1、第 1 页 共 11 页 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2018.1 第第卷卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的 一项 1若集合，则 |03Axx | 12Bxx AB （A） | 13xx （B） | 10xx （C） |02xx（D） |23xx 2在复平面内，复数对应的点的坐标为 2i 1i （A）(1,1)（B）( 1,1)（C）( 1, 1)（D）(1, 1) 3下列函数中，在区间上单调递增的是(0,) （A）1yx （B） 2 (1)yx（
2、C）sinyx （D） 1 2 yx 4执行如图所示的程序框图，输出的值为S （A）2 （B）6 （C）30 （D）270 5若，则有 1 2 2 loglog2ab （A）2ab（B）2ba（C）4ab（D）4ba 6一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的 三视图如图所示，则截去的几何体是 （A）三棱锥（B）三棱柱（C）四棱锥（D）四棱柱 第 2 页 共 11 页 7函数的图象记为曲线C则“”是“曲线C关于直线( )sin()f xx(0)()ff 2 x 对称”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 8已知，是函
3、数的图象上的相异两点若点，到直线的距离相等，AB2 x y AB 1 2 y 则点，的横坐标之和的取值范围是AB （A）(, 1) （B）(,2) （C）(, 3) （D）(,4) 第第卷卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9若函数是偶函数，则实数_ ( )()f xx xbb 10已知双曲线的一个焦点是，其渐近线方程为，该双曲线的方程是_ 22 22 1 xy ab (2,0)F3yx 11向量在正方形网格中的位置如图所示 如果小正方形网格,a b 的边长为 1，那么_ a b 12在中，的面积为，则_；_ ABC3a 3 C ABC
4、 3 3 4 b c 13已知点的坐标满足条件 设为原点，则的最小值是_( , )M x y 10, 10, 10. x xy xy OOM 第 3 页 共 11 页 14已知函数 若，则的值域是_；若的值域是，则实 2 ,2, ( ) 1 ,3. xxxc f x cx x 0c ( )f x( )f x 1 ,2 4 数 的取值范围是_c 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 2 ( )2sincos(2) 3 f xxx （）求的最小正周期；( )f x （）求证：当时， 0, 2 x 1 (
5、) 2 f x 16 （本小题满分 13 分） 已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项 n a 1 3 2 6a 1 a 3 a （）求的通项公式； n a （）设数列的前项之积为，求的最大值 n an n T n T 第 4 页 共 11 页 17 （本小题满分 13 分） 某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为 A，B 两类（评定标准见表 1） 根据男女学生比例，使用分 层抽样的方法随机抽取了名学生的得分数据，其中等级为的学生中有是男生，等级为的学生10000 1 A40% 2 A 中有一半是女生等级为和的学生统称为类学生，等级为和的学生统称为类学生整理这 1 A 2 AA 1 B
6、 2 BB 名学生的得分数据，得到如图 2 所示的频率分布直方图10000 表 1 图 2 （）已知该市高中学生共万人，试估计在该项测评中被评为类学生的人数；20A （）某 5 人得分分别为从这 5 人中随机选取 2 人组成甲组，另外 3 人组45,50,55,75,85 成乙组，求“甲、乙两组各有 1 名类学生”的概率；B （）在这名学生中，男生占总数的比例为，类女生占女生总数的比例为， 类男生占男生1000051%B 1 kB 总数的比例为判断与的大小 （只需写出结论） 2 k 1 k 2 k 类别 得分( )x 1 B 8090x B 2 B 7080x 1 A 5070x A 2 A
7、2050x 第 5 页 共 11 页 18 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱中，平面，.过的平面交于点，交 111 ABCA B CAB 11 AAC C 1 AAAC 1 AA 11 B CE 于点.BCF （）求证：平面； 1 AC 1 ABC （）求证：； 1 /A AEF （）记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求 的值. 11 BAA EF 1 V 111 ABCA B CV 1 1 6 V V BF BC 19 （本小题满分 14 分） 已知椭圆过，两点 22 22 :1(0) xy Cab ab (2, 0)A(0,1)B （）求椭圆的方程及离心率；C （）设点在椭圆上
8、试问直线上是否存在点，使得四边形是平QC40xyPPAQB 行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由P 第 6 页 共 11 页 20 （本小题满分 13 分） 已知函数 2 ( )ln2f xxxx （）求曲线在点处的切线方程；( )yf x(1,(1)f （）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为 0 (1,2)x ( )yf x 00 (,()xf x ；(2)(1)ff （）比较与的大小，并加以证明(1.01)f2.01 第 7 页 共 11 页 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2018.1 一、选择题：本大题
9、共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1A 2B 3D 4C 5C 6B 7C 8B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9 10 11 0 2 2 1 3 y x 4 12 ； 13 14；113 2 2 1 ,) 4 1 ,1 2 注：第注：第 12，14 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15
