江苏省南京重点中学2022-2023学年高三（上）入学数学试卷（Word版含答案解析）.docx

1、2022-2023学年江苏省南京一中高三（上）入学数学试卷一、单选题1已知集合Ax|x23x0，则AB（）ABCD（1，3）2已知复数z3+i，则（为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知ab0，且ab1，则正确的是（）A2a+b0Blog2a+log2b1CDlog2alog2b04若，则cos（）ABCD5在ABC中，若（）ABCD6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为棱AB上的动点，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，则下列结论正确的是（）A存在点E，使得ENMC1B存在点E，使得EMN为等腰三角形C三棱锥C1MNE的体积为定值

2、D存在点E，使得B1C1平面EMN7已知以F为焦点的抛物线C：y24x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A2BCD48已知，则a，b，c的大小关系为（）AbcaBbacCacbDabc二、多选题（多选）9一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）ABX+Y4CE（X）E（Y）D（多选）10对于函数和g（x）lnxln（2x1），则下列结论中正确的为（）A设f（x）的

3、定义域为M，g（x）的定义域为N，则NMB函数g（x）的图像在x1处的切线斜率为0C函数f（x）的单调减区间是（，0），D函数f（x）的图像关于点对称（多选）11已知函数f（x）2|sinx|cosx+cos2x，下列结论正确的是（）Af（x）是周期函数Bf（x）的图象关于原点对称Cf（x）的值域为Df（x）的单调递减区间为，kZ（多选）12已知椭圆C：（a2）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足动点Q满足，则下列结论正确的是（）Aa3B动点Q的轨迹方程为2x+3y60C线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为D线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为三、填空题13的展

4、开式中，x3y3的系数为 14某校抽调志愿者下派社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有 种15如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为线段B1C上异于B1C的动点，则下列四个命题：A1DB是等边三角形；平面A1ACC1平面A1BD；设CMx，则三棱锥A1ADM的体积随着x增大先减少后增大；连接D1M，总有D1M平面A1BD其中正确的命题是 16已知二次函数f（x）ax2+bx（a0），满足f（x+1）为偶函数，且方程f（x）x有两个相等的实数根，若存在区间m，n使得f（x）的值

5、域为3m，3n，则m+n 四、解答题17已知集合，Bx|ax2a+1（1）若a1，求AB；（2）若ABB，求实数a的取值范围18在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，满足条件a2+b2c22，（1）求ABC的面积SABC；（2）若c2，求sinAsinB的值19为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会，普及大运知识，某校开展了“大运”知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为四组：60，70），70，80），80，90），90，100，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在80，100内定义为“优秀”，成绩低于80分为“非

6、优秀”（1）求a的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；（2）请将22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？男生女生合计优秀30非优秀10合计参考公式及数据：K2，na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820已知四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E在AD上，且，BC3，O为AB的中点，PAPB，（1）证明：EC

7、PE；（2）求点E到平面POC的距离21已知双曲线1（1）过M（1，1）的直线交双曲线于A，B两点，若M 为AB的中点，求直线AB的方程（2）是否存在直线L，使N（1，）为L被双曲线所截弦的中点，若存在，求出L的方程，若不存在，说明理由22已知函数f（x）xexax3ax2（1）当a时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有三个极值点，求a的取值范围参考答案与试题解析一、单选题1已知集合Ax|x23x0，则AB（）ABCD（1，3）【分析】由已知先求出集合A，B，然后结合交集的运算即可求解【解答】解：因为Ax|x23x0（0，3），x|x，所以故选：B2已知复数z3+i，则（为z的共轭复数）

8、在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解【解答】解：z3+i，（为z的共轭复数）在复平面内对应的点（1，3）位于第三象限故选：C3已知ab0，且ab1，则正确的是（）A2a+b0Blog2a+log2b1CDlog2alog2b0【分析】直接利用基本不等式判断即可【解答】解：对于A选项：ab0，且ab1，a+b2，2a+b224，所以A错误对于B选项：log2a+log2blog2ablog2101，所以B选项正确对于C选项：ab0，且ab1，2a+2b，所以C错误对于D选项：ab0，且ab1，lo

