江苏省南京重点中学2022-2023学年高三(上)入学数学试卷(Word版含答案解析).docx

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资源描述

1、2022-2023学年江苏省南京一中高三(上)入学数学试卷一、单选题1已知集合Ax|x23x0,则AB()ABCD(1,3)2已知复数z3+i,则(为z的共轭复数)在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知ab0,且ab1,则正确的是()A2a+b0Blog2a+log2b1CDlog2alog2b04若,则cos()ABCD5在ABC中,若()ABCD6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为棱AB上的动点,点M,N分别是棱BC,C1D1的中点,则下列结论正确的是()A存在点E,使得ENMC1B存在点E,使得EMN为等腰三角形C三棱锥C1MNE的体积为定值

2、D存在点E,使得B1C1平面EMN7已知以F为焦点的抛物线C:y24x上的两点A,B,满足,则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是()A2BCD48已知,则a,b,c的大小关系为()AbcaBbacCacbDabc二、多选题(多选)9一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球,其中有6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,记随机变量X为取出白球的个数,随机变量Y为取出黑球的个数,若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则下列结论中正确的是()ABX+Y4CE(X)E(Y)D(多选)10对于函数和g(x)lnxln(2x1),则下列结论中正确的为()A设f(x)的

3、定义域为M,g(x)的定义域为N,则NMB函数g(x)的图像在x1处的切线斜率为0C函数f(x)的单调减区间是(,0),D函数f(x)的图像关于点对称(多选)11已知函数f(x)2|sinx|cosx+cos2x,下列结论正确的是()Af(x)是周期函数Bf(x)的图象关于原点对称Cf(x)的值域为Df(x)的单调递减区间为,kZ(多选)12已知椭圆C:(a2)的离心率为,过点P(1,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,且满足动点Q满足,则下列结论正确的是()Aa3B动点Q的轨迹方程为2x+3y60C线段OQ(O为坐标原点)长度的最小值为D线段OQ(O为坐标原点)长度的最小值为三、填空题13的展

4、开式中,x3y3的系数为 14某校抽调志愿者下派社区,已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者,要分配到3个不同的社区参加服务,每个社区分配2名志愿者,若要求两名学生不分在同一社区,则不同的分配方案有 种15如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M为线段B1C上异于B1C的动点,则下列四个命题:A1DB是等边三角形;平面A1ACC1平面A1BD;设CMx,则三棱锥A1ADM的体积随着x增大先减少后增大;连接D1M,总有D1M平面A1BD其中正确的命题是 16已知二次函数f(x)ax2+bx(a0),满足f(x+1)为偶函数,且方程f(x)x有两个相等的实数根,若存在区间m,n使得f(x)的值

5、域为3m,3n,则m+n 四、解答题17已知集合,Bx|ax2a+1(1)若a1,求AB;(2)若ABB,求实数a的取值范围18在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,满足条件a2+b2c22,(1)求ABC的面积SABC;(2)若c2,求sinAsinB的值19为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会,普及大运知识,某校开展了“大运”知识答题活动,现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为四组:60,70),70,80),80,90),90,100,得到的频率分布直方图如图所示,将成绩在80,100内定义为“优秀”,成绩低于80分为“非

6、优秀”(1)求a的值:并根据答题成绩是否优秀,利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名,再从这5名学生中随机抽取2名,求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率;(2)请将22列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关?男生女生合计优秀30非优秀10合计参考公式及数据:K2,na+b+c+dP(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820已知四棱锥PABCD中,平面PAB平面ABCD,底面ABCD为矩形,点E在AD上,且,BC3,O为AB的中点,PAPB,(1)证明:EC

7、PE;(2)求点E到平面POC的距离21已知双曲线1(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A,B两点,若M 为AB的中点,求直线AB的方程(2)是否存在直线L,使N(1,)为L被双曲线所截弦的中点,若存在,求出L的方程,若不存在,说明理由22已知函数f(x)xexax3ax2(1)当a时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有三个极值点,求a的取值范围参考答案与试题解析一、单选题1已知集合Ax|x23x0,则AB()ABCD(1,3)【分析】由已知先求出集合A,B,然后结合交集的运算即可求解【解答】解:因为Ax|x23x0(0,3),x|x,所以故选:B2已知复数z3+i,则(为z的共轭复数)

