1、苏教版2019版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用知识点清单目录第5章导数及其应用5. 1 导数的概念5. 2 导数的运算5. 3 导数在研究函数中的应用 第 1 页 共 14 页第5章导数及其应用5. 1 导数的概念一、平均变化率1. 函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为f(x2)f(x1)x2x1. 2. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 二、曲线上一点处的切线1. 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C. 当点Q无限逼近点P时，直线
2、PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线. 三、 瞬时速度与瞬时加速度1. 瞬时速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0+t)S(t0)t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率. 2. 瞬时加速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v(t0+t)v(t0)t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率. 第 14 页 共 14 页四、瞬时变化率导数1. 函数在一点处的导数设函数y=f(x)在
3、区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值yx=f(x0+x)f(x0)x无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f (x0). 通常又可表示为f (x0)= limx0f(x0+x)f(x0)x. 函数y=f(x)在x=x0处的导数还可以记作y|x=x0. 2. 导数的几何意义导数f (x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0， f(x0)处的切线的斜率. 3. 导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(
4、x)的导函数，记作f (x). f(x)在x=x0处的导数f (x0)就是导函数f (x)在x=x0处的函数值. 在不引起混淆时，导函数f (x)也简称为f(x)的导数. 五、平均变化率与瞬时变化率1. 平均变化率：对于函数y=f(x)，在自变量x从x0变化到x1的过程中，若设x=x1-x0，y=f(x1)-f(x0)，则称yx=f(x1)f(x0)x1x0为函数f(x)在点x0附近的平均变化率. 2. 瞬时变化率：在上述过程中，当x无限趋近于0，即x1无限趋近于x0时，称yx=f(x0+x)f(x0)x为f(x)在x=x0处的瞬时变化率. 3. 平均变化率与瞬时变化率是两个不同的概念，但可以
5、用平均变化率的值来估算瞬时变化率的值，当x无限趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数即为瞬时变化率. 六、求函数在某点处的导数1. 导数定义的等价形式y=limx0f(x)f(x+x)x；y=limx0 f(xx)f(x)x；y=limxx0f(x)f(x0)xx0. 注意自变量之差与函数值之差要相互对应. 2. 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤(1)求函数的增量：y=f(x0+x)-f(x0)；(2)求平均变化率： yx=f(x0+x)f(x0)x；(3)取极限，得导数：f(x0)= limx0yx. 七、求曲线的切线方程1. 曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程(
6、1)点P(x0， f(x0)为切点；(2)切线斜率k=f(x0)；(3)切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 2. 曲线y=f(x)过点P(x0， f(x0)的切线方程(1)点P可能是切点，也可能不是切点；(2)如果点P不是切点，则切线可能不止一条，切线条数与切点个数有关，此时求切线方程的一般步骤如下：设出切点(x1， f(x1)；求出函数f(x)在点(x1， f(x1)处的导数f(x1)；写出切线方程：y-f(x1)=f(x1)(x-x1)，将(x0，f(x0)代入，求得x1；将x1代入切线方程，化简得到最终方程. 3. 注意(1)直线l与曲线C有唯一公共点时，直线l不一定是曲
7、线的切线，如图中的直线l1. (2)当直线l与曲线C有不止一个公共点时，直线l也可能是曲线C的切线，如图中的直线l2，其中N是切点. 5. 2 导数的运算一、几个常用函数的求导公式(1)(kx+b)=k(k，b为常数)； (2)C=0(C为常数)；(3)x=1； (4)(x2)=2x；(5)(x3)=3x2； (6) 1x=-1x2；(7)( x)=12x. 二、基本初等函数的求导公式原函数导函数f(x)=x(为常数)f (x)=x-1f(x)=ax(a0，且a1)f (x)=axln af(x)=exf (x)=exf(x)=logax(a0，且a1)f (x)= 1xlnaf(x)=ln
8、xf (x)= 1xf(x)=sin xf (x)=cos xf(x)=cos xf (x)=-sin x三、函数的和、差、积、商的求导法则1. 设函数f(x)，g(x)均可导，且其导数分别为f(x)，g(x)，则和的导数f(x)+g(x)=f (x)+g(x)差的导数f(x)-g(x)=f (x)-g(x)积的导数Cf(x)=Cf (x)(C为常数)，f(x)g(x)=f (x)g(x)+f(x)g(x)商的导数f(x)g(x)=f (x)g(x)f(x)g(x)g2(x) (g(x)0)四、简单复合函数的导数一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)，它的导
9、数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux. 五、利用导数的四则运算法则求导1. 利用导数的四则运算法则求导的策略(1)若待求导的函数是两个函数商的形式，则可先对函数进行适当变形，再求导. (2)对于多个整式乘积形式的函数，可以考虑展开，化为和、差形式，再求导. (3)对于三角函数，可考虑先进行恒等变形，再求导. 六、复合函数的导数1. 复合函数求导的步骤2. 求复合函数的导数的注意点(1)通常是将复合函数分解为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简单. 七、利用导数运算解决切线问题1. 切线问题的处理思路(1)对函数进行求导；(2)若已知切
10、点，则直接求出切线斜率、切线方程；(3)若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求出切点坐标. 在解决此类问题时，求函数的导数是基础，找出切点是关键. 5. 3 导数在研究函数中的应用5. 3. 1单调性一、导数与函数的单调性的联系1. 由导数符号判断函数单调性对于函数y=f(x)，如果在某区间上f (x)0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某区间上f(x)0或f(x)g(x)，构造h(x)=f(x)-g(x)，特殊地，若遇到f(x)a(a0)，即导函数大于某个非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构造h(x)=f(x)-ax. (2)对于f(x)+g(x)0，构造h(x
