苏教版高中数学选择性必修一第5章5.3.1第3课时《函数单调性的应用》教案及课件.zip

第第 3 课时函数单调性的应用课时函数单调性的应用学习目标 1.掌握函数的单调性与导函数符号之间的关系.2.能根据函数的单调性比较几个函数值的大小.3 会通过分析原函数的图象获得导函数图象的信息一、由单调性求参数的取值范围问题 1对于函数 f(x)x3，我们发现，它的导函数 f(x)3x2并没有恒大于 0，当 x0 时，有 f(0)0，这是否会影响该函数的单调性？提示在 x0 的左右两侧，都有 f(x)0，且该函数在 x0 处连续，故不会影响该函数在 R上是增函数也就是说对于导函数有限个等于 0 的点，不影响函数的单调性问题 2对于函数 yf(x)，f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件吗？提示不是，因为这里的“”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果 f(x)0 成立的条件是 f(x)0，即该函数无增区间知识梳理对于函数 yf(x)，如果在某区间上 f(x)0，那么 f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f(x)0，那么 f(x)为该区间上的减函数若函数 f(x)在某区间上是增函数，则 f(x)0；若函数 f(x)在某区间上是减函数，则f(x)0.注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)mf(x)恒成立mf(x)max；mf(x)恒成立mf(x)min(需要对等号进行单独验证)例 1已知函数 f(x)13x3ax，若函数 f(x)是 R 上的增函数，求实数 a 的取值范围解f(x)x2a，因为 f(x)是 R 上的增函数，故 f(x)x2a0 在 R 上恒成立，即 ax2，所以 a0.经验证，a0 时成立，故 a0.延伸探究1本例函数不变，若函数 f(x)在1，)上是增函数，求实数 a 的最大值解由题意知 f(x)x2a 在1，)上有 f(x)x2a0 恒成立，即 ax2恒成立，即a1，故实数 a 的最大值是 1.经验证 a1 时成立，故 amax1.2本例函数不变，若函数 f(x)在(2，)上是增函数，求实数 a 的取值范围解由题意知 f(x)x2a 在(2，)上有 f(x)x2a0 恒成立，即 ax2恒成立，即a4.经验证 a4 时成立，故 a4.反思感悟(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f(x)0(或 f(x)0)，x(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是 f(x)不恒等于 0 的参数的范围，然后检验参数取“”时是否满足题意(2)若函数 yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为 f(x)0 在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)跟踪训练 1(1)函数 y13x3x2mx2 是 R 上的单调函数，则 m 的取值范围是()A(，1)B(，1C(1，)D1，)答案D解析函数 y13x3x2mx2 是 R 上的单调函数，即 yx22xm0 或 yx22xm0(舍)在 R 上恒成立，44m0，解得 m1.(2)若函数 f(x)x312x 在区间(k1，k1)上不单调，则实数 k 的取值范围是()A(，31,13，)B(3，1)(1,3)C(2,2)D不存在这样的实数 k答案B解析由题意得，f(x)3x2120 在区间(k1，k1)上至少有一个实数根又 f(x)3x2120 的根为2，且 f(x)在 x2 或2 两侧导数异号，而区间(k1，k1)的区间长度为 2，故只有 2 或2 在区间(k1，k1)内，k12k1 或 k12k1，1k3 或3k1，故选 B.二、比较大小例 2(1)已知实数 x，y 满足 2x2xy BxyCx0，所以函数 f(t)在 R 上是增函数，由题意得 f(x)f(y)，所以 xf()Bf(e)0，故 f(x)在(0，)上是增函数，又 e，故 f(e)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)答案C解析由导函数 f(x)的大致图象知，当 xc 时，f(x)0 恒成立，f(x)为增函数，又 abf(b)f(a)三、函数图象的增长快慢的比较问题 3观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？提示由图象可知若 f(x)0，则 f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然 f(x)越大，函数 f(x)增长的就越快；同样，若 f(x)0，则 f(x)是减函数，显然|fx|越大，函数 f(x)减少的就越快知识梳理函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数 yf(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)注意点：分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系例 3如图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由导函数的图象，可知两个函数在 x0处切线斜率相同，可以排除 A，B，C.