1.知识清单：(1)双曲线定义的应用.(2)双曲线方程的求法.(3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的A.必要不充分
10、条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析当方程表示双曲线时，一定有ab0，反之，当ab0时，若c0，则方程不表示双曲线.12341234解析由于a0,0a24，且4a2a2，解得a1.1234A.(1,2)B.(2，)C.(，2)D.(2,2)12344.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是A.双曲线的一支 B.双曲线C.椭圆 D.圆解析由已知可得|PAPB|2k0，b0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长ABm，则ABF2的周长为A.4a B.4amC.4a2m D.
11、4a2m解析由双曲线的定义，知AF2AF12a，BF2BF12a，所以AF2BF2(AF1BF1)4am4a，所以ABF2的周长lAF2BF2AB4a2m.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)双曲线 1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为A.17 B.7 C.22 D.212345678910 11 12 13 14 15 16点P可能在左支，也可能在右支，由|PF1PF2|2a10，得|12PF2|10，PF222或2.点P到另一个焦点的距离是22或2.7.若双曲线以椭圆 1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 _.1
12、2345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 168.已知方程 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 .则(m2n)(3m2n)0，所以m2n3m2，由双曲线性质知，c2(m2n)(3m2n)4m2，其中c是半焦距，所以焦距2c22|m|4，解得|m|1，所以1n0，n0)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.动圆与圆x2y21和x2y28x120都外切，则动圆圆心的轨迹是A.双曲线的一支 B.圆C.椭圆 D.双曲线解析设
13、动圆的圆心为M，半径为r，圆x2y21与x2y28x120的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得MO1r1，MO2r2.MO2MO11，又O1O24，动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).12345678910 11 12 13 14 15 1614.已知F1，F2是双曲线 1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60，那么PF2QF2PQ的值为 .由双曲线定义，得PF2PF18，QF2QF18，所以PF2QF2PQ(PF2PF1)(QF2QF1)16.16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知P为双曲线 1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为PF1F2的内心.若8，则MF1F2的面积为12345678910 11 12 13 14 15 16解析设PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a4，b3，c5.因为 8，所以R2，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16