8、在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据已知条件,结合共轭复数的定义,以及复数的几何意义,即可求解【解答】解:z3+i,(为z的共轭复数)在复平面内对应的点(1,3)位于第三象限故选:C3已知ab0,且ab1,则正确的是()A2a+b0Blog2a+log2b1CDlog2alog2b0【分析】直接利用基本不等式判断即可【解答】解:对于A选项:ab0,且ab1,a+b2,2a+b224,所以A错误对于B选项:log2a+log2blog2ablog2101,所以B选项正确对于C选项:ab0,且ab1,2a+2b,所以C错误对于D选项:ab0,且ab1,lo

9、g2alog2b,所以D错误故选:B4若,则cos()ABCD【分析】利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式,即可解出【解答】解:tan2,2sin(2sin)12sin2,sin,cos,故选:A5在ABC中,若()ABCD【分析】根据|+|求得A90,进而求出各边长以及对应角,进而求解结论【解答】解:|+|,+2+2+,可得0,可得A90,又,故,所以故选:B6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为棱AB上的动点,点M,N分别是棱BC,C1D1的中点,则下列结论正确的是()A存在点E,使得ENMC1B存在点E,使得EMN为等腰三角形C三棱锥C1MNE的体积为定值D存在点E,使得B1

10、C1平面EMN【分析】EN与MC1是异面直线可判断A;MN,ME,EN,可判断B;AB平面MC1N,所以E到平面MC1N的距离为定值,可判断C;假设B1C1平面EMN,可得出B1C1C1M,可判断D【解答】解:对于A:EN平面ABC1D1,又MC1平面ABC1D1,且C1EN,故EN与MC1是异面直线,故A错误;MN,ME,EN,故不存在点E,使得EMN为等腰三角形,故B错误;因为ABCDC1D1,所以AB平面MC1N,所以E到平面MC1N的距离为定值,又S为定值,故三棱锥C1MNE的体积为定值,故C正确;假设B1C1平面EMN,则B1C1MN,又B1C1C1N,又C1NMNN,所以B1C1平

11、面C1MN,又C1M平面C1MN,所以B1C1C1M,显然这是不可能的,故D错误故选:C7已知以F为焦点的抛物线C:y24x上的两点A,B,满足,则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是()A2BCD4【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义即条件,求出A,B的中点横坐标,即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离【解答】解:抛物线y24x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x1设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|BF|,x1+1(x2+1),x1x2+1|y1|y2|,x12x2,当1时,弦AB的中点到C的准线的距离2当1时,x1,x2,|AB|(x1+1)+(x2+1

12、),(+2)max则弦AB的中点到C的准线的距离d,d最大值是,弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是故选:B8已知,则a,b,c的大小关系为()AbcaBbacCacbDabc【分析】设f9x)lnx(1),g(x)(x1),利用导数可得f(x)和g(x)在(1,+)的单调性,由单调性得f()f(1)0,g(6)g(7),由此能判断a,b,c的大小关系【解答】解:由题意a,b,c,设f(x)lnx(1),则f(x),当x1时,f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递增,f()f(1)0,即ln1,又ln0,ba设g(x)(x1),则,令h(x)xlnx(x1),则h(x)lnx+1,当x1时

13、,h(x)0,h(x)在(1,+)上单调递增,当x1时,xlnx(x+1)ln(x+1),g(x)0,g(x)在(1,+)上单调递减,g(6)g(7),ac综上,bac故选:B二、多选题(多选)9一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球,其中有6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,记随机变量X为取出白球的个数,随机变量Y为取出黑球的个数,若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则下列结论中正确的是()ABX+Y4CE(X)E(Y)D【分析】根据已知条件,利用超几何分布的性质,以及超几何的期望公式,即可求解【解答】解:由题意可知,X,Y均服从超几何分布,且X+Y

14、4,Z2X+Y,故B正确,P(Xk)(k0,1,2,3,4),P(X1),故A错误,E(Y)4E(X),E(X)E(Y),故C错误,E(Z)2E(X)+E(Y),故D正确故选:BD(多选)10对于函数和g(x)lnxln(2x1),则下列结论中正确的为()A设f(x)的定义域为M,g(x)的定义域为N,则NMB函数g(x)的图像在x1处的切线斜率为0C函数f(x)的单调减区间是(,0),D函数f(x)的图像关于点对称【分析】根据对数的真数特点,导数的几何意义,复合函数的单调性,函数关于点对称特点即可求解【解答】解:对于A,Mx|0x|x或x0,又Nx|x0且2x10x|x,N是M的真子集,A正

