1、4.3.2 对数的运算对数的运算教学目标理解对数的运算性质(重点)01 理解和掌握对数的性质(难点)02 掌握对数式与指数式的关系,学会对数式与指数式的互化(重点、难点)0304对数的对数的运算运算学科素养 对数的概念数学抽象直观想象推导对数的运算性质和换底公式 逻辑推理对数的运算数学运算数据分析 通过与指数的运算性质,推导出对数的运算性质数学建模对数的对数的运算运算01Retrospective Knowledge对数的对数的概念概念 一般地,如果axN,(a0且a1),则数x叫做以a为底N的对数记作xlogaN,其中a叫底数,N叫真数.NaNalog没有对数;负数和0.1log01loga
2、aa,xNNaax log指数的运算指数的运算)0,0()(babaabrrr实数实数指数幂的运算性质:指数幂的运算性质:)1,0(*nNnmaaanmnm)0()(aaamnnm)0(aaaanmnm)0(aaaanmnm02New Knowledge explore对数的对数的运算运算 通过了对对数概念的学习,我们掌握了指数式和对数式的互化,那么我们能否利用指数幂运算性质,得出相应的对数运算性质呢?探究探究如我们知道aman=am+n,那么 m+n如何表示,能用对数式运算吗?根据指数和对数之间的关系,可得:,因为nmnmaaa.)(lognmMNa,nNalogmaM 设 ,naN nma
3、MN所以:,logmMa这样我们就得到了对数的一个运算性质:.loglog)(logNMMNaaa对数的对数的运算运算你能根据指数的性质aman=am n,(am)n=amn,按照以上的方法推出对数的其它运算性质吗?,因为nmnmaaa.lognmNMa所以,nmaNM所以,设nmaNaM,log,logNnMmaa则.logloglogNMNMaaa即:,因为mnnmaa)(,所以mnnaM,logmnMna所以,logMma又.loglogMnMana即:对数的对数的运算运算,那么,则且若0010NMaa;loglog)(logNMMNaaa;logloglogNMNMaaa).loglo
4、gRnMnMana(;loglog)(logNMMNaaa;loglog)(logNMNMaaa;loglog)(logNMNMaaa;loglog)(logNMNMaaa对数的运算性质:对数的运算性质:对数的对数的运算运算例例3 求下列各式的值:;100lg)1(5);24(log)2(57252510lg100lg)1(【解析】521425722log2log)24(log)2(【解析】.5210lg522log52log1422.19514对数的对数的运算运算3232ln)ln(lnzyxzyx【解析】.ln31ln21ln2zyx32lnlnlnzyx31212lnlnlnzyx.ln
5、ln,ln,ln32zyxzyx表示用例例4 对数的对数的运算运算;58log932log2log2)1(2log333528log932log2log)1(3323原式【解析】练习练习1 1 求下列各式的值:.)2(lg20lg5lg)2(228log932log4log3332)83294(log3.01log3对数的对数的运算运算;58log932log2log2)1(2log3335练习练习1 1 求下列各式的值:.)2(lg20lg5lg)2(22)2(lg)4lg5(lg5lg)2(原式【解析】22)2(lg2lg5lg2)5(lg2)2(lg)2lg25(lg5lg2)2lg5(
6、lg.1)10(lg2对数的对数的运算运算 根据对数的定义,你能用logca和logcb表示logab(其中a,c均大于0且不等于1,b大于0)吗?探究探究,设xbalog,则bax为底的对数,可得:两边取以 c,bacxcloglog,所以baxccloglog,则abxccloglog.101010(logloglog)且,且,且即ccbbaaabbcca我们把上式叫做.对数的对数的运算运算.logloglog.3ccbaba;loglog.1bmnbanam;log1log.2abba提问:你能用 (其中a,b,c均大于0且不等于1)mcnnaabbmlogloglogc由换底公式可知:
7、abmnambnccccloglogloglog.log bmna证明:.1abbccalogloglog对数的对数的运算运算.logloglog.3ccbaba;loglog.1bmnbanam;log1log.2abba提问:你能用 (其中a,b,c均大于0且不等于1)abbccalogloglog,由换底公式可知:abbcalogloglogcbaaccblogloglog.log1logabba所以证明:.2对数的对数的运算运算提问:你能用 (其中a,b,c均大于0且不等于1)abbccalogloglog.logloglog.3ccbaba;loglog.1bmnbanam;log1
8、log.2abba证明:.3bcabcbddddbaloglogloglogloglog由换底公式可知:acddloglog.log ca对数的对数的运算运算,6log6log632.32yxyx,所以因为【解析】,3log12log166yx,所以.16log3log2log11666yx所以.11632yxyx,则已知练习练习2 2对数的对数的运算运算)2(log)3(log532233原式【解析】2log353log32322log3log91032.9102log9102;32log9log278的值求练习练习3 3对数的对数的运算运算,12log3log32aa,所以因为【解析】10
9、log5log5log5lg3310所以5log2log5log333.11ababbab.5lg,5lg3log32表示,试用,设baba练习练习4 403Expansion And Promotion04Sum Up对数的对数的运算运算1.对数运算性质:对数运算性质:,那么,则且若0010NMaa;loglog)(logNMMNaaa;logloglogNMNMaaa).loglogRnMnMana(2.对数换底公式:对数换底公式:.101010(logloglog)且,且,且ccbbaaabbcca.logloglog.3ccbaba;loglog.1bmnbanam;log1log.2abba3.对数换底公式导出的三个性质:对数换底公式导出的三个性质:05Homework After Class对数的对数的运算运算.5lg5lg2lg2lg)2(21.求下列各式的值:.)2lg()2lg(2lglg.233yxyx,则已知;51lg5lg32lg4)1(对数的对数的运算运算;32log3log)1(4314;4log16log)2(3271.求下列各式中 的值:.21172.32的值,求,且已知myxmyx;12log,3lg2lg.25表示,试用,设baba
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