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2018.1西城区高三文科数学期末试卷及答案.doc

1、第 1 页 共 11 页 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高三数学(文科) 2018.1 第第卷卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的 四个选项中,选出符合题目要求的 一项 1若集合,则 |03Axx | 12Bxx AB (A) | 13xx (B) | 10xx (C) |02xx(D) |23xx 2在复平面内,复数对应的点的坐标为 2i 1i (A)(1,1)(B)( 1,1)(C)( 1, 1)(D)(1, 1) 3下列函数中,在区间上单调递增的是(0,) (A)1yx (B) 2 (1)yx(

2、C)sinyx (D) 1 2 yx 4执行如图所示的程序框图,输出的值为S (A)2 (B)6 (C)30 (D)270 5若,则有 1 2 2 loglog2ab (A)2ab(B)2ba(C)4ab(D)4ba 6一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后,剩余几何体的 三视图如图所示,则截去的几何体是 (A)三棱锥(B)三棱柱(C)四棱锥(D)四棱柱 第 2 页 共 11 页 7函数的图象记为曲线C则“”是“曲线C关于直线( )sin()f xx(0)()ff 2 x 对称”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 8已知,是函

3、数的图象上的相异两点若点,到直线的距离相等,AB2 x y AB 1 2 y 则点,的横坐标之和的取值范围是AB (A)(, 1) (B)(,2) (C)(, 3) (D)(,4) 第第卷卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9若函数是偶函数,则实数_ ( )()f xx xbb 10已知双曲线的一个焦点是,其渐近线方程为,该双曲线的方程是_ 22 22 1 xy ab (2,0)F3yx 11向量在正方形网格中的位置如图所示 如果小正方形网格,a b 的边长为 1,那么_ a b 12在中,的面积为,则_;_ ABC3a 3 C ABC

4、 3 3 4 b c 13已知点的坐标满足条件 设为原点,则的最小值是_( , )M x y 10, 10, 10. x xy xy OOM 第 3 页 共 11 页 14已知函数 若,则的值域是_;若的值域是,则实 2 ,2, ( ) 1 ,3. xxxc f x cx x 0c ( )f x( )f x 1 ,2 4 数 的取值范围是_c 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 (本小题满分 13 分) 已知函数 2 ( )2sincos(2) 3 f xxx ()求的最小正周期;( )f x ()求证:当时, 0, 2 x 1 (

5、) 2 f x 16 (本小题满分 13 分) 已知数列是公比为的等比数列,且是和的等差中项 n a 1 3 2 6a 1 a 3 a ()求的通项公式; n a ()设数列的前项之积为,求的最大值 n an n T n T 第 4 页 共 11 页 17 (本小题满分 13 分) 某市高中全体学生参加某项测评,按得分评为 A,B 两类(评定标准见表 1) 根据男女学生比例,使用分 层抽样的方法随机抽取了名学生的得分数据,其中等级为的学生中有是男生,等级为的学生10000 1 A40% 2 A 中有一半是女生等级为和的学生统称为类学生,等级为和的学生统称为类学生整理这 1 A 2 AA 1 B

6、 2 BB 名学生的得分数据,得到如图 2 所示的频率分布直方图10000 表 1 图 2 ()已知该市高中学生共万人,试估计在该项测评中被评为类学生的人数;20A ()某 5 人得分分别为从这 5 人中随机选取 2 人组成甲组,另外 3 人组45,50,55,75,85 成乙组,求“甲、乙两组各有 1 名类学生”的概率;B ()在这名学生中,男生占总数的比例为,类女生占女生总数的比例为, 类男生占男生1000051%B 1 kB 总数的比例为判断与的大小 (只需写出结论) 2 k 1 k 2 k 类别 得分( )x 1 B 8090x B 2 B 7080x 1 A 5070x A 2 A

7、2050x 第 5 页 共 11 页 18 (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱中,平面,.过的平面交于点,交 111 ABCA B CAB 11 AAC C 1 AAAC 1 AA 11 B CE 于点.BCF ()求证:平面; 1 AC 1 ABC ()求证:; 1 /A AEF ()记四棱锥的体积为,三棱柱的体积为.若,求 的值. 11 BAA EF 1 V 111 ABCA B CV 1 1 6 V V BF BC 19 (本小题满分 14 分) 已知椭圆过,两点 22 22 :1(0) xy Cab ab (2, 0)A(0,1)B ()求椭圆的方程及离心率;C ()设点在椭圆上

8、试问直线上是否存在点,使得四边形是平QC40xyPPAQB 行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由P 第 6 页 共 11 页 20 (本小题满分 13 分) 已知函数 2 ( )ln2f xxxx ()求曲线在点处的切线方程;( )yf x(1,(1)f ()求证:存在唯一的,使得曲线在点处的切线的斜率为 0 (1,2)x ( )yf x 00 (,()xf x ;(2)(1)ff ()比较与的大小,并加以证明(1.01)f2.01 第 7 页 共 11 页 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末 高三数学(文科)参考答案及评分标准 2018.1 一、选择题:本大题

9、共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分. 1A 2B 3D 4C 5C 6B 7C 8B 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分. 9 10 11 0 2 2 1 3 y x 4 12 ; 13 14;113 2 2 1 ,) 4 1 ,1 2 注:第注:第 12,14 题第一空题第一空 2 分,第二空分,第二空 3 分分. 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 80 分分. . 其他正确解答过程,请参照评分标准给分其他正确解答过程,请参照评分标准给分. . 15

