1、苏教版2019版高中数学选择性必修第一册第4章数列知识点清单目录第4章数列4. 1 数列4. 2 等差数列4. 3 等比数列4. 4 数学归纳法第 16 页 共 16 页第4章数列4. 1 数列一、数列的相关概念1. 数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项. 2. 数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中a1称为数列an的第1项或首项，a2称为第2项an称为第n项. 3. 数列的分类(1)按项数可分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的变化趋势可分为递增数列(an+1an)、递减数列(an+1an，有些项满足 an+1an(n
2、N*)；数列an递减an+10时，数列an为递增数列；当d0，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；(2)若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. 2. 求等差数列(公差d0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法(1)用配方法转化为求解二次函数的最大(小)值问题，解题时要注意nN*；(2)邻项异号法：可利用an0，an+10或an0，an+10来寻找正、负项的分界点. 3. 一般地，在等差数列an中，当a10，且Sp=Sq(pq)时，若p+q为偶数，则当n=p+q2时，Sn最大；若p+q为奇数，则当n=p+q12时，Sn最大. 七、与等差数列有关的数列求和1. 倒序相加法求和在数列
3、an中，如果与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，且此两项的和为同一个常数，那么可把正着写求和与倒着写求和的两个式子相加，通过求常数列的和的方法求数列an的前n项和，这种数列求和的方法称为倒序相加法. 2. 裂项相消法求和(1)根据数列通项公式的特点，将通项公式裂项写成两项差的形式，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而达到求和的目的，这种数列求和的方法称为裂项相消法. 常见的裂项技巧：等差型：(i) 1n(n+k)=1k1n1n+k；(ii) 1(kn1)(kn+1)=121kn11kn+1. 无理型： 1n+k+n=1k (n+k-). 指数型： (a1)an(an+1+k)(an+
4、k)=1an+k-1an+1+k. 通项裂项为“+”型(通常在通项中含有(-1)n乘一个分式中应用)：(i)(-1)n2n+1n(n+1)=(-1)n1n+1n+1；(ii)(-1)n(3n+1)2nn(n+1)=(-1)n2nn+2n+1n+1. 3. 1n2的常见放缩形式：(1) 1n21n(n+1)=1n-1n+1；(3) 1n2=44n20，且q1时，an=a1qn-1=a1qqn可以看成关于n的指数型函数. 三、等比中项若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，此时G2=ab. 四、等比数列的性质1. 单调性a10a100q1单调递增单调递减q0且a1)是公差为logaq的等
5、差数列. 五、等比数列的判定(证明)1. 判定一个数列是不是等比数列的方法(1)定义法：若数列an满足anan1=q(q是常数且不为0，n2，nN*)或an+1an=q(q是常数且不为0，nN*)an是等比数列；(2)等比中项法： an+12=anan+2(an0，nN*)an是等比数列；(3)通项公式法：若数列的通项公式是形如an=kqn(k，q是不为0的常数)，则数列an是等比数列. 其中，定义法和等比中项法可作为证明一个数列是不是等比数列的依据. 2. 用anan1=q(q是常数且不为0，n2)证明等比数列时，要保证a2a1=q，否则不满足等比数列的定义. 六、等比数列通项公式的求解及应
6、用1. 等比数列an的通项公式an=a1qn-1中含有四个量：a1，q(q0)，n，an，可知三求一. 2. 等比数列通项公式的变形(1)an=amqn-m：表明已知等比数列an中的一项am及公比q，可以求出等比数列中的任意一项an；(2)qn-m=anam (m，nN*)：表明已知等比数列an中的任意两项an和am，可以求出公比q. 3. 构造等比数列求通项公式当数列an不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列. 利用等比数列的通项公式求出包含an的关系式，进而求出an. 常见类型有：(1)an+1=can+d(c1，cd0)可化归为an+1-d1c=cand1c，当a1
7、-d1c0时，数列and1c为等比数列；也可消去常数项，由an+1=can+d，an=can-1+d(n2，nN*)，两式相减，得an+1-an=c(an-an-1)，当a2-a10时，数列an+1-an是公比为c的等比数列. (2)an+1=can+dn(cd0，cd)可化归为an+1-dn+1dc=candndc或将递推公式两边同除以dn+1化为(1)型或两边同除以cn+1，累加求通项. (3)an+1=can+dn+t(cdt0，c1)可化归为an+1-t1c=cant1c+dn，即(2)型. 七、等比数列性质的应用1. 与等比数列有关的问题中，常常涉及次数较高的指数运算，若按常规的解题
