苏教版高中数学选择性必修一第5章5.2.2《函数的和、差、积、商的导数》教案及课件.zip

5.2.2函数的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数学习目标 1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数导语同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容一、f(x)g(x)的导数问题令 yf(x)g(x)，如何求该函数的导数？提示yfxxgxxfxgx；yxfxxgxxfxgxxfxxfxxgxxgxx，ylim x0 yxlim x0 fxxfxxgxxgxxf(x)g(x)所以有f(x)g(x)f(x)g(x)知识梳理两个函数和或差的导数：f(x)g(x)f(x)g(x)注意点：推广f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)例 1求下列函数的导数：(1)yx5x3cos x；(2)ylg xex.解(1)y(x5)(x3)(cos x)5x43x2sin x.(2)y(lg xex)(lg x)(ex)1xln 10ex.反思感悟两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可跟踪训练 1求下列函数的导数：(1)f(x)15x543x3；(2)g(x)lg xex.解(1)f(x)15x543x3，f(x)x44x2.(2)g(x)lg xex，g(x)1xln 10ex.二、f(x)g(x)和fxgx的导数知识梳理1(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，特别地，(Cf(x)Cf(x)(C 为常数)2.(fxgx)fxgxfxgxg2x(g(x)0)注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式例 2求下列函数的导数：(1)yx2xln x；(2)yln xx2；(3)yexx；(4)y(2x21)(3x1)解(1)y(x2xln x)(x2)(xln x)2x(x)ln xx(ln x)2xln xx1x2xln x1.(2)y(ln xx2)ln xx2ln xx2x41xx22xln xx412ln xx3.(3)y(exx)exxexxx2exxexx2.(4)方法一y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)4x(3x1)(2x21)312x24x6x2318x24x3.方法二y(2x21)(3x1)6x32x23x1，y(6x32x23x1)(6x3)(2x2)(3x)(1)18x24x3.反思感悟(1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算跟踪训练 2求下列函数的导数：(1)y2x33xx1xx；(2)yx21x23；(3)y(x1)(x3)(x5)解(1)313122223yxxxx，135222233322yxxxx.(2)方法一yx21x23x21x23x2322xx232xx21x2324xx232.方法二yx21x23x232x2312x23，y(12x23)(2x23)2x232x23x2324xx232.(3)方法一y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5)x39x223x15，y(x39x223x15)3x218x23.三、导数四则运算法则的应用例 3(1)曲线 yxln x 上的点到直线 xy20 的最短距离是()A.2 B.22 C1 D2答案B解析设曲线 yxln x 在点(x0，y0)处的切线与直线 xy20 平行yln x1，kln x011，解得 x01，y00，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线 xy20 的距离为 d|102|1122，即曲线 yxln x 上的点到直线 xy20 的最短距离是22.(2)设 f(x)aexbln x，且 f(1)e，f(1)1e，求 a，b 的值解f(x)(aex)(bln x)aexbx，由 f(1)e，f(1)1e，得Error!Error!解得Error!Error!所以 a，b 的值分别为 1,0.反思感悟(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题跟踪训练 3(1)已知函数 f(x)aln xx1bx，曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 x2y30，则 a，b 的值分别为_答案1,1解析f(x)a(x1xln x)x12bx2.由于直线 x2y30 的斜率为12，且过点(1,1)，故Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!(2)曲线 yf(x)2e(x1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为_答案1解析由题意可知，f(x)2exex，f(1)2，切线方程为 y2(x1)，即 2xy20.令 x0 得 y2；令 y0 得 x1.曲线 y2e(x1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为 S12211.1知识清单：(1)导数的运算法则(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数(3)导数四则运算法则的应用2方法归纳：公式法、转化法3常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则1函数 yx(x21)的导数是()Ax21 B3x2 C3x21 D3x2x答案C解析yx(x21)x3x，y(x3x)(x3)x3x21.2已知 f(x)ax33x22，若 f(1)4，则 a 的值是()A.193 B.163 C.133 D.103答案D解析f(x)3ax26x，f(1)3a64，a103.3若函数 f(x)12f(1)x22x3，则 f(1)的值为()A1 B0 C1 D2答案A解析因为 f(x)12f(1)x22x3，所以 f(x)f(1)x2.所以 f(1)f(1)(1)2，所以 f(1)1.4已知函数 f(x)exsin x，则曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_答案yx解析f(x)exsin x，f(x)ex(sin xcos x)，f(0)1，f(0)0，曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 y01(x0)，即 yx.课时对点练课时对点练1(多选)下列运算中正确的是()A(ax2bxc)a(x2)b(x)B(sin x2x2)(sin x)2(x2)C.(sin xx2)sin xx2x2D(cos xsin x)(cos x)sin xcos x(sin x)答案AD解析A 项中，(ax2bxc)a(x2)b(x)，故正确；B 项中，(sin x2x2)(sin x)2(x2)，故错误；C 项中，(sin xx2)sin xx2sin xx2x22，故错误；D 项中，(cos xsin x)(cos x)sin xcos x(sin x)，故正确2曲线 f(x)13x3x25 在 x1 处的切线的倾斜角为()A.6 B.34 C.4 D.3答案B解析因为 f(x)x22x，kf(1)1，所以在 x1 处的切线的倾斜角为34.3设 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0等于()Ae2 Be C.ln 22 Dln 2答案B解析f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，由 f(x0)2，得 ln x012，即 ln x01，解得 x0e.4若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于()A1 B2 C2 D0答案B解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.5设 f(x)x22x4ln x，则 f(x)0 的解集为()A(0，)B(1,0)(2，)C(2，)D(1,0)答案C解析f(x)的定义域为(0，)，又由 f(x)2x24x2x2x1x0，解得 x2，所以f(x)0 的解集为(2，)6(多选)当函数 yx2a2x(a0)在 xx0处的导数为 0 时，那么 x0可以是()Aa B0 Ca Da2答案AC解析y(x2a2x)2xxx2a2x2x2a2x2，由 x2 0a20 得 x0a.7已知函数 f(x)x3mx3，若 f(1)0，则 m_.