反思感悟如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”跟踪训练 3若函数 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数 yf(x)在区间a，b上的图象可能是()答案A解析函数 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，对任意的 ax1x2b，有f(a)f(x1)f(x2)f(b)，即在 a，x1，x2，b 处它们的斜率是依次增大的A 满足上述条件；对于 B，存在 x1f(x2)；对于 C，对任意的 ax1x2b，都有 f(x1)f(x2)；对于 D，对任意的 xa，b，f(x)不满足逐渐递增的条件，故选 A.1知识清单：(1)根据函数的单调性求参数的取值范围(2)根据单调性比较大小(3)函数图象增长快慢的比较2方法归纳：分类讨论、数形结合3常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论1函数 yf(x)的图象如图所示，则导函数 yf(x)的图象的大致形状是()答案D解析由已知图象可知，f(x)先减后增再单调性不变，则 f(x)先小于零后大于零最后等于 0.2已知定义域为 R 的函数 f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是()Af(a)f(b)f(0)Bf(0)f(c)f(d)Cf(b)f(0)f(c)Df(c)f(d)f(e)答案D解析由 f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上是增函数，在(b，c)上是减函数，所以 f(a)f(0)f(c)，B，C 错误；f(c)f(d)1 时，g(x)1，b1.课时对点练课时对点练1设函数 f(x)2xsin x，则()Af(1)f(2)Bf(1)0，故 f(x)是 R 上的增函数，故 f(1)0 Bk1 Ck0 Dk1答案D解析因为函数 f(x)xkx2ln x 在(0，)上是增函数，所以 f(x)1kx22x0 在(0，)上恒成立，所以 kx22x，因为x22x(x1)211，所以 k1.3已知函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数，函数 g(x)x2aln x 在(1,2)上为增函数，则 a 等于()A1 B2 C0 D.2答案B解析函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数，a21，得 a2.g(x)2xax，依题意知 g(x)0 在(1,2)上恒成立，即 2x2a 在 x(1,2)时恒成立，有 a2，a2.4已知函数 f(x)，g(x)对任意实数 x，有 f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当 x0 时，有f(x)0，g(x)0，则当 x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0 时，f(x)0，g(x)0，f(x)，g(x)在(0，)上都是增函数，f(x)在(，0)上是增函数，g(x)在(，0)上是减函数，当 x0，g(x)2答案AC解析由函数 f(x)12ax2(a2)x2ln x 在区间(0，)上是增函数，得 f(x)ax(a2)2xax2(a2)x2x0 在区间(0，)上恒成立，即 ax2(a2)x20 在区间(0，)上恒成立，当 a0 时，2x200 x1，不满足题意；当 a0 时，ax2(a2)x2a(x2a)(x1)0，又2a0，即(x2a)(x1)000 时，ax2(a2)x2a(x2a)(x1)0，又2a0,ax2(a2)x20 在区间(0，)上恒成立，则(a2)28a(a2)20a2，综上，函数 f(x)12ax2(a2)x2ln x 是增函数的充要条件为 a2，故选 AC.7若函数 f(x)(x2mx)ex的减区间是32，1，则实数 m 的值为_答案32解析f(x)x2(m2)xmex，因为 f(x)的减区间是32，1，所以 f(x)0 的两个根分别为 x132，x21，即Error!解得 m32.8函数 f(x)在定义域 R 内可导，f(x)f(2x)且(x1)f(x)”连接)答案bac解析因为 f(x)f(2x)，所以函数关于直线 x1 对称，当 x1 时，(x1)f(x)0，即 f(x)0，f(x)是减函数；当 x1 时，(x1)f(x)0，f(x)是增函数af(0)f(2)，bf(12)f(32)，cf(3)，故 bac.9已知函数 f(x)x3ax1.(1)若函数 f(x)在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在区间(1,1)上是减函数，求实数 a 的取值范围解由 f(x)，得 f(x)3x2a.(1)因为 f(x)在 R 上是增函数，所以 f(x)0 对xR 恒成立，即 a3x2对xR 恒成立，只需 a(3x2)min，而(3x2)min0，所以 a0，经检验，当 a0 时，符合题意，故 a 的取值范围是(，0(2)因为函数 f(x)在区间(1,1)上是减函数，所以 f(x)0，得 x3；若 f(x)0，得 0 x3，f(x)的增区间是(3，)，减区间是(0,3)(2)由题意知，f(x)2x42ax0 在2，)上恒成立，则 a2x24x2 恒成立，令 g(x)2x24x22(x1)2，则 ag(x)min即可，而 g(x)在2，)上的最小值为 g(2)2.a2.(3)依题意知，f(x)2x42ax0 在区间(0，)上有解，即 g(x)2x24x2a0，即 a0.11若函数 f(x)(x2cx5)ex在区间12，4上是增函数，则实数 c 的取值范围是()A(，2 B(，4C(，8 D2,4答案B解析易得 f(x)x2(2c)xc5ex.函数 f(x)在区间12，4上是增函数，等价于 x2(2c)xc50 对任意 x12，4恒成立，cx22x5x1对任意 x12，4恒成立x12，4，x22x5x1x14x14，当且仅当 x1 时等号成立，c4.12已知函数 f(x)与 f(x)的图象如图所示，则不等式Error!的解集为()A.(0，1)B.(1，43)C.(43，2)D.(2，4)答案A解析若图中实线部分曲线为函数 yf(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数 yf(x)的图象，由导函数 yf(x)的图象可知，函数 yf(x)在区间(0，4)上的减区间为(0，2)，但函数 yf(x)在区间(0，2)上不单调，不符合题意；若图中实线部分曲线为导函数 yf(x)的图象，则函数 yf(x)在区间(0，4)上的减区间为(0，43)，增区间为(43，4)，符合题意由图象可知，不等式Error!的解集为(0，1).13已知函数 f(x)ln xxb22在12，2上存在增区间，则实数 b 的取值范围是()A.(，94)B(，3)C.(，32)D(，2)答案A解析易得 f(x)12xxb2x22bx12x.根据题意，得 f(x)0 在12，2上有解令 h(x)2x22bx1，因为 h(0)10，所以只需 h(2)0 或 h(12)0，解得 b94.14已知函数 f(x)x312x，若 f(x)在区间(2m，m1)上是减函数，则实数 m 的取值范围是_答案1,1)解析令 f(x)0，即 3x2120，解得2x2.f(x)的减区间为2,2，由题意得(2m，m1)2,2，Error!