8、方法，则需建立关于a1，q的方程组求解，这种方法运算量比较大，如果结合等比数列的有关性质(如若m+n=p+q(m，n，p，qN*)，则aman=apaq)来求解，那么会简化运算过程. 2. 在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 4. 3. 3等比数列的前n项和一、等比数列的前n项和1. 等比数列前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比求和公式Sn=a1(1qn)1q(q1)，na1q=1 Sn=a1anq1q(q1)，na1q=1 2. 等比数列前n 项和公式的函数特征(1)当q=1时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数. (2)当公比q0且q1时，等
9、比数列的前n项和公式Sn=a1(1qn)1q可以变形为Sn=-a11qqn+a11q，设A=a1q1，则Sn=A(qn-1)，即Sn是关于n的指数型函数. 二、等比数列前n 项和的性质已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，则利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可推得Sn有如下性质：(1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm，m，nN*. (2)当q-1或q=-1且k为奇数时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，是等比数列. (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和. 若项数为2n，则S偶S奇=q；若项数为2n+1，则S奇a1S偶=q. (4)当q=1时， SnSm=nm；当q
10、1时， SnSm=1qn1qm. 三、等比数列前n项和基本量的求解等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，n，q，Sn，这五个量可以“知三求二”，一般通过等比数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求基本量，注意一些解题技巧，如用约分或两式相除的方法进行消元，整体代换的应用a11q可以看作一个整体等. 四、等比数列前n项和的性质及应用在等比数列前n项和的有关问题中，把握好等比数列前n项和性质的使用条件，恰当运用性质能帮助我们简化运算，快速解题. 五、与等比数列有关的数列求和1. 分组求和法一般地，若an，bn中一个是等差数列，一个是等比数列，则常用分组求和法求数列anbn的前n
11、项和，即先分别求an，bn的前n项和，再将两个和式合在一起. 2. 错位相减法已知数列an为等差数列，数列bn为公比不为1的等比数列，由这两个数列组成的新数列为anbn，在求该数列的前n项和时，常常将anbn的各项乘bn的公比q，并向后错位一项，与anbn中q的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种求数列前n项和的方法称为错位相减法. 若公比不确定，则需对其进行分类讨论. 求和过程如下：设数列anbn的前n项和是Sn，等差数列an的首项是a1，公差是d，等比数列bn的首项是b1，公比是q，则当q=1时，Sn=b1(a1+a2+an)=b1na1+n(n1)2d；当q1时，Sn=a1b1
12、+a2b2+a3b3+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+anb1qn-1，qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+an-1b1qn-1+anb1qn，Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn，由等差数列的定义知a2-a1=a3-a2=an-an-1=d，(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+db1qn-1-anb1qn=a1b1+db1(q+q2+qn-1)-anb1qn，q1，Sn=a1b1anb1qn1q+db1q(1qn1)(1q)2. 4. 4 数学归纳法一、数学归纳法一般地，证明一
13、个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：(1)证明当n=n0(n0N*)时命题成立；(2)假设当n=k(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法. 二、 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立，得n=k+1时成立，主要方法有比较法、放缩法等. 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小. 对第二类往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误的情况，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明. 三、用“归纳猜想证明”解决与递推公式有关的数列问题1. “归纳猜想证明”的解题步骤、
