1、山西省2022届高三理数一模试卷一、单选题1已知集合,则()ABCD2设复数满足,则()A-iB-1C0或-1D0或-i3设,则的最大值是()A1BCD24如图,网格纸上小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体各个表面中面积的最大值是()ABCD5已知命题,;命题,在定义域上是增函数.则下列命题中的真命题是()ABCD6展开式中的常数项是()ABCD7设,则、的大小关系是()ABCD8“三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法三分损益包含“三分损一”“三分益一”取一段弦,“三分损一”即均分弦为三段,舍一留二,便得到弦“三分益一”即弦均分三段后再加一段,便得到弦以宫为第一
2、个音,依次按照损益的顺序,得到四个音,这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、微、羽,合称“五音”.已知声音的音高与弦长是成反比的,那么所得四音生成的顺序是()A微、商、羽、角B微、羽、商、角C商、角、微、羽D角、羽、商、徵9已知数列的前n项和,将该数列排成一个数阵(如图),其中第n行有个数,则该数阵第9行从左向右第8个数是()A263B1052C528D105110过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线,垂足为点A,交y轴于点B,若,则C的离心率是()ABCD11如图,在中,D,E分别为,AB的中点,将沿折起到的位置,使,如图.若F是的中点,则四面体的外接球体积是()ABCD12已知函数在上恰有3
3、个零点,则的取值范围是()ABCD二、填空题13曲线yxex1在点(0,1)处的切线方程是 .14将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程有实根的概率为 .15已知数列中,数列的前n项和为.若对于任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是 .16已知椭圆的焦点为,点P为椭圆上任意一点,过作的外角平分线所在直线的垂线,垂足为点Q.抛物线上有一点M,它在x轴上的射影为点H,则的最小值是 .三、解答题17如图,圆内接四边形中,.(1)求;(2)求面积的最大值.18在如图所示的几何体中,平面平面,四边形是矩形,四边形为梯形,.(1)证明:平面;(2)设,求二面角的余弦值.19
4、在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的离心率,且过点,A,B分别是C的左、右顶点(1)求C的方程;(2)已知过点的直线交C于M,N两点(异于点A,B),试证直线MA与直线NB的交点在定直线上20已知函数(1)当时,证明:在定义域上是增函数;(2)记是的导函数,若在内没有极值点,求a的取值范围(参考数据:,)21甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制,即某选手率先获得两局胜利时比赛结束,且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历,甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为,且每局比赛的结果相互独立.(1)求甲夺得冠军的概率;(2)比赛开始前,工作人员买来一盒新球,共有6个.新球在一局比赛
5、中使用后成为“旧球”,“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛,且局中不换球,该局比赛后,如果这颗球成为废球,则直接丢弃,否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后,盒内新球的数量为X,求随机变量X的分布列与数学期望.22在极坐标系中,O为极点,直线与以点为圆心,且过点的圆相交于A,B两点(1)求圆C的极坐标方程;(2)若,求23已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若恒成立,求a的取值范围答案解析部分1【答案】A2【答案】D3【答案】D4【答案】C5【答案】A6【答案】B7【答案】D8【答案】A9【答案】D10【答案】C11【答案】B12【答
6、案】C13【答案】xy1014【答案】15【答案】4,+)16【答案】17【答案】(1)解:在中,由正弦定理得,即.所以.(2)解:因为四边形内接于圆,故.设,在中,由余弦定理得:.因为,所以,即,当且仅当时等号成立.所以所以面积的最大值是.18【答案】(1)证明:取中点E,连接AE,BE.则,四边形ABCE为平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.由,则四边形ABED为平行四边形,所以,.又,所以,.所以四边形MBEN为平行四边形.所以.又平面,平面,所以平面.因为,平面,平面.所以平面平面.因为平面,所以平面(2)解:连接BD.因为平面平面,平面,所以平面.因为,所以,所以,所以,因为,
7、所以.所以以D为原点,分别以DB,所在真线为x,y,z轴.建立如图所示的空间直角坐标系.则,所以,.平面的一个法向量为,设平面的法向量为.则,即令,得.,由图可知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.19【答案】(1)解:由题意知,化简得,解得,故椭圆的方程为;(2)解:设过点G的直线方程为,消去x,得,设,则,所以又,得,所以直线AM的方程为,直线BN的方程为,两式相除,得,即,又,即,解得,即直线AM与BN的交点的横坐标为4,所以直线AM与BN的交点在定直线上.20【答案】(1)证明:由题设,且定义域为,因为,则,当且仅当时等号成立,而,所以,时有,故在上是增函数.(2)解:由题设,
8、则且定义域为,因为在内没有极值点,即或,所以或在上恒成立,令,则,当时;当时,令则,所以在上递增,而,所以在上,故在上递增,而,综上,在上,即,所以,在上,即单调递增,则,故或,即a的取值范围为.21【答案】(1)解:记事件“甲在第i局比赛中获胜”,事件“甲在第i局比赛中未胜”.显然,.记事件“甲夺得冠军”,则.(2)解:设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛,易知或.则,故.记“第i局比赛后抽到新球”,“第i局比赛后抽到旧球”.因为每个求最多使用两次,故X的取值为:3,4,5.由题意知比赛前盒内有6颗新球.比赛1局后,盒内必为5颗新球1颗旧球,此时,.若发生,则比赛2局后,盒内有4颗新球,2颗旧球,此时,.若发生,则比赛2局后,盒内有5颗新球,故下次必取得新球.即.于是.故X的分布列为X345P故X的数学期望.22【答案】(1)解:的直角坐标为 ,的直角坐标为 ,故圆的半径为 ,故圆的直角坐标方程为: ,将 代入,得: ,即圆C的极坐标方程为:;(2)解:将 代入中,得,设分别为A,B对应的极径,故 ,又,则 ,即 ,结合,可得,故.23【答案】(1)解:当时,当时,解得:,此时.当时,解得:,不成立.当时,解得:,此时.综上可知:不等式的解集为:.(2)解:因为,不等式恒成立,等价于,即或,即a的取值范围为:.
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