9、g2alog2b，所以D错误故选：B4若，则cos（）ABCD【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，即可解出【解答】解：tan2，2sin（2sin）12sin2，sin，cos，故选：A5在ABC中，若（）ABCD【分析】根据|+|求得A90，进而求出各边长以及对应角，进而求解结论【解答】解：|+|，+2+2+，可得0，可得A90，又，故，所以故选：B6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为棱AB上的动点，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，则下列结论正确的是（）A存在点E，使得ENMC1B存在点E，使得EMN为等腰三角形C三棱锥C1MNE的体积为定值D存在点E，使得B1

10、C1平面EMN【分析】EN与MC1是异面直线可判断A；MN，ME，EN，可判断B；AB平面MC1N，所以E到平面MC1N的距离为定值，可判断C；假设B1C1平面EMN，可得出B1C1C1M，可判断D【解答】解：对于A：EN平面ABC1D1，又MC1平面ABC1D1，且C1EN，故EN与MC1是异面直线，故A错误；MN，ME，EN，故不存在点E，使得EMN为等腰三角形，故B错误；因为ABCDC1D1，所以AB平面MC1N，所以E到平面MC1N的距离为定值，又S为定值，故三棱锥C1MNE的体积为定值，故C正确；假设B1C1平面EMN，则B1C1MN，又B1C1C1N，又C1NMNN，所以B1C1平

11、面C1MN，又C1M平面C1MN，所以B1C1C1M，显然这是不可能的，故D错误故选：C7已知以F为焦点的抛物线C：y24x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A2BCD4【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离【解答】解：抛物线y24x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x1设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|BF|，x1+1（x2+1），x1x2+1|y1|y2|，x12x2，当1时，弦AB的中点到C的准线的距离2当1时，x1，x2，|AB|（x1+1）+（x2+1

12、），（+2）max则弦AB的中点到C的准线的距离d，d最大值是，弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是故选：B8已知，则a，b，c的大小关系为（）AbcaBbacCacbDabc【分析】设f9x）lnx（1），g（x）（x1），利用导数可得f（x）和g（x）在（1，+）的单调性，由单调性得f（）f（1）0，g（6）g（7），由此能判断a，b，c的大小关系【解答】解：由题意a，b，c，设f（x）lnx（1），则f（x），当x1时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（）f（1）0，即ln1，又ln0，ba设g（x）（x1），则，令h（x）xlnx（x1），则h（x）lnx+1，当x1时

13、，h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递增，当x1时，xlnx（x+1）ln（x+1），g（x）0，g（x）在（1，+）上单调递减，g（6）g（7），ac综上，bac故选：B二、多选题（多选）9一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）ABX+Y4CE（X）E（Y）D【分析】根据已知条件，利用超几何分布的性质，以及超几何的期望公式，即可求解【解答】解：由题意可知，X，Y均服从超几何分布，且X+Y

14、4，Z2X+Y，故B正确，P（Xk）（k0，1，2，3，4），P（X1），故A错误，E（Y）4E（X），E（X）E（Y），故C错误，E（Z）2E（X）+E（Y），故D正确故选：BD（多选）10对于函数和g（x）lnxln（2x1），则下列结论中正确的为（）A设f（x）的定义域为M，g（x）的定义域为N，则NMB函数g（x）的图像在x1处的切线斜率为0C函数f（x）的单调减区间是（，0），D函数f（x）的图像关于点对称【分析】根据对数的真数特点，导数的几何意义，复合函数的单调性，函数关于点对称特点即可求解【解答】解：对于A，Mx|0x|x或x0，又Nx|x0且2x10x|x，N是M的真子集，A正