解得1m1.15已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)xf(x)若 ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则 a，b，c 的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbc0 时，f(x)f(0)0，且 f(x)0，又 g(x)xf(x)，则 g(x)f(x)xf(x)0，g(x)在(0，)上是增函数，且 g(x)xf(x)为偶函数，ag(log25.1)g(log25.1)，又 2log25.13,120.82，由 g(x)在(0，)上是增函数，得 g(20.8)g(log25.1)g(3)，ba1)，f(x)12x1x1x2x12x1(x1)当 f(x)0 时，解得1x1；当 f(x)1.故函数 f(x)的增区间是(1,1)，减区间是(1，)(2)因为函数 f(x)在区间1，)上是减函数，所以 f(x)2ax1x10 对任意 x1，)恒成立，即 a12xx1对任意 x1，)恒成立令 g(x)12xx1，x1，)，易求得在区间1，)上，g(x)0，故 g(x)在区间1，)上是增函数，故 g(x)ming(1)14，故 a14.即实数 a 的取值范围为(，14.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件函数单调性的应用函数单调性的应用一、由单调性求参数的取值范围一、由单调性求参数的取值范围问题1对于函数f(x)x3，我们发现，它的导函数f(x)3x2并没有恒大于0，当x0时，有f(0)0，这是否会影响该函数的单调性？提示在x0的左右两侧，都有f(x)0，且该函数在x0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性.问题2对于函数yf(x)，f(x)0是f(x)为增函数的充要条件吗？提示不是，因为这里的“”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f(x)0成立的条件是f(x)0，即该函数无增区间.对于函数yf(x)，如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的 ；如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的 .若函数f(x)在某区间上是增函数，则 ；若函数f(x)在某区间上是减函数，则 .注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)mf(x)恒成立mf(x)max；mf(x)恒成立mf(x)min(需要对等号进行单独验证).知识梳理知识梳理增函数减函数f(x)0f(x)0例1已知函数f(x)x3ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.解f(x)x2a，因为f(x)是R上的增函数，故f(x)x2a0在R上恒成立，即ax2，所以a0.经验证，a0时成立，故a0.延伸探究1.本例函数不变，若函数f(x)在 上是增函数，求实数a的最大值.即ax2恒成立，即a1，故实数a的最大值是1.经验证a1时成立，故amax1.2.本例函数不变，若函数f(x)在(2，)上是增函数，求实数a的取值范围.解由题意知f(x)x2a在(2，)上有f(x)x2a0恒成立，即ax2恒成立，即a4.经验证a4时成立，故a4.反思感悟(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“”时是否满足题意.(2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).跟踪训练1(1)函数y x3x2mx2是R上的单调函数，则m的取值范围是A.(，1)B.(，1C.(1，)D.1，)即yx22xm0或yx22xm0(舍)在R上恒成立，44m0，解得m1.(2)若函数 f(x)x312x在区间(k1，k1)上不单调，则实数 k的取值范围是A.(，31,13，)B.(3，1)(1,3)C.(2,2)D.不存在这样的实数k解析由题意得，f(x)3x2120在区间(k1，k1)上至少有一个实数根.又f(x)3x2120的根为2，且f(x)在x2或2两侧导数异号，而区间(k1，k1)的区间长度为2，故只有2或2在区间(k1，k1)内，k12k1或k12k1，1k3或3k1，故选B.二、比较大小二、比较大小例2(1)已知实数x，y满足2x2xy B.xyC.x0，所以函数f(t)在R上是增函数，由题意得f(x)f(y)，所以xy.故f(x)在(0，)上是增函数，又e，故f(e)f()B.f(e)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(e)f(d)解析由导函数f(x)的大致图象知，当xc时，f(x)0恒成立，f(x)为增函数，又abf(b)f(a).三、函数图象的增长快慢的比较三、函数图象的增长快慢的比较问题问题3观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？提示由图象可知若f(x)0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f(x)0，则f(x)是减函数，显然 越大，函数f(x)减少的就越快.函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上：知识梳理知识梳理导数的绝对值 函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)注意点：分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系.例3如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是解析由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C.反思感悟如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.