15、确;对于B,g(x),g(1)1,即g(x)在x1处的切线斜率为1,B错误;对于C,f(x)的定义域是(,0)(,+),而函数y+,在区间(,0),( ,+)上都是单调递减且值为正,又函数ylnx在其定义域上单调递增,复合后得到的f(x)ln在这两个区间上也是单调递减,C正确对于D,当x1+x2时,f(x1)+f(x2)ln+lnln2ln2,f(x)的图象关于点(,ln2)对称,D正确故选:ACD(多选)11已知函数f(x)2|sinx|cosx+cos2x,下列结论正确的是()Af(x)是周期函数Bf(x)的图象关于原点对称Cf(x)的值域为Df(x)的单调递减区间为,kZ【分析】利用函数

16、周期的定义可判断A选项;利用函数的奇偶性可判断B选项;考查函数f(x)在,上的值域,可判断C选项;求出函数f(x)的单调递减区间,可判断D选项【解答】解:对于A选项,因为f(x+2)2|sin(x+2)|cos(x+2)+cos2(x+2)2|sinx|cosx+cos2xf(x),故函数f(x)为周期函数,A正确;对于B选项,f(x)2|sin(x)|cos(x)+cos(2x)2|sinx|cosx+cos2xf(x),f(x)为偶函数,B错误;对于C选项,由A选项可知,函数f(x)是周期函数,且周期为2,不妨考虑函数f(x)在,上的值域即可,当0x时,则2x+,f(x)2sinxcosx

17、+cos2xsin2x+cos2xsin(2x+),因为函数f(x)为偶函数,故函数f(x)在,0上的值域也为,因此,函数f(x)的值域为,C正确;对于D选项,考虑函数f(x)在,上单调递减区间,当0x时,f(x)sin(2x+),且2x+,由2x+,可得0x,由2x+,可得x,由2x+,可得x,所以,函数f(x)在0,上的递减区间为,递增区间为0,由于函数f(x)为偶函数,故函数f(x)在,上的减区间为,0,因此,函数f(x)的单调递减区间为+2k,+2k,+2k,2k,+2k,+2k,(kZ),D错误故选:AC(多选)12已知椭圆C:(a2)的离心率为,过点P(1,1)的直线与椭圆C交于A

18、,B两点,且满足动点Q满足,则下列结论正确的是()Aa3B动点Q的轨迹方程为2x+3y60C线段OQ(O为坐标原点)长度的最小值为D线段OQ(O为坐标原点)长度的最小值为【分析】椭圆C:(a2)的离心率为,计算出a的值,即可判断A;结合,设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),联立方程组,即可判断B;结合B选项,利用距离公式,即可判断CD【解答】解:椭圆C:(a2)的离心率为,e,即3c,c,ac22,a3,故A选项正确;椭圆C:,设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),由,得,两式相乘得x2xm(12),同理可得,y2yn(12),则(+)2(+)(12)(+),又点

19、A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,12(12)(+),易知1,则+1,故动点Q的轨迹方程为2m+3n60,即2x+3y60,故B选项正确;则OQ最小值为,故D选项正确,C选项错误故选:ABD三、填空题13的展开式中,x3y3的系数为5【分析】把(x+y)5按照二项式定理展开,可得的展开式中,x3y3的系数【解答】解:(x)(x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5),故它的展开式中,x3y3的系为1055,故答案为:514某校抽调志愿者下派社区,已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者,要分配到3个不同的社区参加服务,每个社区分配2名志愿者,若要求两名学生不分在同一社区

20、,则不同的分配方案有 72种【分析】利用分组分配的方法及间接法即得【解答】解:有4名教师志愿者和2名学生志愿者,要分配到3个不同的社区参加服务,每个社区分配2名志愿者,共有种分配方案,若两名学生分在同一社区,则有种分配方案,所以两名学生不分在同一社区,则不同的分配方案有901872种故答案为:7215如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M为线段B1C上异于B1C的动点,则下列四个命题:A1DB是等边三角形;平面A1ACC1平面A1BD;设CMx,则三棱锥A1ADM的体积随着x增大先减少后增大;连接D1M,总有D1M平面A1BD其中正确的命题是 【分析】由正方体的结构特征可知正确;易证得