10、 (本小题满分 13 分) 解:()因为 2 ( )2sincos(2) 3 f xxx 4 分 1cos2(cos2cossin2sin) 33 xxx 5 分 33 sin2cos21 22 xx , 7 分 3sin(2)1 3 x 第 8 页 共 11 页 所以的最小正周期 8 分( )f x 2 2 T ()因为 ,所以 10 分 2 x0 2 2 333 x 所以 , 12 分 3 sin(2)sin() 332 x 所以 13 分 1 ( ) 2 f x 16 (本小题满分 13 分) 解:()因为 是和的等差中项, 2 6a + 1 a 3 a 所以 2 分 213 2(6)a

11、aa 因为数列是公比为的等比数列, n a 1 3 所以 , 4 分 11 1 2(6) 39 aa a 解得 6 分 1 27a 所以 8 分 14 1 1 ( ) 3 nn n aaq ()令,即,得, 10 分1 n a 4 1 ( )1 3 n 4n 故正项数列的前 项大于 1,第 项等于 1,以后各项均小于 1 11 分 n a34 所以 当,或时,取得最大值, 12 分3n 4n n T 的最大值为 13 分 n T 34123 729TTaaa 17 (本小题满分 13 分) 解:()依题意得,样本中类学生所占比例为, 2 分B(0.020.04) 1060% 所以类学生所占比例

12、为 3 分A40% 因为全市高中学生共万人,20 所以在该项测评中被评为类学生的人数约为 8 万人 4 分A ()由表 1 得,在 5 人(记为)中,类学生有 2 人(不妨设为) , , , ,a b c d eB, b d 将他们按要求分成两组,分组的方法数为种 6 分10 第 9 页 共 11 页 依次为: (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cdeac bdead bceae bcdbc adebd acebe acdcd abe 8 分(,),(,)ce abdde abc 所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为 10 分B 63 105 () 13

13、 分 12 kk 18 (本小题满分 14 分) 解:() 因为 平面,所以 2 分AB 11 AAC C 1 ACAB 在三棱柱中,因为 ,所以 四边形为菱形, 111 ABCA B C 1 AAAC 11 AAC C 所以 3 分 11 ACAC 所以 平面 5 分 1 AC 1 ABC ()在 三棱柱中, 111 ABCA B C 因为 ,平面, 6 分 11 /A AB B 1 A A 11 BB C C 所以 平面 8 分 1 /A A 11 BB C C 因为 平面平面, 1 AA EF 11 BB C CEF 所以 10 分 1 /A AEF ()记三棱锥的体积为,三棱柱的体积为

14、. 1 BABF 2 V 11 ABFA B E 3 V 因为三棱锥与三棱柱同底等高, 1 BABF 11 ABFA B E 所以 , 11 分 2 3 1 3 V V 所以 . 12 33 2 1 3 VV VV 因为 , 所以 . 12 分 1 1 6 V V 3 131 624 V V 因为 三棱柱与三棱柱等高, 11 ABFA B E 111 ABCA B C 所以 与的面积之比为, 13 分ABFABC 1 4 所以 14 分 1 4 BF BC 19 (本小题满分 14 分) 第 10 页 共 11 页 解:()由题意得, 2 分2a 1b 所以椭圆的方程为 3 分C 2 2 1

15、4 x y 设椭圆的半焦距为 ,则 , 4 分Cc 22 3cab 所以椭圆的离心率 5 分C 3 2 c e a ()由已知,设, 6 分( ,4)P tt 00 (,)Q xy 若是平行四边形,则 , 8 分PAQBPAPBPQ 所以 , 00 (2,4)(,3)(,4)t tt txt yt 整理得 10 分 00 2, 3xtyt 将上式代入 , 22 00 44xy 得 , 11 分 22 (2)4(3)4tt 整理得 , 2 528360tt 解得 ,或 13 分 18 5 t 2t 此时 ,或经检验,符合四边形是平行四边形, 18 2 (, ) 5 5 P(2,2)PPAQB 所

16、以存在 ,或满足题意 14 分 18 2 (, ) 5 5 P(2,2)P 20 (本小题满分 13 分) 解:()函数的定义域是, 2 ( )ln2f xxxx(0,) 导函数为 1 分( )2 ln2fxxxx 所以, 又,(1)1 f (1)2f 所以曲线在点处的切线方程为 3 分( )yf x(1,(1)f1yx ()由已知 4 分(2)(1)4ln22ff 所以只需证明方程 在区间有唯一解2 ln24ln22xxx(1,2) 即方程 在区间有唯一解 5 分 2 ln4ln20xxx(1,2) 设函数 , 6 分 ( )2 ln4ln2g xxxx 第 11 页 共 11 页 则 (

17、)2ln3g xx 当 时,故在区间单调递增 7 分(1,2)x( )0g x( )g x(1,2) 又 ,(1)14ln20g (2)20g 所以 存在唯一的,使得 8 分 0 (1,2)x 0 ()0g x 综上,存在唯一的,使得曲线在点处的切线的斜率为 0 (1,2)x ( )yf x 00 (,()xf x 9 分(2)(1)ff ()证明如下: 10 分(1.01)2.01f 首先证明:当时,1x ( )1f xx 设 , 11 分 2 ( )( )(1)ln1h xf xxxxx 则 ( )2 ln1h xxxx 当 时,1x 10x 2 ln0xx 所以 ,故在单调递增, 12 分( )0h x( )h x(1,) 所以 时,有,1x ( )(1)0h xh 即当 时,有1x ( )1f xx 所以 13 分(1.01)1.01 12.01f

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