15、确；对于B，g（x），g（1）1，即g（x）在x1处的切线斜率为1，B错误；对于C，f（x）的定义域是（，0）（，+），而函数y+，在区间（，0），（ ，+）上都是单调递减且值为正，又函数ylnx在其定义域上单调递增，复合后得到的f（x）ln在这两个区间上也是单调递减，C正确对于D，当x1+x2时，f（x1）+f（x2）ln+lnln2ln2，f（x）的图象关于点（，ln2）对称，D正确故选：ACD（多选）11已知函数f（x）2|sinx|cosx+cos2x，下列结论正确的是（）Af（x）是周期函数Bf（x）的图象关于原点对称Cf（x）的值域为Df（x）的单调递减区间为，kZ【分析】利用函数

16、周期的定义可判断A选项；利用函数的奇偶性可判断B选项；考查函数f（x）在，上的值域，可判断C选项；求出函数f（x）的单调递减区间，可判断D选项【解答】解：对于A选项，因为f（x+2）2|sin（x+2）|cos（x+2）+cos2（x+2）2|sinx|cosx+cos2xf（x），故函数f（x）为周期函数，A正确；对于B选项，f（x）2|sin（x）|cos（x）+cos（2x）2|sinx|cosx+cos2xf（x），f（x）为偶函数，B错误；对于C选项，由A选项可知，函数f（x）是周期函数，且周期为2，不妨考虑函数f（x）在，上的值域即可，当0x时，则2x+，f（x）2sinxcosx

17、+cos2xsin2x+cos2xsin（2x+），因为函数f（x）为偶函数，故函数f（x）在，0上的值域也为，因此，函数f（x）的值域为，C正确；对于D选项，考虑函数f（x）在，上单调递减区间，当0x时，f（x）sin（2x+），且2x+，由2x+，可得0x，由2x+，可得x，由2x+，可得x，所以，函数f（x）在0，上的递减区间为，递增区间为0，由于函数f（x）为偶函数，故函数f（x）在，上的减区间为，0，因此，函数f（x）的单调递减区间为+2k，+2k，+2k，2k，+2k，+2k，（kZ），D错误故选：AC（多选）12已知椭圆C：（a2）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A

18、，B两点，且满足动点Q满足，则下列结论正确的是（）Aa3B动点Q的轨迹方程为2x+3y60C线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为D线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为【分析】椭圆C：（a2）的离心率为，计算出a的值，即可判断A；结合，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），联立方程组，即可判断B；结合B选项，利用距离公式，即可判断CD【解答】解：椭圆C：（a2）的离心率为，e，即3c，c，ac22，a3，故A选项正确；椭圆C：，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），由，得，两式相乘得x2xm（12），同理可得，y2yn（12），则（+）2（+）（12）（+），又点

19、A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，12（12）（+），易知1，则+1，故动点Q的轨迹方程为2m+3n60，即2x+3y60，故B选项正确；则OQ最小值为，故D选项正确，C选项错误故选：ABD三、填空题13的展开式中，x3y3的系数为5【分析】把（x+y）5按照二项式定理展开，可得的展开式中，x3y3的系数【解答】解：（x）（x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5），故它的展开式中，x3y3的系为1055，故答案为：514某校抽调志愿者下派社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区

20、，则不同的分配方案有 72种【分析】利用分组分配的方法及间接法即得【解答】解：有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，共有种分配方案，若两名学生分在同一社区，则有种分配方案，所以两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有901872种故答案为：7215如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为线段B1C上异于B1C的动点，则下列四个命题：A1DB是等边三角形；平面A1ACC1平面A1BD；设CMx，则三棱锥A1ADM的体积随着x增大先减少后增大；连接D1M，总有D1M平面A1BD其中正确的命题是 【分析】由正方体的结构特征可知正确；易证得