10、 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 2 ( )2sincos(2) 3 f xxx 4 分 1cos2(cos2cossin2sin) 33 xxx 5 分 33 sin2cos21 22 xx ， 7 分 3sin(2)1 3 x 第 8 页 共 11 页 所以的最小正周期 8 分( )f x 2 2 T （）因为 ，所以 10 分 2 x0 2 2 333 x 所以 ， 12 分 3 sin(2)sin() 332 x 所以 13 分 1 ( ) 2 f x 16 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 是和的等差中项， 2 6a + 1 a 3 a 所以 2 分 213 2(6)a
11、aa 因为数列是公比为的等比数列， n a 1 3 所以 ， 4 分 11 1 2(6) 39 aa a 解得 6 分 1 27a 所以 8 分 14 1 1 ( ) 3 nn n aaq （）令，即，得， 10 分1 n a 4 1 ( )1 3 n 4n 故正项数列的前 项大于 1，第 项等于 1，以后各项均小于 1 11 分 n a34 所以 当，或时，取得最大值， 12 分3n 4n n T 的最大值为 13 分 n T 34123 729TTaaa 17 （本小题满分 13 分） 解：（）依题意得，样本中类学生所占比例为， 2 分B(0.020.04) 1060% 所以类学生所占比例
12、为 3 分A40% 因为全市高中学生共万人，20 所以在该项测评中被评为类学生的人数约为 8 万人 4 分A （）由表 1 得，在 5 人（记为）中，类学生有 2 人（不妨设为） , , , ,a b c d eB, b d 将他们按要求分成两组，分组的方法数为种 6 分10 第 9 页 共 11 页 依次为： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cdeac bdead bceae bcdbc adebd acebe acdcd abe 8 分(,),(,)ce abdde abc 所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为 10 分B 63 105 （） 13
13、 分 12 kk 18 （本小题满分 14 分） 解：（） 因为 平面，所以 2 分AB 11 AAC C 1 ACAB 在三棱柱中，因为 ，所以 四边形为菱形， 111 ABCA B C 1 AAAC 11 AAC C 所以 3 分 11 ACAC 所以 平面 5 分 1 AC 1 ABC （）在 三棱柱中， 111 ABCA B C 因为 ，平面， 6 分 11 /A AB B 1 A A 11 BB C C 所以 平面 8 分 1 /A A 11 BB C C 因为 平面平面， 1 AA EF 11 BB C CEF 所以 10 分 1 /A AEF （）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为
14、. 1 BABF 2 V 11 ABFA B E 3 V 因为三棱锥与三棱柱同底等高， 1 BABF 11 ABFA B E 所以 ， 11 分 2 3 1 3 V V 所以 . 12 33 2 1 3 VV VV 因为 ， 所以 . 12 分 1 1 6 V V 3 131 624 V V 因为 三棱柱与三棱柱等高， 11 ABFA B E 111 ABCA B C 所以 与的面积之比为， 13 分ABFABC 1 4 所以 14 分 1 4 BF BC 19 （本小题满分 14 分） 第 10 页 共 11 页 解：（）由题意得， 2 分2a 1b 所以椭圆的方程为 3 分C 2 2 1
15、4 x y 设椭圆的半焦距为 ，则 ， 4 分Cc 22 3cab 所以椭圆的离心率 5 分C 3 2 c e a （）由已知，设， 6 分( ,4)P tt 00 (,)Q xy 若是平行四边形，则 ， 8 分PAQBPAPBPQ 所以 ， 00 (2,4)(,3)(,4)t tt txt yt 整理得 10 分 00 2, 3xtyt 将上式代入 ， 22 00 44xy 得 ， 11 分 22 (2)4(3)4tt 整理得 ， 2 528360tt 解得 ，或 13 分 18 5 t 2t 此时 ，或经检验，符合四边形是平行四边形， 18 2 (, ) 5 5 P(2,2)PPAQB 所
16、以存在 ，或满足题意 14 分 18 2 (, ) 5 5 P(2,2)P 20 （本小题满分 13 分） 解：（）函数的定义域是， 2 ( )ln2f xxxx(0,) 导函数为 1 分( )2 ln2fxxxx 所以， 又，(1)1 f (1)2f 所以曲线在点处的切线方程为 3 分( )yf x(1,(1)f1yx （）由已知 4 分(2)(1)4ln22ff 所以只需证明方程 在区间有唯一解2 ln24ln22xxx(1,2) 即方程 在区间有唯一解 5 分 2 ln4ln20xxx(1,2) 设函数 ， 6 分 ( )2 ln4ln2g xxxx 第 11 页 共 11 页 则 (
17、)2ln3g xx 当 时，故在区间单调递增 7 分(1,2)x( )0g x( )g x(1,2) 又 ，(1)14ln20g (2)20g 所以 存在唯一的，使得 8 分 0 (1,2)x 0 ()0g x 综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为 0 (1,2)x ( )yf x 00 (,()xf x 9 分(2)(1)ff （）证明如下： 10 分(1.01)2.01f 首先证明：当时，1x ( )1f xx 设 ， 11 分 2 ( )( )(1)ln1h xf xxxxx 则 ( )2 ln1h xxxx 当 时，1x 10x 2 ln0xx 所以 ，故在单调递增， 12 分( )0h x( )h x(1,) 所以 时，有，1x ( )(1)0h xh 即当 时，有1x ( )1f xx 所以 13 分(1.01)1.01 12.01f