11、)=f(x)+g(x). (3)对于f(x)+f(x)0，构造h(x)=exf(x). (4)对于f(x)-f(x)0，构造h(x)= f(x)ex. (5)对于xf(x)+f(x)0，构造h(x)=xf(x). (6)对于xf(x)-f(x)0，构造h(x)= f(x)x. (7)对于f(x)f(x)0，分类讨论：若f(x)0，则构造h(x)=ln f(x)；若f(x)g(x)(x(a，b)移项，构造函数F(x)=f(x)-g(x)，转化为证明F(x)0. (2)确定函数的单调性，若F(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数；若F(x)0，即f(x)g(x)；若F(x)是减函数，且F(b)
12、0，则当x(a，b)时， f(x)-g(x)0，即f(x)g(x). 5. 3. 2极大值与极小值一、函数极值、极值点的概念1. 极大值与极大值点一般地，若存在0，当x(x1-，x1+)时，都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值，称x1为函数f(x)的一个极大值点. 2. 极小值与极小值点一般地，若存在0，当x(x2-，x2+)时，都有f(x)f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值，称x2为函数f(x)的一个极小值点. 3. 极值与极值点函数的极大值、极小值统称为函数的极值，函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点. 二、函数的极值与导数的关系1. 极
13、大值与导数之间的关系xx1左侧x1x1右侧f (x)f (x)0f (x)=0f (x)0f(x) 极大值f(x1)2. 极小值与导数之间的关系xx2左侧x2x2右侧f (x)f (x)0f(x) 极小值f(x2)三、利用导数解决函数的极值问题1. 求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求函数的导函数f(x)；(3)由f(x)=0，求出全部的根；(4)列表：方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数，则需根据参数的范围分类划分区间)，把x， f(x)， f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)得结论：若导数在根x0附近左正右负，则函数在x0处取得极
14、大值；若左负右正，则取得极小值. 2. 有关含参数的函数的极值问题(1)求含参数的函数的极值，要根据f(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论. 通常要考虑以下几个方面：方程f(x)=0有无实数根；方程f(x)=0的实数根是否在定义域内；方程f(x)=0的实数根的大小. (2)由极值求参数的值或取值范围，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. 解题步骤如下：求函数的导函数f(x)；由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. 四、利用函数极值解决函数零点(方程的根)问题1. 利用导数可以判断函数的单调性，
15、研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 2. 利用导数解决函数问题中，函数的零点问题是比较复杂的综合问题，常常在高考压轴题中出现. 解决此类问题可通过极值的正用和逆用，分类讨论、数形结合等思想方法进行有效处理，解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法. 5. 3. 3最大值与最小值一、求函数的最大值与最小值的步骤1. 求函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值可以分为两步：第一步：求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步：将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)
16、在区间a，b上的最大值与最小值. 注意：函数的最大(小)值是相对于函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么最大(小)值唯一. 二、利用导数解决含参函数的最值问题1. 有关含参函数的最大(小)值问题，一般有两类：一类是求含参函数的最大(小)值，对于此类问题，由于参数的取值范围不同可能会导致函数的单调性变化，从而导致最大(小)值变化，所以解决此类问题常常需要分类讨论，在分类讨论得到函数的单调性和极值之后，讨论极值与端点值的大小得到最值. 另一类是由最大(小)值求参数的值或取值范围，此类问题是根据导数求函数最值问题的逆向运用，求解此类问题的步骤：(1)求导数f(x)，并求极值；(2)利用单调
17、性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，则要对参数进行分类讨论；(3)利用最值列出关于参数的方程(组)，求解即可. 三、利用导数解决与函数最值有关的不等式恒成立问题1. 利用函数的导数求函数的最大(小)值，可以处理有关函数图象、不等式等综合问题，特别是有关不等式的恒成立问题. 2. 处理不等式恒成立问题的方法(1)取主元(给定范围内任意取值的变量)，结合参数分类，利用最大(小)值或数形结合解决有关不等式的恒成立问题. (2)将主元与参数分离，将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题来解决. 在定义域内，对于任意的x，都有f(x)a成立，可转化为f(x
18、)mina；对于任意的x，都有f(x)a成立，可转化为f(x)maxa. 3. 证明不等式问题，可以将不等式问题转化为最大(小)值问题，利用函数的最大(小)值加以证明. 四、利用导数解决生活中的优化问题1. 实际生活中经常遇到利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 导数是解决生活中优化问题的有力工具. 利用导数解决生活中的优化问题的步骤如下：（1）设元：设出恰当的未知量，并确定未知量的取值集合（即函数的定义域）（2）列式：依题意将所求最值的量表示为未知量的函数（3）求导：求出函数的导数，令导数等于零，得到导数为0的点（4）求值：通过单调性确定处函数的最值2. 解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域. (2)一般地，可通过求函数的极值来求得函数的最值. 如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f (x)=0，则只需根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.