21、BD平面A1ACC1,所以平面A1ACC1平面A1BD,所以正确;因为M到平面A1AD的距离为常数,结合等体积法可知三棱锥A1ADM的体积为定值,所以错误;由平面A1DB平面D1B1C,可知总有D1M平面A1BD,所以正确【解答】解:设正方体的棱长为1,则A1DB是边长为的等边三角形,故正确;在正方体中,BDAC,A1ABD,且ACAA1A,则BD平面A1ACC1,又BD平面A1BD,则平面A1ACC1平面A1BD,故正确;设CMx,设正方体的棱长为1,则CM平面A1ADD1,则M到平面A1AD的距离为常数,即正方体的棱长,则为定值,则三棱锥A1ADM的体积随着x增大先减少后增大错误,故错误;

22、连接D1M,B1D1BD,B1CA1D,且BDA1DD,则平面A1DB平面D1B1C,D1M平面D1B1C,总有D1M平面A1BD,故正确故答案为:16已知二次函数f(x)ax2+bx(a0),满足f(x+1)为偶函数,且方程f(x)x有两个相等的实数根,若存在区间m,n使得f(x)的值域为3m,3n,则m+n4【分析】根据偶函数的奇次项系数为0,及方程f(x)x有两个相等的实数根分别求出a,b的值,进而可得函数f(x)的解析式,由此分析m、n的取值范围,确定函数的单调性,由此可得,分析可得m、n是方程x2+x3x,即x2+4x0的两个根,由根与系数的关系分析可得答案【解答】解:根据题意,f(

23、x+1)a(x+1)2+b(x+1)ax2+(2a+b)x+a+b为偶函数,则2a+b0,又由方程f(x)x,即ax2+(b1)x0有两个相等的实数根,则b10,由得:a,b1,则f(x)x2+x,则有f(x)x2+x(x1)2+,又f(x)在区间m,n上的值域为3m,3n,则有3m3n,则mn;则f(x)在区间m,n上是增函数,其值域为3m,3n,则,则m、n是方程x2+x3x,即x2+4x0的两个根,则有m+n4;故答案为:4四、解答题17已知集合,Bx|ax2a+1(1)若a1,求AB;(2)若ABB,求实数a的取值范围【分析】(1)求出A与B中不等式的解集确定出A与B,再求解即可(2)

24、由ABB,得到BA,利用分类讨论,分别列出不等式,确定出a的范围即可【解答】解:(1),1x2,Ax|1x2,若a1,则Bx|1x3,ABx|1x3(2)若ABB,则BA,若B,则a2a+1,a1,若B,则,1a,综上,a的求值范围为(,18在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,满足条件a2+b2c22,(1)求ABC的面积SABC;(2)若c2,求sinAsinB的值【分析】(1)利用余弦定理建立方程进行求解即可(2)根据正弦定理建立方程进行求解即可【解答】解:(1)由a2+b2c22,结合余弦定理得:cosC,得abcosC1,由tanC,知,得ab,所以(2)由正弦定理得:所以1

25、9为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会,普及大运知识,某校开展了“大运”知识答题活动,现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为四组:60,70),70,80),80,90),90,100,得到的频率分布直方图如图所示,将成绩在80,100内定义为“优秀”,成绩低于80分为“非优秀”(1)求a的值:并根据答题成绩是否优秀,利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名,再从这5名学生中随机抽取2名,求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率;(2)请将22列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关?男生女生合计优秀

26、30非优秀10合计参考公式及数据:K2,na+b+c+dP(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】(1)根据已知条件,结合频率分布直方图的性质,求出a,再结合列举法,以及古典概型的概率公式,即可求解(2)根据已知条件,结合独立性检验公式,即可求解【解答】解:(1)由题意可知,10(0.016+0.024+a+0.032)1,解得 a0.028,这 100 名学生中成绩非优秀的有 100(0.016+0.024)1040名,所以抽取的 5 名学生中成绩非优秀的有 名,成绩优秀的有523名,记成绩

27、优秀的 3 名学生为a,b,c,成绩非优秀的 2 名学生为m,n,从这 5 名学生中随机抽取 2 名,有 ab,ac,am,an,bc,bm,bn,cm,cn,mn,共 10 种情况,其中这 2 名学生的成绩恰有一名优秀共有 6 种情况,所以这 2 名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 (2)补充完整的 22列联表如下表所示: 男生 女生 合计 优秀 30 3060 非优秀 30 10 40 合计 60 40100因为K2的观测值,所以没有 99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关20已知四棱锥PABCD中,平面PAB平面ABCD,底面ABCD为矩形,点E在AD上,且,BC3,O为AB的中点,P

