1、上海市杨浦区 2022 届高三数学二模试卷上海市杨浦区 2022 届高三数学二模试卷一、填空题一、填空题1已知,则=.2函数的反函数为 .3若直线和互相垂直,则实数 .4若(虚数单位)是实系数一元二次方程的根,则 .5已知,则行列式的值等于 .6已知,则 .7在某次数学测验中,5 位学生的成绩如下:78、85、a、82、69,他们的平均成绩为 80,则他们成绩的方差等于 .8已知实数 x,y 满足,则的最大值为 .9若展开式中各项系数的和等于,则展开式中的系数是 .10三行三列的方阵中有 9 个数,从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是 (结果用分数表示)11已知抛物线,斜率为
2、k 的直线 l 经过抛物线的焦点 F,与抛物线交于 P、Q 两点,点 Q关于 x 轴的对称点为,点 P 关于直线的对称点为,且满足,则直线 l 的方程为 .12若函数在区间内既没有最大值,也没有最小值-1,则的取值范围是 .二、单选题二、单选题13设,则“且”是“且”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14数列为等差数列,且公差,若,也是等差数列,则其公差为()A1gdB1g2dClgD1g15椭圆 C:的左、右顶点分别为,点 P 在 C 上(P 不与,重合)且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是()A,B,C,1D,116定义域是上的连续函数图像
3、的两个端点为、,是图像上任意一点,过点作垂直于轴的直线 交线段于点(点与点可以重合),我们称的最大值为该函数的“曲径”,下列定义域是上的函数中,曲径最小的是()ABCD三、解答题三、解答题17如图,圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O,线段 AB 和线段 CD 都是底面圆的直径,且 ABCD,取劣弧 BC 上一点 E,使,连结 PE.已知,.(1)求该圆锥的体积;(2)求异面直线 PE、BD 所成角的大小.18已知函数,其中.(1)若不等式的解集是,求 m 的值;(2)若函数在区间上有且仅有一个零点,求 m 的取值范围.19如图,有一块扇形草地 OMN,已知半径为 R,现要在其中圈出一块矩形场地A
4、BCD 作为儿童乐园使用,其中点 A、B 在弧 MN 上,且线段 AB 平行于线段 MN(1)若点 A 为弧 MN 的一个三等分点,求矩形 ABCD 的面积 S;(2)当 A 在何处时,矩形 ABCD 的面积 S 最大?最大值为多少?20已知椭圆 C:,过定点 T(t,0)的直线交椭圆于 P,Q 两点,其中.(1)若椭圆短轴长为 2且经过点(1,),求椭圆方程;(2)对(1)中的椭圆,若,求OPQ 面积的最大值;(3)在 x 轴上是否存在点 S(s,0)使得PST=QST 恒成立?如果存在,求出 s,t 的关系;如果不存在,说明理由.21已知 a 为实数,数列满足:;.若存在一个非零常数,对任
5、意,都成立,则称数列为周期数列.(1)当时,求的值;(2)求证:存在正整数 n,使得;(3)设是数列的前 n 项和,是否存在实数 a 满足:数列为周期数列;存在正奇数 k,使得.若存在,求出所有 a 的可能值;若不存在,说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】2【答案】3【答案】64【答案】15【答案】6【答案】x1x27【答案】388【答案】79【答案】1510【答案】11【答案】y=(x-1)12【答案】13【答案】B14【答案】D15【答案】B16【答案】D17【答案】(1)解:由勾股定理可知:,所以圆锥的体积为:;(2)解:过做,所以是异面直线 PE、BD 所成的角(或其补角),因
6、为线段 AB 和线段 CD 都是底面圆的直径,且 ABCD,所以,即,而,所以,因此,在中,由正弦定理可知:,由余弦定理可知:,所以,即异面直线 PE、BD 所成角的大小为.18【答案】(1)解:的解集是,得到的解集是,所以,所以,(2)解:令,因为,所以,当时,即有,因为函数在区间上有且仅有一个零点,令,根据对勾函数的性质,可得,因为与有且仅有一个交点,根据对勾函数的图象性质,得或,进而可得答案为:19【答案】(1)解:如图,作于点 H,交线段 CD 于点 E,连接 OA、OB,(2)解:设则,即时,此时 A 在弧 MN 的四等分点处答:当 A 在弧 MN 的四等分点处时,20【答案】(1)
7、解:由题意得,得,所以椭圆方程为,因为点(1,)在椭圆上,所以,得,所以椭圆方程为(2)解:由题意设直线为,设,由,得,所以,所以,当且仅当,即时取等号,所以OPQ 面积的最大值为(3)解:由题意设直线为,设,由,得,所以,因为PST=QST,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以,得,所以 x 轴上是存在点 S(s,0)使得PST=QST 恒成立,此时21【答案】(1)解:当时,所以;(2)证明:当时,所以,在数列中直到第一个小于等于 3 的项出现之前,数列是以为首项,-3 为公差的递减的等差数列,即,所以,当足够大时,总可以找到,使,当时,则存在,使得,当时,则存在,使得,综上所述存在正整数 n,使得;(3)解:当时,故此时数列是以 2 为周期的周期数列,当时,则,由(2)得,存在正整数 n,使得,因此此时不存在不存在,所以此时数列数列不是周期数列,所以时,数列是以 2 为周期的周期数列,所以,又因,所以,所以,所以存在,使得.