21、BD平面A1ACC1，所以平面A1ACC1平面A1BD，所以正确；因为M到平面A1AD的距离为常数，结合等体积法可知三棱锥A1ADM的体积为定值，所以错误；由平面A1DB平面D1B1C，可知总有D1M平面A1BD，所以正确【解答】解：设正方体的棱长为1，则A1DB是边长为的等边三角形，故正确；在正方体中，BDAC，A1ABD，且ACAA1A，则BD平面A1ACC1，又BD平面A1BD，则平面A1ACC1平面A1BD，故正确；设CMx，设正方体的棱长为1，则CM平面A1ADD1，则M到平面A1AD的距离为常数，即正方体的棱长，则为定值，则三棱锥A1ADM的体积随着x增大先减少后增大错误，故错误；

22、连接D1M，B1D1BD，B1CA1D，且BDA1DD，则平面A1DB平面D1B1C，D1M平面D1B1C，总有D1M平面A1BD，故正确故答案为：16已知二次函数f（x）ax2+bx（a0），满足f（x+1）为偶函数，且方程f（x）x有两个相等的实数根，若存在区间m，n使得f（x）的值域为3m，3n，则m+n4【分析】根据偶函数的奇次项系数为0，及方程f（x）x有两个相等的实数根分别求出a，b的值，进而可得函数f（x）的解析式，由此分析m、n的取值范围，确定函数的单调性，由此可得，分析可得m、n是方程x2+x3x，即x2+4x0的两个根，由根与系数的关系分析可得答案【解答】解：根据题意，f（

23、x+1）a（x+1）2+b（x+1）ax2+（2a+b）x+a+b为偶函数，则2a+b0，又由方程f（x）x，即ax2+（b1）x0有两个相等的实数根，则b10，由得：a，b1，则f（x）x2+x，则有f（x）x2+x（x1）2+，又f（x）在区间m，n上的值域为3m，3n，则有3m3n，则mn；则f（x）在区间m，n上是增函数，其值域为3m，3n，则，则m、n是方程x2+x3x，即x2+4x0的两个根，则有m+n4；故答案为：4四、解答题17已知集合，Bx|ax2a+1（1）若a1，求AB；（2）若ABB，求实数a的取值范围【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，再求解即可（2）

24、由ABB，得到BA，利用分类讨论，分别列出不等式，确定出a的范围即可【解答】解：（1），1x2，Ax|1x2，若a1，则Bx|1x3，ABx|1x3（2）若ABB，则BA，若B，则a2a+1，a1，若B，则，1a，综上，a的求值范围为（，18在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，满足条件a2+b2c22，（1）求ABC的面积SABC；（2）若c2，求sinAsinB的值【分析】（1）利用余弦定理建立方程进行求解即可（2）根据正弦定理建立方程进行求解即可【解答】解：（1）由a2+b2c22，结合余弦定理得：cosC，得abcosC1，由tanC，知，得ab，所以（2）由正弦定理得：所以1

25、9为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会，普及大运知识，某校开展了“大运”知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为四组：60，70），70，80），80，90），90，100，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在80，100内定义为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”（1）求a的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；（2）请将22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？男生女生合计优秀

26、30非优秀10合计参考公式及数据：K2，na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，求出a，再结合列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解（2）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解【解答】解：（1）由题意可知，10（0.016+0.024+a+0.032）1，解得 a0.028，这 100 名学生中成绩非优秀的有 100（0.016+0.024）1040名，所以抽取的 5 名学生中成绩非优秀的有 名，成绩优秀的有523名，记成绩

27、优秀的 3 名学生为a，b，c，成绩非优秀的 2 名学生为m，n，从这 5 名学生中随机抽取 2 名，有 ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn，共 10 种情况，其中这 2 名学生的成绩恰有一名优秀共有 6 种情况，所以这 2 名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 （2）补充完整的 22列联表如下表所示： 男生 女生 合计 优秀 30 3060 非优秀 30 10 40 合计 60 40100因为K2的观测值，所以没有 99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关20已知四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E在AD上，且，BC3，O为AB的中点，P

