1、苏教版2019版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程知识点清单目录第一章直线与方程1. 1 直线的斜率与倾斜角1. 2 直线的方程1. 3 两条直线的平行与垂直1. 4 两条直线的交点1. 5 平面上的距离第 12 页 共 12 页第一章直线与方程1. 1 直线的斜率与倾斜角一、直线的斜率1. 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1x2，那么直线l的斜率k=y2y1x2x1 (x1x2). 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 二、直线的倾斜角1. 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角称
2、为这条直线的倾斜角. 2. 规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. 因此，直线的倾斜角的取值范围是|0. 三、直线的斜率与倾斜角的对应关系1. 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角之间的关系为k=tan 2. 四、倾斜角和斜率的关系及其应用1. 当直线l的倾斜角0，2时，k0，且越大，斜率k越大；当直线l的倾斜角2，时，k0，且越大，斜率k越大；当直线l的倾斜角=2时，它的斜率不存在. k=tan 0，2的图象如图所示. 2. 由斜率k的范围截取函数图象，可得到倾斜角的范围；反过来，由倾斜角的范围截取函数图象，可得到斜率k的范围. 五、直线斜率的应用1. 求解三点共线问题若点A，B
3、，C都在某条斜率存在的直线上，则kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)；反之，若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)，则直线AB与AC(或AB与BC或AC与BC)的斜率相同，又过同一点A(或B或C)，所以点A，B，C在同一条直线上. 2. 求形如ybxa的代数式的范围(最值)问题形如ybxa的范围(最值)问题，可以利用ybxa的几何意义：过定点(a，b)与动点(x，y)的直线的斜率，并借助图形解决. 1. 2 直线的方程一、截距我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距；直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为直线l在x轴上的截距. (不是
4、距离，可正、可负、可为0)二、直线的方程名称方程形式已知条件适用范围点斜式方程 y-y1=k(x-x1)直线上一定点(x1，y1)，斜率k不垂直于x轴的直线斜截式方程y=kx+b斜率k，直线在y轴上的截距b不垂直于x轴的直线两点式方程yy1y2y1=xx1x2x1 (x1x2，y1y2)直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)不垂直于x轴和y轴的直线截距式方程xa+yb=1(a0，b0)直线在x轴、y轴上的非零截距a，b不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线一般式方程Ax+By+C=0(A，B不全为0)系数A，B，C任何位置的直线注：几种特殊的直线：(1)x轴：y=0；(2)y轴：x=0；(3)
5、平行于x轴的直线：y=b(b0)；(4)平行于y轴的直线：x=a(a0)；(5)过原点的直线：y=kx或x=0. 三、直线方程的合理选择和求解1. 直线方程的合理选择(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率. 注意斜率不存在的情况. (2)已知直线的斜率，一般选用斜截式方程，再由其他条件确定直线的截距. (3)已知两点坐标，一般选用两点式方程或点斜式方程，若两点是直线与坐标轴的交点，则选用截距式方程. 2. 求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时应注意各种形式方程的适用范围，必要时进行分类讨
6、论. (2)待定系数法：先设含有参数的直线方程，然后根据条件列出方程(组)，求出参数，最后将其代入得到直线方程. 注意：在求直线方程时，通常将结果化为一般式方程. 一般式方程的写法要求：(i)x的系数为非负数；(ii)x，y的系数都为整数；(iii)各项系数没有公约数. 四、利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题1. 对于含参数的直线方程，一般将方程整理成点斜式或斜截式，然后利用系数的几何意义，结合图形探求和证明过定点问题. 2. 根据斜截式方程中k，b的几何意义，可确定函数图象的位置分布. 1. 3 两条直线的平行与垂直一、两条直线(不重合)平行的判定类型斜率都存在斜率都不存在图示对应关系
7、l1l2k1=k2两直线斜率都不存在l1l2二、两条直线垂直的判定类型斜率都存在一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0图示对应关系l1l2k1k2=-1l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1l2三、两条直线平行1. 利用直线方程判定直线平行(1)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1l2k1=k2，且b1b2. (2)已知直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则l1l2A1B2A2B1=0，A1C2A2C10或A1B2A2B1=0，B1C2B2C10. 当A2B2C20时，l1l2A1A2=B
8、1B2C1C2. 2. 与已知直线平行的直线方程的设法(1)与直线y=kx+b平行的直线的方程可设为y=kx+m(mb)；(2)与直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0(mC). 四、两条直线垂直1. 利用直线方程判定直线垂直(1)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1l2k1k2=-1. (2)已知直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则l1l2A1A2+B1B2=0. 当B1B20时，l1l2A1B1A2B2=-1. 2. 与已知直线垂直的直线方程的设
9、法(1)与直线y=kx+b(k0)垂直的直线的方程可设为y=-1kx+m；(2)与直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0. 五、平行、垂直关系的应用1. 利用平行、垂直关系求参数已知两条直线平行、垂直关系求参数时，根据定点1、定点2中平行、垂直的判定条件建立方程(组)求解. 用点的坐标表示斜率，通过斜率列关系式时，要注意对参数的讨论. 2. 利用平行、垂直判断图形形状的步骤(1)描点：在坐标系中描出给定的点. (2)猜测：根据描出的点猜测图形的形状. (3)求斜率：若斜率不存在，则直接说明；若斜率存在，则根据给定点的坐标求出直线的斜率. (4)结论：由
10、斜率之间的关系判断图形形状. 注意在求解过程中既要考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情形. 1. 4 两条直线的交点一、两条直线的交点1. 设两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，将两条直线的方程联立，得到方程组：A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0. 若方程组有唯一解，则两条直线相交，以此解为坐标的点就是两直线的交点. 二、两条直线的位置关系与方程组解的联系已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0. 方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点一个无
