1、上海市杨浦区 2022 届高三数学二模试卷上海市杨浦区 2022 届高三数学二模试卷一、填空题一、填空题1已知，则=.2函数的反函数为 .3若直线和互相垂直，则实数 .4若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则 .5已知，则行列式的值等于 .6已知，则 .7在某次数学测验中，5 位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为 80，则他们成绩的方差等于 .8已知实数 x，y 满足，则的最大值为 .9若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是 .10三行三列的方阵中有 9 个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 (结果用分数表示)11已知抛物线，斜率为
2、k 的直线 l 经过抛物线的焦点 F，与抛物线交于 P、Q 两点，点 Q关于 x 轴的对称点为，点 P 关于直线的对称点为，且满足，则直线 l 的方程为 .12若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则的取值范围是 .二、单选题二、单选题13设，则“且”是“且”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14数列为等差数列，且公差，若，也是等差数列，则其公差为（）A1gdB1g2dClgD1g15椭圆 C：的左、右顶点分别为，点 P 在 C 上（P 不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A，B，C，1D，116定义域是上的连续函数图像
3、的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线 交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（）ABCD三、解答题三、解答题17如图，圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，线段 AB 和线段 CD 都是底面圆的直径，且 ABCD，取劣弧 BC 上一点 E，使，连结 PE.已知，.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线 PE、BD 所成角的大小.18已知函数，其中.（1）若不等式的解集是，求 m 的值；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求 m 的取值范围.19如图，有一块扇形草地 OMN，已知半径为 R，现要在其中圈出一块矩形场地A
4、BCD 作为儿童乐园使用，其中点 A、B 在弧 MN 上，且线段 AB 平行于线段 MN（1）若点 A 为弧 MN 的一个三等分点，求矩形 ABCD 的面积 S；（2）当 A 在何处时，矩形 ABCD 的面积 S 最大？最大值为多少？20已知椭圆 C：，过定点 T（t，0）的直线交椭圆于 P，Q 两点，其中.（1）若椭圆短轴长为 2且经过点（1，），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若，求OPQ 面积的最大值；（3）在 x 轴上是否存在点 S（s，0）使得PST=QST 恒成立？如果存在，求出 s，t 的关系；如果不存在，说明理由.21已知 a 为实数，数列满足：；.若存在一个非零常数，对任
5、意，都成立，则称数列为周期数列.（1）当时，求的值；（2）求证：存在正整数 n，使得；（3）设是数列的前 n 项和，是否存在实数 a 满足：数列为周期数列；存在正奇数 k，使得.若存在，求出所有 a 的可能值；若不存在，说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】2【答案】3【答案】64【答案】15【答案】6【答案】x1x27【答案】388【答案】79【答案】1510【答案】11【答案】y=(x-1)12【答案】13【答案】B14【答案】D15【答案】B16【答案】D17【答案】（1）解：由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；（2）解：过做，所以是异面直线 PE、BD 所成的角（或其补角），因
6、为线段 AB 和线段 CD 都是底面圆的直径，且 ABCD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，由余弦定理可知：，所以，即异面直线 PE、BD 所成角的大小为.18【答案】（1）解：的解集是，得到的解集是，所以，所以，（2）解：令，因为，所以，当时，即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图象性质，得或，进而可得答案为：19【答案】（1）解：如图，作于点 H，交线段 CD 于点 E，连接 OA、OB，（2）解：设则，即时，此时 A 在弧 MN 的四等分点处答：当 A 在弧 MN 的四等分点处时，20【答案】（1）
7、解：由题意得，得，所以椭圆方程为，因为点（1，）在椭圆上，所以，得，所以椭圆方程为（2）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以OPQ 面积的最大值为（3）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，因为PST=QST，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，得，所以 x 轴上是存在点 S（s，0）使得PST=QST 恒成立，此时21【答案】（1）解：当时，所以；（2）证明：当时，所以，在数列中直到第一个小于等于 3 的项出现之前，数列是以为首项，-3 为公差的递减的等差数列，即，所以，当足够大时，总可以找到，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数 n，使得；（3）解：当时，故此时数列是以 2 为周期的周期数列，当时，则，由（2）得，存在正整数 n，使得，因此此时不存在不存在，所以此时数列数列不是周期数列，所以时，数列是以 2 为周期的周期数列，所以，又因，所以，所以，所以存在，使得.