跟跟踪踪训训练练3若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是解析函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，对任意的ax1x2b，有f(a)f(x1)f(x2)f(b)，即在a，x1，x2，b处它们的斜率是依次增大的.A满足上述条件；对于B，存在x1f(x2)；对于C，对任意的ax1x2b，都有f(x1)f(x2)；对于D，对任意的xa，b，f(x)不满足逐渐递增的条件，故选A.1.知识清单：(1)根据函数的单调性求参数的取值范围.(2)根据单调性比较大小.(3)函数图象增长快慢的比较.2.方法归纳：分类讨论、数形结合.3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象的大致形状是解析由已知图象可知，f(x)先减后增再单调性不变，则f(x)先小于零后大于零最后等于0.123412342.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是A.f(a)f(b)f(0)B.f(0)f(c)f(d)C.f(b)f(0)f(c)D.f(c)f(d)f(e)解析由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上是增函数，在(b，c)上是减函数，所以f(a)f(0)f(c)，B，C错误；f(c)f(d)1时，g(x)1，b1.1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.设函数f(x)2xsin x，则A.f(1)f(2)B.f(1)0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)0 B.k1 C.k0 D.k1所以kx22x，因为x22x(x1)211，所以k1.12345678910 11 12 13 14 15 163.已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a等于解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，即2x2a在x(1,2)时恒成立，有a2，a2.4.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，有f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0 D.f(x)0，g(x)0时，f(x)0，g(x)0，f(x)，g(x)在(0，)上都是增函数，f(x)在(，0)上是增函数，g(x)在(，0)上是减函数，当x0，g(x)2当a0时，2x200ac12345678910 11 12 13 14 15 169.已知函数f(x)x3ax1.(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；解由f(x)，得f(x)3x2a.因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0对xR恒成立，即a3x2对xR恒成立，只需a(3x2)min，而(3x2)min0，所以a0，经检验，当a0时，符合题意，故a的取值范围是(，0.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，求实数a的取值范围.解因为函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，所以f(x)0，得x3；若f(x)0，得0 x3，f(x)的增区间是(3，)，减区间是(0,3).12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，求a的取值范围；则a2x24x2恒成立，令g(x)2x24x22(x1)2，则ag(x)min即可，而g(x)在2，)上的最小值为g(2)2.a2.12345678910 11 12 13 14 15 16(3)若f(x)存在减区间，求a的取值范围.即g(x)2x24x2a0，即a0.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.若函数f(x)(x2cx5)ex在 区间上是增函数，则实数c的取值范围是A.(，2 B.(，4C.(，8 D.2,4解析易得f(x)x2(2c)xc5ex.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示，则不等式 的解集为解析若图中实线部分曲线为函数yf(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数yf(x)的图象，由导函数yf(x)的图象可知，若图中实线部分曲线为导函数yf(x)的图象，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16令h(x)2x22bx1，14.已知函数f(x)x312x，若f(x)在区间(2m，m1)上是减函数，则实数m的取值范围是_.解析令f(x)0，即3x2120，解得2x2.f(x)的减区间为2,2，由题意得(2m，m1)2,2，1,1)12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag ，b ，cg(3)，则a，b，c的大小关系为A.abc B.cbaC.bac D.bc0时，f(x)f(0)0，且f(x)0，又g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)0，g(x)在(0，)上是增函数，且g(x)xf(x)为偶函数，ag(log25.1)g(log25.1)，又2log25.13,120.82，由g(x)在(0，)上是增函数，ba0时，解得1x1；当f(x)1.故函数f(x)的增区间是(1,1)，减区间是(1，).12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若函数f(x)在区间1，)上是减函数，求实数a的取值范围.12345678910 11 12 13 14 15 16易求得在区间1，)上，g(x)0，故g(x)在区间1，)上是增函数，解因为函数f(x)在区间1，)上是减函数，12345678910 11 12 13 14 15 16