答案3解析因为 f(x)3x2m，所以 f(1)3m0，所以 m3.8已知函数 f(x)f(4)cos xsin x，则 f(4)的值为_答案1解析f(x)f(4)sin xcos x，f(4)f(4)2222，得 f(4)21.f(x)(21)cos xsin x，f(4)1.9求下列函数的导数：(1)yln x1x；(2)ycos xex；(3)f(x)(x29)(x3x)；(4)f(x)sin xxn.解(1)y(ln x1x)(ln x)(1x)1x1x2.(2)y(cos xex)(cos x)excos x(ex)(ex)2sin xcos xex.(3)f(x)x36x27x，f(x)3x227x26.(4)f(x)sin xxnsin xxnxn2xncos xnxn1sin xx2nxcos xnsin xxn1.10已知函数 f(x)ax2bx3(a0)，其导函数 f(x)2x8.(1)求 a，b 的值；(2)设函数 g(x)exsin xf(x)，求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程解(1)因为 f(x)ax2bx3(a0)，所以 f(x)2axb，又 f(x)2x8，所以 a1，b8.(2)由(1)可知 g(x)exsin xx28x3，所以 g(x)exsin xexcos x2x8，所以 g(0)e0sin 0e0cos 02087，又 g(0)3，所以曲线 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37(x0)，即 7xy30.11已知曲线 f(x)x2ax1在点(1，f(1)处切线的倾斜角为34，则实数 a 等于()A1 B1 C7 D7答案C解析f(x)2xx1x2ax12x22xax12，又 f(1)tan 341，a7.12已知曲线 f(x)(xa)ln x 在点(1，f(1)处的切线与直线 2xy0 垂直，则 a 等于()A.12 B1 C32 D1答案C解析因为 f(x)(xa)ln x，x0，所以 f(x)ln x(xa)1x，所以 f(1)1a.又因为 f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 2xy0 垂直，所以 f(1)12，所以 a32.13如图，有一个图象是函数 f(x)13x3ax2(a21)x1(aR，且 a0)的导函数的图象，则 f(1)等于()A.13 B13 C.73 D13或53答案B解析f(x)x22axa21，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是 y 轴，此时 a0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数 f(x)的导函数的图象 由图(3)知 f(0)0，即 f(0)a210，得 a21，又由图(3)得对称轴为2a2a0，则 a0，解得 a1.故 f(x)13x3x21，所以 f(1)13.14已知函数 f(x)Error!Error!若 f(a)12，则实数 a 的值为_答案14或4解析f(x)Error!Error!若 f(a)12，则Error!Error!或Error!Error!解得 a14或 a4.15等比数列an中，a12，a84，函数 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则 f(0)_.答案4 096解析因为 f(x)(x)(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以 f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以 a1a8a2a7a3a6a4a58，所以 f(0)842124 096.16已知函数 f(x)axx2b，且 f(x)的图象在 x1 处与直线 y2 相切(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 P(x0，y0)为 f(x)图象上的任意一点，直线 l 与 f(x)的图象切于 P 点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解(1)由题意得 f(x)axx2baxx2bx2b2ax2b2ax2x2b2ax2abx2b2，因为 f(x)的图象在 x1 处与直线 y2 相切，所以Error!Error!解得Error!Error!则 f(x)4xx21.(2)由(1)可得，f(x)4x24x212，所以直线 l 的斜率kf(x0)44x2 0 x2 01242x2 0121x2 01，令 t1x2 01，则 t(0,1，所以 k4(2t2t)8(t14)212，则在对称轴 t14处取到最小值12，在 t1 处取到最大值 4，所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是12，4.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件函数的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容.导导 语语一、一、f(x)g(x)的导数的导数问题令yf(x)g(x)，如何求该函数的导数？f(x)g(x).所以有f(x)g(x)f(x)g(x).两个函数和或差的导数：f(x)g(x).注意点：推广f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x).知识梳理知识梳理f(x)g(x)例1求下列函数的导数：(1)yx5x3cos x；(2)ylg xex.反思感悟两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可.跟踪训练1求下列函数的导数：f(x)x44x2.(2)g(x)lg xex.解g(x)lg xex，1.(f(x)g(x)，特别地，(Cf(x)(C为常数).知识梳理知识梳理f(x)g(x)f(x)g(x)Cf(x)注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式.例2求下列函数的导数：(1)yx2xln x；解y(x2xln x)(x2)(xln x)2x(x)ln xx(ln x)2xln x1.(4)y(2x21)(3x1).解方法一y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)4x(3x1)(2x21)312x24x6x2318x24x3.方法二y(2x21)(3x1)6x32x23x1，y(6x32x23x1)(6x3)(2x2)(3x)(1)18x24x3.反思感悟(1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.跟踪训练跟踪训练2求下列函数的导数：解 ，.(3)y(x1)(x3)(x5).解方法一y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5)x39x223x15，y(x39x223x15)3x218x23.