28、APB,(1)证明:ECPE;(2)求点E到平面POC的距离【分析】(1)连接OE,可得POCE,由OE2+EC2OC2,OEEC即可得EC平面POE,即可证明ECPE(2)方法一 由V三棱锥EPOCV三棱锥PEOC,求点E到平面POC的距离方法二,如图,过点E作OC的垂线,交OC于点F,根据面面垂直性质定理知,EF平面POC,EF即为点E到平面POC的距离【解答】解,(1)证明:如图,连接OE,平面PAB平面ABCD,PAPB,O为AB的中点,POAB,PO平面ABCD,POCE四边形ABCD为矩形,BCAD3,DE2,OE2+EC2OC2,OEEC又POCE,POOEO,EC平面POEPE

29、平面POE,ECPE(2)方法一 设POh,点E到平面POC的距离为x,由(1)知PO平面ABCD,POOC,V三棱锥EPOCV三棱锥PEOC,即点E到平面POC的距离为方法二 由(1)知PO平面ABCD,平面POC平面ABCD,又平面POC平面ABCDOC,如图,过点E作OC的垂线,交OC于点F,根据面面垂直性质定理知,EF平面POC,EF即为点E到平面POC的距离根据面积相等知,21已知双曲线1(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A,B两点,若M 为AB的中点,求直线AB的方程(2)是否存在直线L,使N(1,)为L被双曲线所截弦的中点,若存在,求出L的方程,若不存在,说明理由【分析】(1)

30、设过M(1,1)的直线方程为:y1k(x1),A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),代入双曲线方程,再相减,运用平方差公式和中点坐标公式,及斜率公式,即可得到所求直线的斜率,进而得到直线方程,检验判别式即可;(2)假设存在直线l,使N(1,)为l被双曲线所截弦的中点,则设弦CD的C、D两点的坐标为(x3,y3),(x4,y4),代入双曲线方程,再相减,运用平方差公式和中点坐标公式,及斜率公式,即可得到所求直线的斜率,进而得到直线方程,检验判别式的符号即可判断【解答】解:(1)设过M(1,1)的直线方程为:y1k(x1),A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x122y

31、124,x222y224,相减可得,(x1x2)(x1+x2)2(y1y2)(y1+y2)由M为AB的中点,则x1+x22,y1+y22,则k,即有直线AB的方程:y1(x1),即有yx+,代入双曲线方程x22y24,检验判别式大于0,成立,则所求直线方程为:有yx+;(2)假设存在直线l,使N(1,)为l被双曲线所截弦的中点则设弦CD的C、D两点的坐标为(x3,y3),(x4,y4),则x322y324,x422y424,相减可得,(x3x4)(x3+x4)2(y3y4)(y3+y4)由N为CD的中点,则x3+x42,y3+y41,则k1,则直线CD的方程为:yx1,即yx,代入双曲线方程x

32、22y24,可得,x22x+0,由于判别式为490,则该直线l不存在22已知函数f(x)xexax3ax2(1)当a时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有三个极值点,求a的取值范围【分析】(1)当时,f(x)(x+1)(exex),令g(x)exex,利用导数研究g(x)的性质从而确定函数f(x)的符号即可求得函数f(x)的单调区间;(2)原问题等价于函数H(x)ex3ax有两个不同的零点,且零点都不是1,利用导数研究H(x)的最值,然后得到关于a的不等式,求解不等式即可确定实数a的取值范围【解答】解:(1)由可得f(x)ex(x+1)3ax(x+1)(x+1)(ex3ax),当时,f(

33、x)(x+1)(exex),令g(x)exex,则g(x)exe,当x1时,g(x)0,g(x)单调递减,当x1时,g(x)0,g(x)单调递增,则g(x)的最小值为g(1)0,从而g(x)exex0,据此可知当x1时,f(x)0,f(x)单调递减,当x1时,f(x)0,f(x)单调递增,即函数的单调递减区间为(,1),单调递增区间为(1,+)(2)由于f(x)(x+1)(ex3ax),若函数有3个极值点,则函数H(x)ex3ax有两个不同的零点,且零点都不是1,由H(x)ex3a可知必然有a0,当x(0,ln3a)时,H(x)0,H(x)单调递减,当x(ln3a,+)时,H(x)0,H(x)单调递增,函数H(x)的最小值为H(ln3a),满足题意时应有H(ln3a)3a3aln3a0,即ln3a1,解得:0,据此可得实数a的取值范围是22 / 22

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