28、APB，（1）证明：ECPE；（2）求点E到平面POC的距离【分析】（1）连接OE，可得POCE，由OE2+EC2OC2，OEEC即可得EC平面POE，即可证明ECPE（2）方法一 由V三棱锥EPOCV三棱锥PEOC，求点E到平面POC的距离方法二，如图，过点E作OC的垂线，交OC于点F，根据面面垂直性质定理知，EF平面POC，EF即为点E到平面POC的距离【解答】解，（1）证明：如图，连接OE，平面PAB平面ABCD，PAPB，O为AB的中点，POAB，PO平面ABCD，POCE四边形ABCD为矩形，BCAD3，DE2，OE2+EC2OC2，OEEC又POCE，POOEO，EC平面POEPE

29、平面POE，ECPE（2）方法一 设POh，点E到平面POC的距离为x，由（1）知PO平面ABCD，POOC，V三棱锥EPOCV三棱锥PEOC，即点E到平面POC的距离为方法二 由（1）知PO平面ABCD，平面POC平面ABCD，又平面POC平面ABCDOC，如图，过点E作OC的垂线，交OC于点F，根据面面垂直性质定理知，EF平面POC，EF即为点E到平面POC的距离根据面积相等知，21已知双曲线1（1）过M（1，1）的直线交双曲线于A，B两点，若M 为AB的中点，求直线AB的方程（2）是否存在直线L，使N（1，）为L被双曲线所截弦的中点，若存在，求出L的方程，若不存在，说明理由【分析】（1）

30、设过M（1，1）的直线方程为：y1k（x1），A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，检验判别式即可；（2）假设存在直线l，使N（1，）为l被双曲线所截弦的中点，则设弦CD的C、D两点的坐标为（x3，y3），（x4，y4），代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，检验判别式的符号即可判断【解答】解：（1）设过M（1，1）的直线方程为：y1k（x1），A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则x122y

31、124，x222y224，相减可得，（x1x2）（x1+x2）2（y1y2）（y1+y2）由M为AB的中点，则x1+x22，y1+y22，则k，即有直线AB的方程：y1（x1），即有yx+，代入双曲线方程x22y24，检验判别式大于0，成立，则所求直线方程为：有yx+；（2）假设存在直线l，使N（1，）为l被双曲线所截弦的中点则设弦CD的C、D两点的坐标为（x3，y3），（x4，y4），则x322y324，x422y424，相减可得，（x3x4）（x3+x4）2（y3y4）（y3+y4）由N为CD的中点，则x3+x42，y3+y41，则k1，则直线CD的方程为：yx1，即yx，代入双曲线方程x

32、22y24，可得，x22x+0，由于判别式为490，则该直线l不存在22已知函数f（x）xexax3ax2（1）当a时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有三个极值点，求a的取值范围【分析】（1）当时，f（x）（x+1）（exex），令g（x）exex，利用导数研究g（x）的性质从而确定函数f（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；（2）原问题等价于函数H（x）ex3ax有两个不同的零点，且零点都不是1，利用导数研究H（x）的最值，然后得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围【解答】解：（1）由可得f（x）ex（x+1）3ax（x+1）（x+1）（ex3ax），当时，f（

33、x）（x+1）（exex），令g（x）exex，则g（x）exe，当x1时，g（x）0，g（x）单调递减，当x1时，g（x）0，g（x）单调递增，则g（x）的最小值为g（1）0，从而g（x）exex0，据此可知当x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当x1时，f（x）0，f（x）单调递增，即函数的单调递减区间为（，1），单调递增区间为（1，+）（2）由于f（x）（x+1）（ex3ax），若函数有3个极值点，则函数H（x）ex3ax有两个不同的零点，且零点都不是1，由H（x）ex3a可知必然有a0，当x（0，ln3a）时，H（x）0，H（x）单调递减，当x（ln3a，+）时，H（x）0，H（x）单调递增，函数H（x）的最小值为H（ln3a），满足题意时应有H（ln3a）3a3aln3a0，即ln3a1，解得：0，据此可得实数a的取值范围是22 / 22