三、导数四则运算法则的应用三、导数四则运算法则的应用例3(1)曲线yxln x上的点到直线xy20的最短距离是解析设曲线yxln x在点(x0，y0)处的切线与直线xy20平行.yln x1，kln x011，解得x01，y00，即切点坐标为(1,0).(2)设f(x)aexbln x，且f(1)e，f(1)，求a，b的值.反思感悟(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式.(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题.跟跟踪踪训训练练3(1)已知函数f(x)，曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为x2y30，则a，b的值分别为_.1,1(2)曲线yf(x)(x1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为_.1切线方程为y2(x1)，即2xy20.令x0得y2；令y0得x1.1.知识清单：(1)导数的运算法则.(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.(3)导数四则运算法则的应用.2.方法归纳：公式法、转化法.3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.函数yx(x21)的导数是A.x21 B.3x2 C.3x21 D.3x2x解析yx(x21)x3x，y(x3x)(x3)x3x21.123412342.已知f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是解析f(x)3ax26x，f(1)3a64，12343.若函数f(x)f(1)x22x3，则f(1)的值为A.1 B.0 C.1 D.2所以f(x)f(1)x2.所以f(1)f(1)(1)2，所以f(1)1.12344.已知函数f(x)exsin x，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_.解析f(x)exsin x，f(x)ex(sin xcos x)，f(0)1，f(0)0，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为y01(x0)，即yx.yx课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.(多选)下列运算中正确的是A.(ax2bxc)a(x2)b(x)B.(sin x2x2)(sin x)2(x2)D.(cos xsin x)(cos x)sin xcos x(sin x)12345678910 11 12 13 14 15 16解析A项中，(ax2bxc)a(x2)b(x)，故正确；B项中，(sin x2x2)(sin x)2(x2)，故错误；D项中，(cos xsin x)(cos x)sin xcos x(sin x)，故正确.12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为f(x)x22x，kf(1)1，12345678910 11 12 13 14 15 163.设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于解析f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，由f(x0)2，得ln x012，即ln x01，解得x0e.12345678910 11 12 13 14 15 164.若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于A.1 B.2 C.2 D.0解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.12345678910 11 12 13 14 15 165.设f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为A.(0，)B.(1,0)(2，)C.(2，)D.(1,0)解析f(x)的定义域为(0，)，所以f(x)0的解集为(2，).12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)当函数y (a0)在xx0处的导数为0时，那么x0可以是A.a B.0 C.a D.a212345678910 11 12 13 14 15 167.已知函数f(x)x3mx3，若f(1)0，则m_.解析因为f(x)3x2m，所以f(1)3m0，所以m3.312345678910 11 12 13 14 15 16112345678910 11 12 13 14 15 169.求下列函数的导数：12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数f(x)2x8.(1)求a，b的值；解因为f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又f(x)2x8，所以a1，b8.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)设函数g(x)exsin xf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程.解由(1)可知g(x)exsin xx28x3，所以g(x)exsin xexcos x2x8，所以g(0)e0sin 0e0cos 02087，又g(0)3，所以曲线g(x)在x0处的切线方程为y37(x0)，即7xy30.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.已知曲线f(x)在点(1，f(1)处切线的倾斜角为 ，则实数a等于A.1 B.1 C.7 D.712.已知曲线f(x)(xa)ln x在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0垂直，则a等于解析因为f(x)(xa)ln x，x0，所以f(1)1a.又因为f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0垂直，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.如图，有一个图象是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，且a0)的导函数的图象，则f(1)等于12345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)x22axa21，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象.由图(3)知f(0)0，即f(0)a210，得a21，12345678910 11 12 13 14 15 1614.已知函数f(x)若f(a)12，则实数a的值为_.12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)_.4 09612345678910 11 12 13 14 15 16解析因为f(x)(x)(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a1a8a2a7a3a6a4a58，所以f(0)842124 096.12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知函数f(x)，且f(x)的图象在x1处与直线y2相切.(1)求函数f(x)的解析式；因为f(x)的图象在x1处与直线y2相切，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.12345678910 11 12 13 14 15 16