11、数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行三、求过两条直线交点的直线方程的方法1. 直接法：求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出待求直线的方程. 2. 待定系数法：设经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)的直线方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(为任意实数)，然后根据条件求. 注意该设法中直线的方程可表示除l2外所有过两直线交点的直线. 四、求解直线过定点问题的常用方法1. 将直线方程转化为y-y0=k(x-x0)的形式，则直线必过定点(x0，y0). 2. 应用分离参
12、数的方法，将直线方程转化为a1x+b1y+c1+(a2x+b2y+c2)=0，由a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0 求出定点坐标. 3. 应用特殊值法，给方程中的参数赋两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，将其联立并求解，则解出的x，y的值分别为所求定点的横、纵坐标. 1. 5 平面上的距离一、两点间的距离平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为P1P2=(x2x1)2+(y2y1)2. 二、中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则x0=x1+x22，y0=y1+y22. 三、点到直线的距
13、离1. 点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0(A，B不全为0)的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2. 2. 两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不全为0，C1C2)间的距离d=|C1C2|A2+B2. 3. 注意：应用两条平行直线间的距离公式时，两条平行直线的方程需为一般式，且x，y的系数对应相等. 四、常见的对称问题1. 点关于点的对称求点P1(x1，y1)关于点P2(x2，y2)的对称点P(x，y)时，可由中点坐标公式得x2=x1+x2，y2=y1+y2，则有x=2x2x1，y=2y2y1. 2. 点关于直线的对称(1)如图，已知点P
14、(x，y)，直线l：Ax+By+C=0，求点P关于直线l的对称点P(x，y)的步骤如下：第一步，由直线PP和l垂直，得kPPkl=-1. 第二步，由线段PP的中点在直线l上，得x+x2，y+y2满足直线方程Ax+By+C=0，即Ax+x2+By+y2+C=0. 第三步，联立两式可以解出x，y. (2)点关于直线对称的常用结论：点(x0，y0)关于直线y=0(即x轴)的对称点为(x0，-y0)；点(x0，y0)关于直线x=0(即y轴)的对称点为(-x0，y0)；点(x0，y0)关于直线y=x的对称点为(y0，x0)；点(x0，y0)关于直线y=-x的对称点为(-y0，-x0)；点(x0，y0)关
15、于直线x=m(m0)的对称点为(2m-x0，y0)；点(x0，y0)关于直线y=n(n0)的对称点为(x0，2n-y0). 3. 直线关于点的对称：直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称. 4. 直线关于直线的对称已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程：(1)如果l1l2，则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(mC1，mC2)，然后在l1上找一点P(x，y)，求出点P关于直线l2的对称点P(x，y)，再将(x，y)代入A1x+B1y+m=0，即可解出m；(2)如果l1与l2相交，则先求出l1与l2的交点N，然
16、后在l1上确定一点M(不同于交点N)，找出点M关于l2的对称点M，由点N，M即可确定所求直线的方程. 五、对称在求最值中的应用1. 在直线l上求一点P，使P到两个定点的距离之和最小的求法(1)当两定点A，B在直线l的异侧时，如图，连接AB，线段AB交直线l于点P，此时AB与l的交点P到两定点的距离之和最小，最小值为线段AB的长. 在直线l上任取一点P，则PA+PBAB. (2)当两定点A，B在直线l的同侧时，如图，作点A关于直线l的对称点A，连接AB交直线l于点P，此时点P到两定点的距离之和最小. 2. 在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法(1)当两定点A，B在直线l的
17、同侧时(A，B连线与l不平行)，连接BA并延长，交直线l于点P. 此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为线段AB的长. 如图，在l上任意取一点P，则有|PB-PA|AB. (2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A，连接BA(BA所在直线与l不平行)并延长，交l于点P. 此时点P到两定点距离之差的绝对值最大，最大值为线段AB的长，即|PB-PA|=|PB-PA|=AB. 如图，在l上任取一点P，则有|PB-PA|=|PB-PA|AB. 六、平面上两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为P1P2=(x2x1)2+(y2y1)2.
18、 注：两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，即公式既可以写成P1P2=(x2x1)2+(y2y1)2，也可以写成P1P2=(x1x2)2+(y1y2)2，利用此公式可以实现几何问题与代数问题的相互转化. 七、点到直线的距离1. 应用点到直线的距离公式时的注意事项(1)当点在直线上时，点到该直线的距离为0，点到直线的距离公式仍然适用. (2)点到直线的距离公式对于直线的一般式方程中A=0或B=0的情况仍然适用. (3)在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式. 八、两条平行线之间的距离1. 当直线的方程为一般式时，可利用两平行线间的距离公式，其步骤如下：解题
19、时必须注意两直线方程中x，y的系数要对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式求解. 2. 当直线的方程为斜截式，即l1：y=kx+b1，l2：y=kx+b2，且b1b2时，d=|b1b2|k2+1. 3. 利用化归思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 九、在利用直线系方程证明平面几何问题的过程中培养学生数学抽象的核心素养直线系是指具有某种共同性质的直线的集合，在解析几何中，常见的直线系有平行直线系、垂直直线系、在两坐标轴截距满足一定关系的直线系、过定点的直线系等，利用直线系方程解决有关问题，可以把握研究对象的数学特征，将直线的几何性质与方程的代数特征结合起来，进一步理解数学结论的一般性，感悟通性通法的数学原理及其中蕴含的数学思想，有助于培养学生数学抽象的核心素养.
